Bài giảng môn Giải tích lớp 12 - Phương trình tiếp tuyến

Phương trình tiếp tuyến I) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=f(x) tại điểm M(x0;y0). y=f’(x0)(x-x0)+y0 . II) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=f(x) biết tiếp tuyến đó đi qua điểm M1(x1;y1). 1) Phương pháp 1: +) Gọi d là đường thẳng đi qua M1(x1;y1) và có hệ số góc k suy ra PTĐT d có dạng: y=k(x-x1)+y1 (1) +) Đường thẳng d là tiếp tuyến của đồ thị (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm: Thay (3) vào (2) tìm được nghiệm x, thay lại (3) tìm được k và thay k tìm được vào (1) ta được PTTT cần tìm. 2) Phương pháp 2: PTTT của đồ thị (C) tại điểm M(x0;y0) là y=f’(x0)(x-x0)+y0 (1) Tiếp tuyến đi qua điểm M1(x1;y1) suy ra toạ độ điểm M1(x1;y1) thoả mãn PT(1) tức là: y1=f’(x0)(x1-x0)+y0 GPT tìm được nghiệm x0. Thay x0 tìm được vào (1) được PTTT. III) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=f(x) biết tiếp tuyến có hệ số góc k. 1) Phương pháp 1: +) Gọi d là đường thẳng có hệ số góc k suy ra PTĐT d có dạng: y=kx+m (1) +) Đường thẳng d là tiếp tuyến của đồ thị (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm: Từ PT(3) tìm được nghiệm x, thay x vừa tìm được (2) tìm được m từ đó viết được PTTT. 2) Phương pháp 2: Lập PT hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến cần tìm với đồ thị (C ) là:f’(x)=k (1) Giải PT(1) tìm được hoành độ tiếp điểm từ đó tìm được tiếp điểm và viết được PTTT cần tìm. Chú ý: Các dạng tiếp tuyến biểu diễn hệ số góc k của bài toán viết PTTT biết hệ số góc k. Dạng trực tiếp: cho ngay hệ số góc k. Tiếp tuyến song song vố đường thẳng y=ax+b k=a. Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y=ax+b. Tiếp tuyến tạo với chiều dương của truc hoành 1 góc . Tiếp tuyến tạo với đường thẳng y=ax+b một góc . Hệ số góc của tiếp tuyến là k khi đó ta có: Bài tập Bài 1: Cho hàm số y=x3 – mx- m+1 (Cm). Viết PTTT của (Cm) tại giao điểm của (Cm) với 0y. Tìm m để tiếp tuyến nói trên chắn trên 2 trục toạ độ một tam giác có diệm tích bằng 8. Bài 2: Cho hàm số y=- x4+2mx2- 2m+1 (Cm). Tìm m để tiếp tuyến của (Cm) tại A(1;0) và B(-1;0) vuông góc với nhau. Bài 3: Cho (Cm): y=f(x)=x3+3x2+mx+1 Tìm m để đường thẳng y=1 cắt(Cm) tại 3 điểm phân biệt A(0;1), B, C. Tìm m để các tiếp tuyến của (Cm) tại B và C vuông góc. Bài 4: Cho (Cm): y=f(x)=x3+mx2+1. Tìm m để đường thẳng y = - x+1 cắt(Cm) tại 3 điểm phân biệt A(0;1), B, C sao cho tiếp tuyến của(Cm) tại B và C vuông góc. Bài 5: Cho hàm số y= - x3 +3x+2 (C). Tìm trên trục hoành các điểm từ đó có thể kẻ được 3 tiếp tuyến đến (C) Bài 6: Cho hàm số y= x3 -12x+12 (C) Tìm trên đường thẳng y=- 4 các điểm từ đó có thể kẻ được 3 tiếp tuyến đến (C). Bài 7: Cho hàm số y= x3 -3x2+1 (C). Tìm tập hợp các điểm M đường thẳng y=1 mà qua M có 3 tiếp tuyến đến (C). Bài 8:Tìm trên đường thẳng y=2 các điểm kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C) y= -x3 +3x2-2 . Bài 9: Cho hàm số y=- x3 +3x2-2 (C). Tìm các điểm thuộc (C) để qua đó kẻ được đúng 1 tiếp tuyến đến đồ thị (C). Bài 10: Cho hàm số y=f(x)= x3 +3x2-9x+1 (C). Có bao nhiêu tiếp tuyến đi qua điểm A(0;1) đến (C). Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại điểm M có hệ số góc nhỏ nhất. Bài 11: Cho hàm số (C). Tìm các điểm thuộc Oy mà từ đó kẻ được 2 tiếp tuyến đến (C). Bài 12: Cho hàm số (C). Tìm trên trục tung các điểm từ đó kẻ được 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau đến (C). Bài 13: Cho hàm số (Cm) và điểm A(0;1). Tìm m để từ A kẻ được 2 tiếp tuyến tới (Cm) và hai tiép tuyến đó vuông góc với nhau. Bài 14: Cho hàm số (C). Tìm trên Oy các điểm kẻ đến (C) hai tiếp tuyến vuông góc với nhau. Bài 15 (ĐH Huế-98): Cho (Cm): . Khảo sát khi m=1. CMR (Cm) luôn đi qua hai điểm cố định A, B với mọi m. Tìm m để các tiếp tuyến của (Cm) tại A và B vuông góc với nhau. Bài 16: Cho hàm số (C). a)Viết PTTT của (C ) biết tiếp tuyến đó tạo với chiều dương của trục Ox góc 450. b) Viết PTTT của dồ thị (C ) biết tiếp tuyến đó tạo với đường thẳng d: y=3x+7 một góc 450. Bài 17: Cho hàm số ( C) . Viết PTTT của (C) biết tiếp tuyến đó tạo với đường thẳng y=3x một góc 450. Bài tập tính đồng biến, nghịch biến Bài 1. Cho hàm số y=x3+(m-1)x2+(m2-4)x+9.Xác định m để hàm số đồng biến với mọi x. Bài 2. Cho hàm số y=x3+3x2+(m+1)x+4m. Xác định m để hàm số đồng biến trên R. Xác định m để hàm số nghịch biến trên (-1;1). Bài 3. Cho hàm số y=x3-3(2m+1)x2+(12m+5)x+2. Xác định m để hàm số đồng biến trên . Bài 4.Xác định m để hàm số y=x3- mx2-2(2m2-7m+7)x+2(m-1)(2m-3) đồng biến trên [2;+). Bài 5.Xác định m để hàm số y= - x3+(m-1)x2+(m+3)x- 4 đồng biến trên khoảng (0;3). Bài 6. Xác định m để hàm số y=mx3-(m-1)x2-2(m-2)x+1 đồng biến trên [2;+). Bài 7.Xác định m để hàm số y=x3-3(m-1)x2+3m(m-2)x+1 đồng biến trên các khoảng thoả mãn . Bài 8. Xác định m để hàm số đồng biến trên khoảng . Bài 9.Xác định m để hàm số đồng biến trên khoảng . Bài10.Tim m để hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định. Bài tập về cực trị của hàm số Bài 1. Tìm m để hàm số y=x3+mx2+(m+6)x-2m-1 có cực đại và cực tiểu. Bài 2.Tìm m để hàm số y=x3+(m-2)x2+(5m+4)x+m2+1 đạt cực trị tại x1, x2 thảo mãn x1<-1< x2 . Bài 3.Tìm m để hàm số y=x3+(m+3)x2+4(m+3)x+m2-m đạt cực trị tại x1, x2 thảo mãn -1<x1< x2 . Bài 4.Tìm m để hàm số y=x3+(m2- m+2)x2+(3m2+1)x+m-5 đạt cực tiểu tại x=2. kq m=3. Bài 5. Tìm m để hàm số y=x3-3mx2+3(m2-1)x+m đạt cực đại tại x=2. Bài 6.Tìm m để hàm số f(x)= 2x3+3(m-1)x2+6m(1-2m)x có cực đại, cực tiểu nằm trên đường thẳng y=-4x. Bài 7. Cho hàm số f(x)= x3+mx2+7x+3. Viết PTĐT đi qua 2 điểm cực trị. Với giá trị nào của m thì đường thẳng qua 2 điểm cực trị vuông góc với đường thẳng y=3x-7. Bài 8. Cho hàm số y=2x3-3(3m+1)x2+12(m2+m)x+1.Tìm để hàm số có CĐ,CT. Viết PT đường thẳng đi qua 2 điểm CĐ, CT. Bài 9. Tìm m để hàm số f(x)= x3-3x2+m2x+m có CĐ, CT đối xứng nhau qua đường thẳng (d): y=. Kq: m=0. Bài 10.Tìm m để hàm số f(x)= 2x3-3(2m+1)x2+6m(m+1)x+m có CĐ, CT đối xứng nhau qua đường thẳng (d): y=x+2. kq: m=1; m=(-1)/4 Bài 11. Cho hàm số y=x3+(m+1)x2+(m2+4m+3)x. Tìm m để hs có CĐ.CT. giả sử x1, x2 là các điểm cực trị. Tìm max của A=|x1x2-2(x1+x2)| Kq: m=-4. Bài 12. Tìm để hàm số y=x3- mx2-x+m+1.có khoảng cách giữa các điểm CĐ và CT là nhỏ nhất. Kq; m=0. (2)/3. Bài 13.Tìm m để hàm số y=x4-2mx2+2m+m4 có CĐ, CT lập thành một tam giác đều kq:m= Bài 14. Tìm m để hàm số có . Bài 15. Tìm m để hàm số có . Kq:0<m<9/2. Bài 16.Cho hàm số . Tìm m để hàm số có cực đại và cưc tiểu và (yCĐ.yCT) nhỏ nhất. Kq:m=7/5 Bài 17.Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của trục 0x. kq:0<m<4 Bài 18.Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của đường thẳng y=2x. Bài 19.Cho hàm số kq: a) m>1; b) m=7/5 Xác định m để hàm số có CĐ, CT nằm về hai phía của trục tung. Xác định m để hàm số có CĐ, CT và cùng với gốc toạ độ O lập thành một tam giác vuông tại O. Bài 20.Cho hàm số . Tìm m để hàm số có CĐ,CT. Với giá trị nào của m thì khoảng cách giữa hai điểm cực trị bằng 10. kq:m=4. Tương giao của các đường Bài 1. Cho (Cm): y=x3 - 3(m+1)x2+2(m2+4m+1) x-4m(m+1). Tìm m để (Cm)cắt 0x tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn 1. Bài 2.Cho (Cm): y=x3 - 2mx2+(2m2-1) x+m(1- m2). Tìm m để (Cm)cắt 0x tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn 0. Bài 3.Cho (Cm): y=x3 - 3mx2+3(m2-1) x-( m2-1). Tìm m để (Cm)cắt 0x tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn 0. Bài 4.Cho (Cm): y=2x3 – (4m+1)x2+4(m2-m+1) x-2m2+3m-2. Tìm m để (Cm)cắt 0x tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn 1/4. Bài 5.Cho (Cm): y=x3 +3mx2-3x-3m+2. Tìm m để (Cm)cắt 0x tại 3 điểm phân biệt có hoành độ x1, x2, x3 sao cho S= đạt nhỏ nhất. Bài 6. Cho đường thẳng (d): y=m(x+1)+2 và đoò thị (C) y=x3-3x . Tìm m để (d) cắt (C ) tại 3 điểm phân biệt A,B,C trong đó A là một điểm cố định còn tiếp tuyến với đồ thị tại B và C vuông góc. Bài 7.Cho (Cm) y=x3 -3mx2+2m(m-4)x+9m2-m. Tìm m để (Cm) cắt 0x tại 3 điểm phân biệt lập thành một cấp số cộng. Bài 8.Cho (Cm) y=x3 –(3m+1)x2+(5m+4)x-8. Tìm m để (Cm) cắt 0x tại 3 điểm phân biệt lập thành một cấp số nhân. Bài 9. Cho (Cm) y=x4 -2(m+1)x2+2m+1. Tìm m để (Cm) cắt 0x tại 4 điểm phân biệt lập thành một cấp số cộng. Bài 10. Tìm m để đường thẳng y=m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B phân biệt sao cho . Bài 11. Tìm m để đường thẳng y=mx+2-m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt Thuộc cùng một nhánh của (C). Bài 12.Chứng minh rằng đường thẳng d:y=2x+m luôn cắt (C): tại hai điểm A, B phân biệt có hoành độ x1, x2. Tìm m sao cho d=(x1-x2)2 nhỏ nhất. Bài 13.Viết PTĐT (d) đi qua điểm M(2;) sao cho (d) cắt (C): tại hai điểm A,B phân biệt và M là trung điểm của AB. Bài 14. Cho hàm số (C ). Biện luận số giao điểm của đường thẳng (d):2x-y+m=0 với (C). Khi (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt M,N. Tìm quỹ tích trung điểm I của MN. Bài 15. Cho hàm số (C). CMR đường thẳng d:y=-x+m luôn cắt (C ) tại hia điểm A,B phân biệt. Tìm m để đoạn AB nhỏ nhất. tâm đối xứng Bài 1 (TCKT-96). Cho (Cm): . 1.Khảo sát khi m=5. 2. Viết PT đường thẳng qua điểm CĐ, CT của (Cm). 3.Tìm m để (Cm) có cặp điểm đối xứng nhau qua gốc toạ độ. Bài 2 (GT-96): Cho (Cm): y = x3+mx2+9x+4. Tìm m để (Cm) có một cặp điểm đối xứng nhau qua gốc toạ độ. Bài 3 (TC-96): Cho (Cm): y = x3+mx2+7x+3. Tìm m để (Cm) có một cặp điểm đối xứng nhau qua gốc toạ độ. Bài 4 (TL-99): Cho (Cm): y = x3-3mx2+3(m2-1)x+1-m2. Tìm m để (Cm) có hai điểm đối xứng nhau qua gốc toạ độ. Bài 5. Tìm m để đồ thị (C) có hai điểm đối xứng nhau qua gốc toạ độ. Bài 6. Tìm trên đồ thị (C) các cặp điểm đối xứng nhau qua điểm . Bài 7. Tìm trên đồ thị (C) các cặp điểm đối xứng nhau qua điểm I(1;1). Bài 8. Cho đồ thị (C) . Tìm đồ thị (C’): y=g(x) đối xứng với (C) qua điểm I(1;1). Bài 9. Cho đồ thị (C) y = 2x3+3x2+5x+1. Tìm đồ thị (C’): y=g(x) đối xứng với (C) qua điểm I(1;2). Bài 10. Cho đồ thị (C) . Tìm đồ thị (C’): y=g(x) đối xứng với (C) qua điểmI(2;1). Khoảng cách Bài 1. Cho hàm số (C). a) Tìm các điểm trên đồ thị (C) có toạ độ nguyên a) Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ điểm M đến hai đường tiệm cận là không đổi. b) Tìm điểm M thuộc (C ) để tổng khoảng cách từ điểm M đến 2 đường tiệm cận là nhỏ nhất. c) Tìm trên mỗi nhánh của đồ thị (C ) các điểm M1, M2 để độ dài đoạn M1M2 là nhỏ nhất.C Bài 2. Tìm trên mỗi nhánh của đồ thị (C ): các điểm M1, M2 để độ dài đoạn M1M2 là nhỏ nhất. Bài 3. a) Tìm trên mỗi nhánh của đồ thị (C ): các điểm M1, M2 để độ dài đoạn M1M2 là nhỏ nhất. b) Tìm các điểm trên đồ thị (C) có toạ độ nguyên. Bài 4. Cho hàm số (C). Tìm điểm M thuộc (C ) để khoảng cách từ M đến trục Ox gấp 2 lần khoảng cách từ M đến Oy. Bài 5. Cho hàm số (C). Tìm điểm M thuộc (C ) để tổng khoảng cách từ M đến 2 trục Ox và Oy là nhỏ nhất. Bài 6. Cho hàm số (C). Tìm điểm M thuộc (C ) để tổng khoảng cách từ M đến 2 trục Ox và Oy là nhỏ nhất. Quỹ tích Bài1.Cho hàm số y=f(x)=x3+3x2+mx+1 có đồ thị (Cm) và hàm số y=g(x)=x3+2x2+7 (C). CMR(Cm) luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A,B. Tìm quỹ tích trung điểm I của AB. Bài 2. Cho hàm số (C) và đường thẳng (d) y=mx+1. Tìm m để (d) cắt (C ) tại hai điểm phân biệt A, B. Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn AB. Bài 3. Tìm m để có cực đại và cực tiểu. Tìm quỹ tích điểm CĐ và CT. Bài 4.Cho đường thẳng (dm): y=-3mx+m và đồ thị (Cm): y=x3-2(m+1)x2+(m2+1)x-m2 . Tìm m để (dm) cắt (Cm) tại 3 điểm A,B,C phân biệt. Giả sử B,C là các điểm có hoành độ thay đổi. Tìm quỹ tích trung điểm I của AB. Bài 5. Cho hàm số (C) và đường thẳng (d) y=mx-1. Tìm m để (d) cắt (C ) tại hai điểm phân biệt M, N. Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn MN. Một số phép biến đổi đồ thị Bài 1. a) Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị của hàm số y = 2x3- 9x2 +12x -4. b) Tỡm m để phương trỡnh sau cú 6 nghiệm phõn biệt: 2|x|3+ 9x2 +12|x| = m.. Bài 2. Cho hàm số (C). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C). Từ đồ thị (C) hãy suy ra đồ thị (C’): . Từ đồ thị (C) hãy suy ra đồ thị (C”): . Từ đó biện luận them m số nghiệm của phương trình: . Bài 3. Cho hàm số (C ). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C). Tìm m để phương trình có 8 nghiệm phân biệt. Bài 4. Cho hàm số (C). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) khi m=1. Biện luận nghiệm của phương trình : x2-x=k.|x-1|+1=0 Tìm m để CĐ, CT nằm về hai phía của trục Ox. Bài 5. Cho hàm số (C ). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) Từ đồ thị (C) hãy suy ra đồ thị (C’): . Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: | 4t-5.2t+5|=m.(2t-1). Bài 6. Cho hàm số (1). y=2x4-4x2 1. Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị của hàm số (1). 2. Với cỏc giỏ trị nào củam phương trỡnh x2|x2-2|=m cú đỳng 6 nghiệm thực phõn biệt ?