Bài giảng môn Hình 11: Mặt cầu

CHƯƠNG II.1. MẶT CẦUĐịnh nghĩa: mặt cầu tâm I bán kính R?S(I;R) = {M / IM = R}Định nghĩa: Cho một điểm I cố định và một số thực dương R. Tập hợp tất cả những điểm M trong khơng gian cách điểm I một khoảng bằng R được gọi là mặt cầu tâm I bán kính R. Ta thường kí hiệu mặt cầu tâm I bán kính R là là S (I;R) hay viết tắt là (S). Nếu hai điểm C, D nằm trên mặt cầu thì đoạn CD cịn gọi là dây cung của mặt cầu.RHình biểu diễn một mặt cầu:Người ta thường dùng phép chiếu vuơng gĩc lên mặt phẳng để biểu diễn mặt cầu. Khi đĩ hình biểu diễn của mặt cầu là một hình trịn.Muốn hình biểu diễn của mặt cầu được trực quan người ta thường vẽ thêm hình biểu diễn của một số đường trịn nằm trên mặt cầu.Giả sử cho mặt cầu S(I; R) và một điểm A nào đĩ. Nếu IA = R thì theo định nghĩa điểm A nằm trên mặt cầu S (I; R). Đoạn thẳng IA được gọi là bán kính.Nếu IA R ta nĩi rằng điểm A nằm ngồi mặt cầu S (I; R). Đoạn thẳng MN qua tâm I cĩ hai đầu M, N nằm trên mặt cầu gọi là đường kính.Một mặt cầu được xác định khi biết tâm và bán kính hoặc khi biết một đường kính.IIĐịnh nghĩa: khối cầu tâm I bán kính R?Khối cầu S(I;R) = {M trong khơng gian / IM  R}Tập hợp tất cả những điểm thuộc mặt cầu tâm I bán kính R cùng với các điểm nằm trong mặt cầu đĩ được gọi là khối cầu S (I;R) hoặc hình cầu S(I;R) Phiếu học tập số 1:Cho hai điểm A, B cố định. CMR: Tập hợp các điểm M sao cho là mặt cầu đường kính ABCho tứ diện đều cạnh bằng a. Tìm tập hợp các điểm M sao cho MA2 + MB2 + MC2 + MD2 = 2a2Phiếu học tập số 2:Phiếu học tập số 3:Cho S(I;R) và mp(P).Gọi M là hình chiếu của I trên (P) và d = d(I;P) = IMCMR: N là điểm chung của mặt cầu và mặt phẳng (P) khi và chỉ khi N(P) và MN2 = R2 – d2.Từ đĩ cĩ thể kết luận được gì về giao của mặt cầu S(I;R) và mp(P) trong các trường hợp:a) d > R b) d = R c) d R  (S) và (P) khơng cĩ điểm chung.III.Vị trí tương đối của mặt cầu và mặt phẳng:Trường hợp 2:d = R  (S) và (P) tiếp xúc tại M và (P) được gọi là tiếp diện của (S). (P) vuơng gĩc IM tại M, M là tiếp điểmIII.Vị trí tương đối của mặt cầu và mặt phẳng:Trường hợp 3:d R  (S) và  khơng cĩ điểm chung.3. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳngCho S(I;R) và đường thẳng .Gọi M là hình chiếu của I trên  và d = d(I; ) = IMTrường hợp 2:d = R  (S) và  tiếp xúc tại M và  được gọi là tiếp tuyến của (S).  vuơng gĩc IM tại M, M là tiếp điểm3. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳngCho S(I;R) và đường thẳng .Gọi M là hình chiếu của I trên  và d = d(I; ) = IMTrường hợp 3:d < R  (S) và  cắt nhau tại hai điểm A, BTrong các mệnh đề sau đây mệnh đề nào đúng?Đường thẳng  tiếp xúc mặt cầu S(I;R) tại H khi và chỉ khi  vuơng gĩc với IH tại HCĩ vơ số đường thẳng  tiếp xúc mặt cầu S(I;R) tại H và chúng nằm trên mặt phẳng tiếp diện của mặt cầu tại HPhiếu học tập số 6:CÁC HỆ QUẢ1. Điều kiện tiếp xúcĐường thẳng tiếp xúc mặt cầu khi và chỉ khi khoảng cách từ tâm mặt cầu đến đường thẳng bằng bán kính.Đường thẳng  tiếp xúc mặt cầu S(I;R) tại H khi và chỉ khi  vuơng gĩc với IH tại HCĩ vơ số đường thẳng  tiếp xúc mặt cầu S(I;R) tại H và chúng nằm trên mặt phẳng tiếp diện của mặt cầu tại HPhiếu học tập số 7:Hãy chứng minh rằng cĩ một mặt cầu tiếp xúc với các cạnh của một tứ diện đều ABCD cho trước.Lấy mặt phẳng bất kì đi qua AO, nĩ cắt mặt cầu S(O;R) theo một đường trịn (C). Gọi AH là một tiếp tuyến của (C) tại H. a) CMR: AH cũng tiếp xúc với mặt cầu tại H b) Tính AH theo R và d = OA c) Kẻ HI vuơng gĩc OA tại I. CMR: I là điểm cố định khơng phụ thuộc vào tiếp tuyến AH Cho A nằm ngồi mặt cầu S(O;R)Phiếu học tập số 8:Đường thẳng đi qua điểm A nằm trong mặt cầu cĩ tiếp xúc với mặt cầu hay ?Định lý:A nằm trong mặt cầu S(O;R) thì khơng cĩ tiếp tuyến nào qua A.A nằm ngồi mặt cầu S(O;R) thì cĩ vơ số tiếp tuyến qua A. Khi đĩ:Các đoạn thẳng nối A và các tiếp điểm đều bằng nhau. Tập hợp các tiếp điểm là một đường trịn nằm trên mặt cầu.4. Đường kinh tuyến và vĩ tuyến của mặt cầu:. Mỗi nửa mặt phẳng cĩ bờ là đường thẳng AB cắt mặt cầu theo nửa đường trịn đường kính AB. Ta gọi các nửa đường trịn đĩ là các kinh tuyến ứng với đường kính AB.Cho mặt cầu đường kính ABKinh tuyến4. Đường kinh tuyến và vĩ tuyến của mặt cầu:Cho mặt cầu đường kính ABVĩ tuyến. Mỗi mặt phẳng vuơng gĩc với đường kính AB nếu cắt mặt cầu theo một đường trịn. Ta gọi các đường trịn đĩ là các vĩ tuyến ứng với đường kính AB4. Diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu:Diện tích mặt cầu S(I;R) là: S = 4R2Thể tích khối cầu S(I;R) là:Dùng phương pháp giới hạn người ta chứng minh được các cơng thức sau đây.Nhận xét: Diện tích mặt cầu bán kính R gấp bốn lần diện tích đường trịn lớn của nĩ. Thể tích mặt cầu bằng thể khối chĩp cĩ diện tích đáy bằng diện tích mặt cầu và chiều cao bằng R