Bài giảng môn Đại số lớp 12 - Tiết dạy: 39: phương trình tổng quát của mặt phẳng

chào mừng các thày cô giáo và các em học sinh về tham dự Sở giáo dục và đào tạo hải phòngTrường thpt bán công vĩnh bảo======***======Môn: Toán lớp 12Tiết dạy: 39phương trình tổng quát của mặt phẳngGiáo viên: Vũ Phú BìnhVĩnh Bảo, tháng 3 năm 2005e. Nếu [ a, b ] c = 0 thì a, b, c cùng phương.ĐSĐSĐ1.Câu hỏi kiểm tra:Các mệnh đề sau đúng hay sai ?a. Tồn tại duy nhất một mặt phẳng (α) đi qua điểm M0 và vuông góc với đường thẳng d cho trước. b. Có vô số đường thẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng cho trước.d. Nếu [ AB, AC ] ≠ 0 thì A,B,C không thẳng hàng.c. Nếu [ a, b ] = 0 thì a, b không cùng phương.a. Định nghĩa: Véctơ n ≠ 0 được gọi là véctơ pháp tuyến của mặt phẳng (α) nếu nó nằm trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (α). (Gọi tắt là véctơ vuông góc với mặt phẳng (α) ).Ký hiệu: n  (α) 1. Véctơ pháp tuyến của mặt phẳng:Tiết 39 : phương trình tổng quát của mặt phẳngαCâu hỏi : Một mặt phẳng có bao nhiêu véctơ pháp tuyến? Vì sao?αNhận xét 1: Nếu là 1 véctơ pháp tuyến của mặt phẳng (α) thì véctơ k (k ≠ 0) cũng là một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng (α). αTiết 39 : phương trình tổng quát của mặt phẳngCâu hỏi: Một mặt phẳng có hoàn toàn được xác định hay không nếu chỉ biết một véctơ pháp tuyến n của nó?. Nhận xét 2: Một mặt phẳng (α) hoàn toàn được xác định khi biết một điểm thuộc nó và một véctơ pháp tuyến của nó.α M0#Tiết 39 : phương trình tổng quát của mặt phẳngb. Chú ý: + Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho véctơ a và b không cùng phương các đường thẳng chứa chúng cùng song song hoặc nằm trên mặt phẳng (α) thì cũng là một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng (α), khi đó hai véctơ a và b được gọi là cặp véctơ chỉ phương của mặt phẳng (α). Tiết 39 : phương trình tổng quát của mặt phẳngα.+ Nếu trong mặt phẳng (α) cho ba điểm M1, M2 và M3 không thẳng hàng thì hai véctơ M1M2 và M1M3 là cặp véctơ chỉ phương của mặt phẳng (α) và = [M1M2, M1M3] là một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng (α). αTiết 39 : phương trình tổng quát của mặt phẳngM1 #M2#M3#Ví dụ: Trong không gian với hệ trục oxyz. Cho các véctơ sau:Hãy chỉ ra các véctơ pháp tuyến của mặt phẳng Oxy.4. = (0 ; 0 ; 5)x0zy5. = (0 ; 1 ; 1)1. = (0 ; 0 ; 1)3. = (0 ; 1 ; 0)2. = (1 ; 0 ; 0)Tiết 39 : phương trình tổng quát của mặt phẳngĐáp ánMặt phẳng Oxy có các véctơ pháp tuyến cần tìm là: = (0 ; 0 ; 1) = (0 ; 0 ; 5)0yjxikzi0yjxikiCho mặt phẳng (α) đi qua điểm M0 = (xo; yo; zo) và có véctơ pháp tuyến n = (A; B ; C). Tìm điều kiện cần và đủ để điểm M = (x; y ; z) thuộc mặt phẳng (α). αn2. Phương trình tổng quát của mặt phẳnga. Bài toán:M0#M#Với D = - (Ax0 + By0 + Cz0) Giải:Điểm M = (x; y; z)  (α) khi và chỉ khi M0M  n M0M . n = 0  A (x-x0) + B (y-y0) + C (z-z0) = 0  Ax + By + Cz - (Ax0 + By0 + Cz0) = 0 Ax + By + Cz + D = 0 (A2 + B2 + C2 ≠ 0) αnM0M##Ax + By + Cz + D = 0 thì = (A; B; C ) là một véctơ pháp tuyến của nó.b. Định lý:Mỗi mặt phẳng là tập hợp các điểm có toạ độ (x ; y ; z) thoả mãn phương trình dạng: Ax + By + Cz + D = 0 (A2 + B2 + C2 ≠ 0) (1)Ngược lại tập hợp các điểm có toạ độ thoả mãn phương trình (1) là một mặt phẳng. c. Định nghĩa: Phương trình dạng Ax + By + Cz + D = 0 (A2 + B2 + C2 ≠ 0) được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng.d. Chú ý: #Mặt phẳng (α) đi qua điểm M0 = (x0 ; y0 ; z0) và có véctơ pháp tuyến = (A; B; C) thì phương trình có dạng: A (x-xo) + B (y-yo) + C (z-zo) = 0 #Mặt phẳng (α) có phương trình tổng quát là : x + 3y + z = 0Ví dụ:Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (α) đi qua điểm M(2; 1;-5) và song song với mặt phẳng (β): x + 3y + z - 5 = 0.GiảiVậy phương trình tổng quát của mặt phẳng (α) là(α): 1(x-2) + 3(y-1) + 1(z+5) = 0Mặt phẳng (β) : x +3y +z – 5 = 0 =>n =(1; 3; 1) là mộtVTPT của (β) .(α) // (β) => n = (1; 3; 1) là véctơ pháp tuyến của mặt phẳng (α)αM#na. D = 0 thì phương trình mặt phẳng có dạng Ax + By + Cz = 0là phương trình mặt phẳng đi qua gốc toạ độ.b. Nếu A = 0, B ≠ 0, C ≠ 0 thì phương trình mặt phẳng có dạng: By + Cz + D = 0 là mặt phẳng song song hoặc chứa trục Ox.3. Các trường hợp riêng của phương trình tổng quát.yxz0ijkαc. Nếu A = 0, B = 0, C ≠ 0 thì phương trình mặt phẳng có dạng Cz + D = 0 là mặt phẳng song song hoặc trùng với mặt phẳng Oxy.αd. Nếu A ≠ 0, B ≠ 0, C ≠ 0, D ≠ 0 thì ta đặt là phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn.zxy0kjiαzy0x# # # Vi dụ 1:Trong không gian với hệ trục 0xyz cho 3 điểm A (1;2;3), B (-1; 0; 2), C (3; 2; 5). Lập phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm A, B, C.Giải: Ta có AB = (-2;-2;-1)AC = (2; 0; 2)[AB, AC] = (-4; 2; 4)Vậy: Mặt phẳng (α) nhận n = (-4; 2; 4) là véctơ pháp tuyến:=> phương trình (α): 4(x-1) – 2(y -2) – 4(z - 3) = 0 2x – y – 2z + 6 = 0.Ví dụ 2:Trong không gian với hệ trục 0xyz cho 2 điểm M = (2;-1;1), N (4;3;1).Lập phương trình mặt phẳng trung trực (α) của đoạn thẳng MN.Giải: Gọi I là trung điểm của MN => I = (3; 1; 1) ta có mặt phẳng (α) đi qua điểm I và nhận véctơ n = MN = (2; 4; 0) làm véctơ pháp tuyến => phương trình (α) là:2(x-3) + 4(y-1) + 0(z-1) = 0  x + 2y – 5 = 0.#M##INTổng kết: Dựa vào cặp véctơ chỉ phương a, b => n = [ a, b].- Dựa vào mối liên hệ giữa quan hệ song song và vuông góc.1. Nếu mặt phẳng (α) đi qua điểm M (x0;y0;z0) và có véttơ pháp tuyến n = (A; B; C) thì có phương trình là:A (x- x0) + B(y-y0) + C(z –z0) = 02.Cách xác định véctơ pháp tuyến của mặt phẳng:Bài tập về nhà: 2, 3, 5, 8: (SGK/ 82-83).Xin chân thành cảm ơn !Các thầy cô giáo và các em học sinh.