Bài giảng môn Giải tích lớp 12 - Tiết 25 : Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Tiết 25 : GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ Ngày dạy: I. Mục tiêu bài dạy. 1. Kiến thức : Hướng dẫn hs phát hiện và nắm vững: - Khái niệm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên một tập D. - Quy tắc tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên một trên một khoảng và một đoạn. 2. Kĩ năng : Rèn luyện cho học sinh kỹ năng tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số. 3. Giáo dục : Giáo dục học sinh tính cẩn thận, có suy luận, khả năng tính toán. 4. Trọng tâm : - Quy tắc tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên một trên một khoảng và một đoạn. II. Chuẫn bị của giáo viên và học sinh Giáo viên: Soạn bài, dụng cụ giảng dạy, phấn màu. Học sinh: Soạn bài, làm bài tập ở nhà, dụng cụ học tập. III. Tiến trình bài dạy. Hoạt động của Thầy Hoạt động của Trò Nội dung ghi bảng Hoạt động 1. Hướng dẫn hs phát hiện và nắm vững khái niệm GTLN, GTNN của hàm số. - GV âỉa ra hçnh veỵ vaì âàût cáu hoíi dáùn dàõt âãún khại niãûm GTLN, GTNN. " x Ỵ [a, b], nháûn xẹt gç vãư f(x) vaì f(b), f(x2) ? Ta nọi haìm säú âảt GTLN trãn âoản [a, b] bàịng f(b), vaì âảt GTNN trãn âoản âọ bàịng f(x2). - Giáo viên âỉa ra khại niãûm GTLN vaì GTNN cuía haìm säú. Hoạt động 2. Hướng dẫn hs phát hiện cách giải bài toán tìm Giạ trë låïn nháút, giạ trë nhoí nháút cuía haìm säú trãn mäüt khoaíng. Ta âaỵ biãút quy tàõc tçm cạc khaoíng tàng giaím cuía haìm. Âãø tçm GTLN, GTNN cuía haìm säú trãn (a, b) ta laìm ntn ? Nãúu trãn (a; b) haìm säú cọ mäüt cỉûc trë duy nháút laì cỉûc âải (hồûc cỉûc tiãøu) thç gt cỉûc âải (gt cỉûc tiãøu) âọ laì gç ? Haỵy tçm GTLN, GTNN cuía haìm säú y = f(x) = x - 5 + trãn (0, +). Tỉång tỉû GV hỉåïng dáùn hs giaíi Vê dủ 2. Goüi x laì cảnh hçnh vuäng bë càõt (0 < x < ). Thãø têch khäúi häüp: V(x) = ? Xẹt haìm säú V(x) = x(a - 2x)2 trãn (0, ). V'(x) = ? V'(x) = 0 ? Cảnh hçnh vuäng bë càõt bàịng bao nhiãu thç thãø têch cuía khäúi häüp låïn nháút ? Hoạt động 3. Hướng dẫn hs phát hiện cách giải bài toán tìm Giạ trë låïn nháút, giạ trë nhoí nháút cuía haìm säú trãn mäüt âoản. Nãúu hs f(x) liãn tủc trãn [a, b] ta kãút luáûn gç ? Âãø tçm GTLN, GTNN cuía haìm säú trãn [a, b] ta laìm ntn ? Nãúu f(x) khäng cọ âiãøm tåïi hản naìo trãn [a; b] thç ta kãút luáûn gç vãư f '(x) ? Suy ra âiãưu gç ? * Giaí sỉí haìm säú cọ cạc âiãøm tåïi hản liãn tiãúp x1,x2 ...xn cuía f(x) trãn [a,b]. Trãn mäùi khoaíng (xi, xi+1) dáúu cuía f’(x) ntn? Tỉì âọ ta cọ thãø kãút luáûn âiãưu gç ? Suy ra quy tàõc tçm GTLN, GTNN trãn âoả [a, b] ? Hỉåïng dáùn hs tçm giaíi vê dủ 3 . Củng cố : Hoüc thuäüc dáúu hiãûu tçm cỉûc trë cuía haìm säú. Baìi táûp 1, 2, 3, 4 trang 52, 53. * "x Ỵ [a, b], f(x2) £ f(x) £ f(b) * Láûp BBT cuía haìm säú trãn (a; b). * Càn cỉï vaìo BBT kãút luáûn. * Laì Max f(x) hồûc laì min f(x) trãn khoaíng (a; b). * Ta cọ: y ' = ; y ' = 0 x = 1; x = -1 (loải). Láûp baíng biãún thiãn cuía haìm säú ta tháúy f(x) = - 3, f(x) khäng täưn tải. * V(x) = x(a - 2a)2. * V'(x) = 12x2 - 8ax + a2 . V'(x) = 0 x = , x = (loải). * Váûy cảnh hçnh vuäng bë càõt bàịng thç thãø têch cuía khäúi häüp låïn nháút. Váûy * Haìm säú luän täưn tải GTLN, GTNN trãn âoản âọ. * Láûp baíng biãún thiãn cuía haìm säú trãn âoản âọ räưi kãút luáûn. * f '(x) giỉỵ nguyãn mäüt dáúu trãn âoản âọ, do âọ hsäú âäưng biãún hồûc nghëch biãún GTLN vaì GTNN laì cạc giạ trë tải âáưu mụt a vaì b. * Trãn mäùi khoaíng (xi, xi+1) dáúu cuía f’(x) khäng âäøi nãn hs âảt GTLN, GTNN trãn âoản [xi, xi+1] laì f(xi), f(xi+1). * Quy tàõc tçm f(x) , f(x) Tçm cạc âiãøm tåïi hản x1,x2 ...xn cuía f(x) trãn [a,b]. Tênh f (a) , f (x1) ,f(x2) ....., f (xn) , f (b) * Tçm säú låïn nháút M, säú nhoí nháút m trong cạc säú nọi trãn : f(x) = M , f(x) = m. 1.Âënh nghéa: Cho haìm säú y = f(x) xạc âënh trãn táûp D. a) Säú M âỉåüc goüi laì GTLN cuía haìm säú y = f(x) trãn táûp D nãúu: x D: f (x) M xo D: f (x0) = M Kyï hiãûu: M = f(x) b) Säú m âỉåüc goüi laì GTNN cuía haìm säú y = f(x) trãn táûp D nãúu: x D: f (x) m xo D: f (x0) = m Kyï hiãûu: m = f(x) 2. Giạ trë låïn nháút, giạ trë nhoí nháút cuía haìm säú trãn mäüt khoaíng. Baìi toạn: Cho haìm säú y = f(x) liãn tủc trãn (a; b) (a cọ thãø laì -, b cọ thãø laì +). Tçm f(x) vaì f(x) (nãúu täưn tải). Cạch giaíi: Láûp BBT cuía haìm säú trãn (a; b). Càn cỉï vaìo BBT kãút luáûn. Chụ yï: Nãúu trãn (a; b) haìm säú cọ 1 cỉûc trë duy nháút laì cỉûc âải (hồûc cỉûc tiãøu) thç gt cỉûc âải (gt cỉûc tiãøu) âọ laì Max f(x) hồûc laì min f(x) trãn khoaíng (a; b). Vê dủ 1: Cho haìm säú y = f(x) = x - 5 + (x > 0). Tçm f(x) vaì f (x). Giaíi: Xẹt haìm säú y = x - 5 + trãn (0, +) y ' = ; y ' = 0 x = 1; x = -1 (loải) Baíng biãún thiãn: x 0 1 + y ' - 0 + y -3 Qua BBT: f(x) = - 3 , f(x) khäng täưn tải. Vê dủ 2: Cho mäüt táúm nhäm hçnh vuäng cảnh a. Ngỉåìi ta càõt boí åí 4 gọc 4 hçnh vuäng bàịng nhau räưi gáûp lải âỉåüc mäüt hçnh häüp khäng nàõp. Tçm cảnh hçnh vuäng bë càõt âi sao cho thãø têch khäúi häüp låïn nháút. Giaíi: Goüi x laì cảnh hçnh vuäng bë càõt (0 < x < ). Thãø têch khäúi häüp: V(x) = x(a - 2a)2 (0 < x < ). Xẹt haìm säú V(x) = x(a - 2x)2 trãn (0, ). V'(x) = 12x2 - 8ax + a2 . V'(x) = 0 x = , x = (loải) x 0 a/6 a/2 V'(x) + 0 - V(x) Váûy cảnh hçnh vuäng bë càõt bàịng thç thãø têch cuía khäúi häüp låïn nháút. 3. Giạ trë låïn nháút, giạ trë nhoí nháút cuía haìm säú trãn mäüt âoản Baìi toạn: Cho haìm säú y = f (x) liãn tủc trãn [a , b] vaì chè cọ mäüt säú hỉỵu hản âiãøm tåïi hản. Haỵy tçm f (x) , f (x) Cạch 1: láûp BBT cuía hsäú trãn [a; b](nhỉ trãn) räưi dỉûa vaìo âọ kãút luáûn. Cạch 2: * Nãúu f(x) khäng cọ âiãøm tåïi hản naìo trãn [a; b] thç f '(x) giỉỵ nguyãn mäüt dáúu trãn âoản âọ, do âọ hsäú âäưng biãún hồûc nghëch biãún GTLN vaì GTNN laì cạc giạ trë tải âáưu mụt a vaì b. Quy tàõc tçm f(x) , f(x) Tçm cạc âiãøm tåïi hản x1,x2 ...xn cuía f(x) trãn [a,b]. Tênh f (a) , f (x1) ,f(x2) ....., f (xn) , f (b) Tçm säú låïn nháút M, säú nhoí nháút m trong cạc säú nọi trãn : f(x) = M , f(x) = m. Vê dủ 3: Tçm GTLN , GTNN cuía haìm säú f(x) = 2x3 + 3x2 - 1 trãn cạc âoản:[- 2; - ] , b) [-; 1] c) [1; 3). Giaíi:Ta cọ: f '(x) = 6 x2 + 6x. f '(x) = 0 x = 0; x = -1 a) -1 [- 2; -], f(-2) = -5; f(-1) = 0; f(-) = - Þ b) 0[-;1]; f (-) = -, f(0) = -1, f(1) = 4 c) Trãn nỉía khoaíng [1; 3 ) f(x) khäng cọ âiãøm tåïi hản naìo f '(2) = 36 > 0 f '(x) > 0 trãn [1; 3) f(x) = f(1) = 4 Max f(x) khäng täưn tải (Gviãn giaíi thêch). Tiết 26.BÀI TẬP GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ Ngày dạy: I. Mục tiêu bài dạy. 1. Kiến thức : Hướng dẫn hs vận dụng: - Khái niệm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên một tập D, quy tắc tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên một trên một khoảng và một đoạn, để giải bài tập các bài tập sgk. 2. Kĩ năng : Rèn luyện cho học sinh kỹ năng tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số. 3. Giáo dục : Giáo dục học sinh tính cẩn thận, có suy luận, khả năng tính toán. 4. Trọng tâm : - Quy tắc tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên một trên một khoảng và một đoạn. II. Chuẫn bị của giáo viên và học sinh Giáo viên: Soạn bài, dụng cụ giảng dạy, phấn màu. Học sinh: Soạn bài, làm bài tập ở nhà, dụng cụ học tập. III. Tiến trình bài dạy. Hoạt động của Thầy Hoạt động của Trò Nội dung ghi bảng Hoạt động 1. Hướng dẫn hs làm bài tập 1 sgk. Gọi hs giải bài tập 1. Nêu cách tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một khoảng. Hoạt động 2. Hướng dẫn hs làm bài tập 2 sgk. Gọi hs giải bài tập 2. y = 1 + 8x -2x2 Þ y’ = ? Hoạt động 3. Hướng dẫn hs làm bài tập 3 sgk. Nêu quy tắc tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một đoạn? Để timg GTLN, GTNN của hàm số y = | x2 - 3x + 2| trên đoạn [-10,10] ta làm ntn ? „. Củng cố : Hoüc thuäüc dáúu hiãûu tçm âiãøm cỉûc âải, cỉûc tiãøu cuía haìm säú. Giaíi cạc baìi táûp coìn lải. * Cạch giaíi: Láûp BBT cuía haìm säú trãn (a; b). Càn cỉï vaìo BBT kãút luáûn. * y’ = 8 -4x. * Tçm cạc âiãøm tåïi hản x1,x2 ...xn cuía f(x) trãn [a,b]. Tênh f (a) , f (x1) ,f(x2) ....., f (xn) , f (b) Tçm säú låïn nháút M, säú nhoí nháút m trong cạc säú nọi trãn : f(x) = M , f(x) = m. * Ta xét dấu tam thức x2 - 3x + 2 rồi xét hàm số này trên 3 đoạn [-10, 1], [1,2] và [2,10]. Bài tập 1.a. TXĐ: D = R. y’ = 8 - 4x, y’ = 0 Û x = 2; f(2) = 9. x - 2 + y 9 Vậy = 9. b. TXĐ: D = R. y’ = 12x2 - 12x3, y’ = 0 Û x = 0 hoặc x = 1; f(1) = 1. x - 1 + y 1 Vậy 1. Bài tập 2. a. Trên tập D = (0, +) y’ = , y’ = 0 Û x = 2; f(2) = 8. x 0 2 + y 8 Vậy = 9. b. Trên tập D = (0, +), y’ = ; y’ = 0 Û x = 1. x - 1 + 3 Vậy = 3. Bài tập 3. a. Trên tập D ta có y’ = 3x2 -6x-9, y’ = 0 Û x = -1 hoặc x = 3 f(-4) = -41, f(-1) = 40, f(3) =8, f(4) = 15. Vậy 40, = -41. b. Trên tập D1 = [-10, 1] ta có y’ = 2x - 3, y’ = 0 Û x = , f(-10) = 132, f(1) = 0, . Vậy = 132, y= 0. Trên tập D2 = [1, 2] ta có y’ = 2x - 3, y’ = 0 Û x = f(1) = 0, f(2) = 0, f() = -. Vậy = 0, = - Trên tập D3 = [2, 10] ta có y’ = 2x - 3, y’ = 0 Û x = f(2) = 0, f(10) = 72Vậy = 132, = -. Tóm lại: 132, = 0. Tiết 27. TÍNH LỒI, LÕM VÀ ĐIỂM UỐN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ Ngày dạy: I. Mục tiêu bài dạy. 1. Kiến thức : - Khái niệm lồi, lõm và điểm uốn. Qui tắc tìm các khoảng lồi, lõm và điểm uốn. 2. Kĩ năng : Rèn luyện cho học sinh kỹ năng ứng dụng thành thạo các qui tắc đã học váo việc giải quyết của bài tập cụ thể . 3. Giáo dục : Giáo dục học sinh tình cảm yêu thích bộ môn qua việc giải quyết các bài toán có tính thực tiễn. 4. Trọng tâm : Định nghĩa và định lí nhận biết tính lồi, lõm và điểm uốn của đồ thị hàm số. II. Chuẫn bị của giáo viên và học sinh Giáo viên: Soạn bài, dụng cụ giảng dạy, phấn màu. Học sinh: Soạn bài, làm bài tập ở nhà, dụng cụ học tập. III. Tiến trình bài dạy. 1/ Kiểm tra bài cũ- Phát biểu các qui tắc tìm cực trị của hàm số . Áp dụng : Tìm các khoảng đơn điệu và các điểm cực trị của hàm số . 2/ Nội dung bài mới: Hoạt động của Thầy Hoạt động của Trò Nội dung ghi bảng Hoạt động 1. Hướng dẫn hs phát hiện khái niệm khoảng lồi lõm, điểm uốn của đồ thị hàm số. Nhận xét gì tiếp tuyến tại mọi điểm thuộc đồ thị hàm số trên (a, c)? Nhận xét gì tiếp tuyến tại mọi điểm thuộc đồ thị hàm số trên (c, b)? GV đưa ra khái niệm khoảng lồi, lõm và điểm uốn của ĐTHS. Hoạt động 2. Hướng dẫn hs phát hiện dấu hiệu lồi, lõm và điểm uốn của ĐTHS. * GV đưa ra định lý về dấu hiệu lồi, lõm và điểm uốn của ĐTHS. Cho hàm số y = f(x) liên tục trong lân cận của và có đạo hàm cấp 2 trong lân cận ấy (có thể tại điểm ). Nếu f’’(x) đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua thì điểm M(, f()) có đặc điểm gì ? . Hướng dẫn hs làm vd 1. Hướng dẫn hs làm vd 2 „. Củng cố : Nắm vững khái niệm khoảng lồi, lõ của ĐTHS, dấu hiệu lồi, lõm của ĐTHS và làm các bài tập SGK. * Tiếp tuyến tại mọi điểm thuộc đồ thị hàm số trên (a, c) luôn nằm trên ĐTHS. * Tiếp tuyến tại mọi điểm thuộc đồ thị hàm số trên (c, b) luôn nằm dưới ĐTHS. * Điểm M(, f()) là điễm uốn của đồ thị hàm số đã cho. Vì khi x f’(x0) = 0 nên ĐTHS lồi bên trái M. Tương tự ĐTHS lõm bên phải tại M. ƒ. Nội dung bài mới: 1. Khái niệm lồi, lõm và điểm uốn : M B C A M b c a Tại mọi điểm của cung AC tiếp tuyến luôn ở phía trên cung AC ta nói cung AC là một cung lồi.Nếu a là hoạnh độ của A, c là hoành độ của C thì ta nói (a, c) là một khoảng lồi. Tại mọi điểm của cung CB tiếp tuyến luôn ở phía dưới cung CB ta nói cung CB là một cung lõm.Nếu c là hoạnh độ của C, b là hoành độ của B thì ta nói (c, b) là một khoảng lõm. Điểm phân cách giữa khoảng lồi và khoảng lõm của đồ thị thì ta gọi là điểm uốn. 2. Dấu hiệu lồi, lõm và điểm uốn : Định lí 1 : Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp 2 trong ( a , b ). Nếu f’’(x) < 0 thì đồ thị hàm số lồi trong ( a, b ). Nếu f’’(x) > 0 thì đồ thị hàm số lõm trong ( a , b ). Định lí 2 : Cho hàm số y = f(x) liên tục trong lân cận của và có đạo hàm cấp 2 trong lân cận ấy (có thể tại điểm ). Nếu f’’(x) đổi dấu khi x đi qua thì điểm M(, f()) là điễm uốn của đồ thị hàm số đã cho . QUI TẮC TÌM ĐIỂM UỐN : 1) Giải phương trình f’’(x) = 0 2) Lập bảng dấu của f’’(x). Hoành độ điểm uốn là các nghiệm của phương trình f’’(x) = 0 mà tại đó f’’(x) đổi dấu . * Ví dụ1: Tìm các khoản lồi, lõm và điểm uốn của đố thị hàm số * Ví dụ2 : Tìm các khoảng lồi, lõm và điểm uốn của (C) : .