Bài giảng môn Đại số lớp 12 - Tính lồi, lõm và điểm uốn của đồ thị

Bài giảngTÍNH LỒI, LÕM VÀ ĐIỂM UỐN CỦA ĐỒ THỊYOXMMCABacb1. Khái niệm về tính lồi, lõm và điểm uốn. Xét đồ thị ACB của hàm số y = f(x) biểu diễn trong hình dưới đây. Ta giả thiết rằng tại mọi điểm của nó, đồ thị đã cho đều có tiếp tuyến . Gọi a, b, c tương ứng là hoành độ của các điểm A, B, C .YOMMCABacb AC là một cung lồi, khoảng (a;c) được gọi là khoảng lồi của đồ thị. CB là một cung lõm, khoảng (c;b) được gọi là khoảng lõm của đồ thị.Điểm phân cách giữa cung lồi và cung lõm được gọi là điểm uốn.Điểm C của đồ thị trong hình vẽ trên là một điểm uốn. X2. Dấu hiệu lồi, lõm và điểm uốn.Định lí 1. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm đến cấp hai trên Khoảng (a;b).Nếu f’’(x) 0 với mọi x  (a;b) thì đồ thị của hàm số lõm trênKhoảng đó . Định lí 2. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên một lân cận nào đócủa điểm x0 và có đạo hàm tới cấp hai trong lân cận đó (có thểtrừ tại điểm x0 ). Nếu đạo hàm cấp hai đổi dấu khi x đi qua x0 thìM0 (x0 ; f(x0)) là điểm uốn của đồ thị hàm số đã cho. Chứng minh đ/ lí 2 Giả sử f’’(x) đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua x0 xf’’(x)Đồ thị của hàm sốx0 - x0x0 + _+M0 (x0;f(x0))lồilõmVậy điểm M0 (x0;f(x0)) là điểm uốn của đồ thị . Chú ý: Tại điểm uốn tiếp tuyến phải xuyên qua đồ thị .Ví dụ 1: Tìm các khoảng lồi, lõm và điểm uốn của đồ thị hàm số y = x3 – 3x2 – 9x + 2 GiảiTập xác định: R.Ta có: y’ = 3x2 – 6x – 9 y’’ = 6x – 6 ; y’’ = 0  x = 1 .Bảng xét dấu y’’ :xy’’Đồ thị của hàm số- 1+_+Điểm uốn C (1;- 9 ) lồilõm0Ví dụ 2 . Tìm các khoảng lồi, lõm và điểm uốn của đồ thị hàm số y = GiảiTập xác định : RTa có : y’ = xác định với mọi x  0 .y’’ = xác định với mọi x  0 .Bảng xét dấu y’’ :xy’’Đồ thị của hàm số- 0++Điểm uốn C (0; 0 ) lồilõm_Ví dụ 3 . Tìm các khoảng lồi, lõm của đồ thị hàm số y = GiảiTập xác định : R\ { 0} .y’ = xác định với mọi x  0 .y’’ = xác định với mọi x  0 .Bảng xét dấu y’’ :xy’’Đồ thị của hàm số- 0++lồilõm_