Bài giảng môn Đại số lớp 12 - Tiết 60: Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng

Tiết 60ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳngNhắc lại định lí về mối liên hệ giữa diện tích hình thang cong và tích phân?Định lí: Cho hàm số y = f(x) liên tục, không âm trên đoạn [a; b]. Diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục Ox, đường thẳng x =a, x= b là:?1Nhóm 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x2 – 2x + 1, trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = 3.Nhóm 1: Tính diện tích hình tròn bán kính R giới hạn bởi đường tròn có phương trình : x2 + y2 = R2Nhóm 2: + Tính diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x2, trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = 2. + Vẽ đồ thị hàm số y = - x2 từ đó so sánh diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = - x2 trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = 2 với kết quả ở trờn.Nhóm 3: Tính diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x3 – 3x2 + 6, trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = 3.H1Thực hiện các bài tập sau:Diện tớch hỡnh trũn bỏn kớnh R là: S = 4S’ trong đú S’ là diện tớch hỡnh phẳng giới hạn bởi: đồ thị hàm số và hai đường thẳng x = 0 và x = R.Ta cú: Đặt x = Rsint, dx = Rcostdt. x = 0 thỡ t = 0; x = R thỡ t = /2Vậy S = 4S’ = R2N1Quay lạiLời giảiXột đường trũn cú phương trỡnh: x2 + y2 = R2xyN2+ Diện tớch hỡnh thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x2, trục Ox và hai đường thẳng x = 1, x = 2 là:+ Căn cứ vào hỡnh vẽ nhận thấy: Diện tớch hỡnh thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = - x2, trục Ox và hai đường thẳng x = 1, x = 2 là: S2 = S1 =y = x2y = - x2Vậy diện tớch hỡnh thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) liờn tục, õm trờn đoạn [a;b], trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b là gỡ?Tiếp tụcDiện tớch hỡnh thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) liờn tục, õm trờn đoạn [a;b], trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b là:Diện tớch hỡnh thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x3 – 3x2 + 6 , trục Ox và hai đường thẳng x = 1, x = 3 là:N3Quay lạiN4Diện tớch hỡnh thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x2 – 2x + 1 , trục Ox và hai đường thẳng x = 1, x = 3 là:Quay lạixyNhận xột: Diện tớch hỡnh phẳng giới hạn bởi đồ thị cỏc hàm số: y = x3 – 3x2 + 6 , y = x2 - 2x + 1 và hai đường thẳng x = 1, x = 3 là:S = S3 – S4 Vậy diện tớch hỡnh phẳng giới hạn bởi đồ thị cỏc hàm số y = f(x), y = g(x) liờn tục trờn đoạn [a;b] và hai đường thẳng x = a, x = b bằng?Tiếp tụcTừ kết quả của nhúm 3 và nhúm 4, tớnh diện tớch hỡnh phẳng giới hạn bởi đồ thị cỏc hàm số: y = x3 – 3x2 + 6 , y = x2 - 2x + 1 và hai đường thẳng x = 1, x = 3 ?y = x3 – 3x2 + 6 y = x2 - 2x + 1 Một số cụng thức cần nhớa) Diện tớch hỡnh phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) liờn tục trờn đoạn [a;b], trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b là:b) Diện tớch hỡnh phẳng giới hạn bởi đồ thị cỏc hàm số y = f(x), y = g(x) liờn tục trờn đoạn [a;b] và hai đường thẳng x = a, x = b Quay lại2. Một số vớ dụVớ dụ 1: Tớnh diện tớch hỡnh phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x3 – 1, trục tung, trục hoành và đường thẳng x = 2.Lời giải:Đặt f(x) = x3 – 1.Ta cú: f(x) ≤ 0 trờn [0;1] và f(x) ≥ 0 trờn [1; 2]Diện tớch hỡnh phẳng cần tỡm là:yxy = x3 - 1Vớ dụ 2: Tớnh diện tớch hỡnh phẳng giới hạn bởi đồ thị cỏc hàm số: f1(x) = x3 – 3x và f2(x) = x Lời giải:Phương trỡnh hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số f1(x) = x3 – 3x và f2(x) = x là: Diện tớch hỡnh phẳng cần tỡm là:xyf1(x) =x3 – 3xf2(x) =x3. Bài tập vận dụngThực hiện H1 và H2 trong sỏch giỏo khoa!H1: Tỡm diện tớch hỡnh phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số: y = 4 – x2, đường thẳng x = 3, trục tung và trục hoành.H2 :Tớnh diện tớch hỡnh phẳng giới hạn bởi đường thẳng y = x + 2 và Parabol y = x2 + x - 2H1: Giải: Đặt f(x) = 4 – x2, f(x) ≥ 0 trờn [0; 2] và f(x) ≤ 0 trờn [2; 3] nờn:H2: Giải: PT hoành độ giao điểm: x2 + x - 2 = x + 2 x = -2; x = 2. Vậy:Chỳ ý: + Để khử dấu giỏ trị tuyệt đối trong cụng thức: • Giải phương trỡnh f(x) – g(x) = 0 trờn đoạn [a; b], giả sử pt cú cỏc nghiệm c, d (a ≤ c < d ≤ b). Trờn từng đoạn [a;c], [c;d], [d;b] thỡ f(x) – g(x) khụng đổi dấu. Trờn mỗi đoạn đú, chẳng hạn trờn đoạn [c; d], ta cú:Ta thực hiện như sau:Củng cố:- Ghi nhớ cỏc cụng thức tớnh diện tớch hỡnh phẳng.- Bài tập đề nghị: Tớnh diện tớch hỡnh phẳng giới hạn bởi đồ thị cỏc hàm số: y = x2 – 4x +3, y = - 2x + 2 và y = 2x – 6.y = x2 - 4x + 3y = -2x + 2y = 2x - 6yx