Bài giảng môn Đại số lớp 12 - Tiết 49, 50, 51: Giới hạn của dãy số

TIẾT 49, 50, 51: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ Ngày soạn: A/. Mục tiêu: Thông qua nội dung bài học, giúp học nắm được: 1. Kiến thức: Định nghĩa giới hạn hữu hạn của dãy số. Một số giới hạn đặc biệt của dãy số. Một số định lí về giới hạn của dãy số và công thức tính tổng của CSN lùi vô hạn. Định nghĩa giới hạn tại vô cực. 2. Kĩ năng: Tìm giới hạn của một số dãy số đơn giản. Tìm được tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn. 3. Thái độ: Rèn luyện tính nghiêm túc khoa học, tính cần cù, chịu khó. B/. Phương pháp dạy học: Gợi mở + Nêu và giải quyết vấn đề + Hoạt động nhóm C/. Chuẩn bị: 1. GV: Giáo án, các ví dụ mẫu. 2. HS: Sgk, chuẩn bị trước bài mới. D/. Thiết kế bài dạy: TIẾT 49 Ngày dạy: I/. Ổn định lớp: Sỉ số.......Vắng:....... II/. Kiểm tra bài cũ: (Xen vào bài mới) III/. Nội dung bài mới: Đặt vấn đề: Triển khai bài: HOẠT ĐỘNG CỦA THẦY HOẠT ĐỘNG CỦA TRÒ Hoạt động 1: (Định nghĩa giới hạn của dãy số) HĐTP1: (Dãy số có giới hạn 0) Gv: Cho dãy với . - Viết dãy dưới dạng khai triển và biểu diễn chúng trên trục số?. - Tính khoảng cách từ đến 0 và nêu nhận xét về các khoảng cách đó?. - Bắt đầu từ số hạng un nào của dãy số thì khoảng cách từ un đến 0 nhỏ hơn 0,01; 0,001? Gv: Như vậy, nhỏ bao nhiêu cũng được miễn là chọn n đủ lớn. Khi đó ta nói dãy (un) có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực. Gv: Vậy, dãy (un) có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực khi nào?. Gv hướng dẫn học sinh làm ví dụ 1 Sgk. (Lưu ý: (un) có thể là dãy không đơn điệu và có thể dần về 0 từ bên trái hoặc bên phải hoặc từ cả hai phía). HĐTP2: Dãy số có giới hạn a. Gv cho học sinh phát biểu định nghĩa 2 (Sgk) Gv: Nêu cách giải Ví dụ 2 trang 114 Sgk?. Gv gọi học sinh lên bảng thực hiện. HĐTP3: Một vài dãy số có giới hạn đặc biệt Gv: yêu cầu học sinh đọc một vài giới hạn đặc biệt ở Sgk Chú ý: ta có thể viết tắt I/. Giới hạn hữu hạn của dãy số. 1. Định nghĩa: Ví dụ1: - Dạng khai triển: - Biểu diễn trên trục số: -Các khoảng cách đó nhỏ dần về 0. - Kể từ số hạng u101, u1001. Định nghĩa 1: (Sgk) Kí hiệu: hay khi Ví dụ 2: (Sgk) Định nghĩa 2: haykhi Ví dụ 3: Cho dãy (vn) với . Chứng minh Ta có: Vậy, 2. Một vài giới hạn đặc biệt. IV/. Củng cố: Em hãy cho biết những nội dung chính đã học trong tiết học này?. Hãy phát biểu một vài giới hạn đặc biệt. Chia học sinh thành 4 nhóm cùng làm bài tập 1 trang 121 Sgk. Nhóm 1 trình bày câu a: Nhận xét: . Dự đoán: (Về nhà chứng minh) Nhóm 2 trình bày câu b: Nhóm 3, 4 trình bày câu c:Ta có: . . Lấy n = 36. Vậy sau chu kì thứ 36 tức là 864.000 năm thì không còn độc hại với con người. V/. Dặn dò: Nắm vứng lí thuyết. Làm bài tập 2 trang 121 Sgk. Xem trước các mục còn lại. TIẾT 50 Ngày dạy: I/. Ổn định lớp: Sỉ số.......Vắng:....... II/. Kiểm tra bài cũ: Cho dãy số (un) với . Chứng minh rằng III/. Nội dung bài mới: Đặt vấn đề: Triển khai bài: HOẠT ĐỘNG CỦA THẦY HOẠT ĐỘNG CỦA TRÒ Hoạt động 1: (Dẫn dắt khái niệm) Gv tổ chức cho học sinh đọc hiểu nội dung định lí 1 trang 114 Sgk Gv: Vận dụng định lí để tìm giới hạn của các dãy số. Gv: Tìm Gợi ý: Chia cả tử và mẫu cho n có số mũ cao nhất nhằm áp dụng được các giới hạn đặc biệt. Gv: Tìm Gv yêu cầu học sinh lên bảng thực hiện. Hoạt động 2: (Dẫn dắt khái niệm) Gv: Cho cấp số nhân (un) và (vn) với . Tìm công bội và tính tổng n số hạng đầu của CSN đó. Gv nhắc lại một số kiến thức về cấp số nhân để học sinh thực hiện. Gv: Cấp số nhân (un) gọi là cấp số nhân lùi vô hạn còn cấp số nhân (vn) thì không. Từ đó gv nêu định nghĩa CSN lùi vô hạn. Gv: Hãy cho một vài cấp số nhân lùi vô hạn?. Gv: Vấn đề là liệu có tìm được tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn hay không?. Gv: Hãy tính tổng n số hạng đầu của un?. Gv: Hãy tìm limSn?. Giải thích tại sao?. Gv: Giới hạn này được gọi là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn và kí hiệu Gv: Tính Gv: Để tìm được S ta cần tìm u1 và q. Từ đó hãy tính S?. Gv: Tính - Xét các số hạng của dãy có phải là CSN lùi vô hạn không. Nếu phải thì tìm u1 và q sau đó áp dụng công thức để tính. - Học sinh thực hiện. II/. Định lí về giới hạn hữu hạn Định lí 1: Nếu thì: Ví dụ 1: Ví dụ 2: III/. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn Ví dụ 3: Với (un) ta có: và Với (vn) ta có: và Cấp số nhân vô hạn (un) với công bội được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn. Cho CSN lùi vô hạn (un) với công bội q. Suy ra: Vậy: Ví dụ 4: Tính tổng a) Xét dãy: là một CSN lùi vô hạn với . Vậy: b) Xét dãy: là một cấp số nhân lùi vô hạn với . Vậy: IV/. Củng cố: Hãy nêu các định lí về giới hạn?. Nêu công thức tính tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn. Bài tập trắc nghiệm: (Học sinh làm theo nhóm) Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn bằng: A. B. C. D. V/. Dặn dò: Nắm vững các định lí về giới hạn hữu hạn và công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn. Bài tập về nhà: 3,4,5,6,7 trang 121 và 122 Sgk. Tham khảo trước mục IV còn lại. š&› TIẾT 51 Ngày dạy: I/. Ổn định lớp: Sỉ số.......Vắng:....... II/. Kiểm tra bài cũ: Tính: III/. Nội dung bài mới: Đặt vấn đề: Triển khai bài: HOẠT ĐỘNG CỦA THẦY HOẠT ĐỘNG CỦA TRÒ Hoạt động 1: (Hình thành khái niệm giới hạn vô cực) Gv: Cho dãy số với . - Nêu nhận xét về giá trị của un khi n tăng lên vô hạn?. - Với n như thế nào thì un > 10.000?. Gv: Nghĩa là un có thể lớn hơn một số dườg bất kì kể từ một số hạng nào đó trở đi. Lúc đó ta nói, dãy (un) dần tới dương vô cực khi Gv: Hãy nêu định nghĩa giới hạn vô cực?. Gv: Gv nêu chú ý về một số giới hạn đặc biệt Hoạt động 2: (giới thiệ định lí 2) Gv: Yêu cầu học sinh đọc hiểu định lí 2 Sgk. Gv kiểm tra sự đọc hiểu của học sinh. Gv: Tìm Gợi ý: Chia cả tử và mẫu cho n. Học sinh lên bảng thực hiện. Gv: Tìm Gợi ý: đặt n2 làm nhân tử chung. Sau đó áp dụng định lí 2. IV/. Giới hạn vô cực 1. Định nghĩa: Ví dụ 1: Cho dãy số với . - Giá trị của un càng lớn khi n tăng lên vô hạn. - Ta có: Ta nói dãy số có giới hạn khi nếu un có thể lớn hơn một số dương bất kì kể từ một số hạng nào đó trở đi. Kí hiệu: hay khi Dãy số có giới hạn khi nếu Kí hiệu: hay khi Chú ý: 2. Định lí 2: Ví dụ 2: Ta có: Ví dụ 3: Ta có: IV/. Củng cố: Định nghĩa giới hạn vô cực. Định lí 2. V/. Dặn dò: Học kĩ các khái niệm, định lí về giới hạn của dãy số. Hoàn thành các bài tập trang 121 - 122 Sgk. Tiết sau luyện tập. š&› TIẾT 52: LUYỆN TẬP Ngày soạn: Ngày dạy A/. Mục tiêu: Thông qua nội dung bài học, giúp học củng cố và rèn luyện: 1. Kiến thức: Định nghĩa giới hạn hữu hạn của dãy số. Một số giới hạn đặc biệt của dãy số. Một số định lí về giới hạn của dãy số và công thức tính tổng của CSN lùi vô hạn. Định nghĩa giới hạn tại vô cực. 2. Kĩ năng: Tìm giới hạn của dãy số. Tìm được tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn. 3. Thái độ: Rèn luyện tính nghiêm túc khoa học, tính cần cù, chịu khó. B/. Phương pháp dạy học: Gợi mở + Nêu và giải quyết vấn đề C/. Chuẩn bị: 1. GV: Giáo án, bài tập Sgk 2. HS: Sgk, Bài tập Sgk. D/. Thiết kế bài dạy: I/. Ổn định lớp: Sỉ số.......Vắng:....... II/. Kiểm tra bài cũ: (Xen vào bài mới) III/. Nội dung bài mới: Đặt vấn đề: Triển khai bài: HOẠT ĐỘNG CỦA THẦY HOẠT ĐỘNG CỦA TRÒ Hoạt động 1: (Củng cố kiến thức về giới hạn của dãy số) Gv: nên theo định nghĩa 1 ta có như thế nào?. Gv: Mặt khác nên em có kết luận gì?. Vì sao?. Có nghĩa là gì?. Gv: Làm bài tập 3 trang 121. Gợi ý: Ap dụng các định lí về giới hạn. Gv gọi 2 học sinh lên bảng thực hiện. Cả lớp cùng làm và nhận xét kết quả Gv: Làm bài tập 4 trang 122 Sgk. Gv cho học sinh tìm u1; u2; u3;...;un. Gv: Dãy số u1; u2; u3;...;un; ... có phải là một cấp số nhân lùi vô hạn không?. Vì sao?. Nếu phải hãy chỉ ra u1 và q=?. Gv: Hãy tìm tổng trên?. Gv: Tính Gv: Cho a=1,02020202...Hãy viết a dưới dạng phân số?. Gợi ý: Xét dãy: là một CSN lùi vô hạn do đó ta tính được S. Gv: Làm bài tập 7 Sgk. Gợi ý: Ap dụng giới hạn vô cực. Gv gọi 4 học sinh lên bảng thực hiện. Chú ý: Gv: Làm bài tập 8 trang 122 Sgk. Biết Gợi ý: Ap dụng các định lí về giới hạn. LÀM BÀI TẬP Bài 1: Vì nên có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Mặt khác: . Suy ra: có thể nhỏ hơn một số dương tuỳ ý kể từ một số hạng nào đó trở đi, nghĩa là Bài 2: Tìm giới hạn a) b) Bài 3: a) b) Xét dãy: u1; u2; u3;...;un; ... là một cấp số nhân lùi vô hạn với và . Vậy: Bài 4: Bài 5: Ta có: Bài 6: Tính các giới hạn: a) b) c) d) Bài 7: a) b) IV/. Củng cố: Các định lí về giới hạn. Công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn. Định nghĩa dãy số có giới hạn 0, có giới hạn a. Giới hạn vô cực. Chú ý: . Còn không xác định. V/. Dặn dò: Học thuộc các định lí, định nghĩa về giới hạn của dãy số. Xem lại tất cả các bài tập được hướng dẫn. Tham khảo trước bài mới: GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ. š&› TIẾT 53, 54, 55: GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ Ngày soạn: A/. Mục tiêu: Thông qua nội dung bài học, giúp học sinh nắm được: 1. Kiến thức: Định nghĩa giới hạn của hàm số tại một điểm. Định lí về giới hạn hữu hạn. Định nghĩa giới hạn một bên. Định nghĩa giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực. Định nghĩa giới hạn vô cực của hàm số và một vài quy tắc về giới hạn vô cực. 2. Kĩ năng: Tìm giới hạn của hàm số tại một điểm và tại vô cực. Tìm giới hạn một bên. 3. Thái độ: Rèn luyện tính nghiêm túc khoa học, tính cần cù, chịu khó. B/. Phương pháp dạy học: Gợi mở + Nêu và giải quyết vấn đề C/. Chuẩn bị: 1. GV: Giáo án, các ví dụ mẫu. 2. HS: Sgk, chuẩn bị trước bài mới. D/. Thiết kế bài dạy: TIẾT 53 Ngày dạy: I/. Ổn định lớp: Sỉ số.......Vắng:....... II/. Kiểm tra bài cũ: (Xen vào bài mới) III/. Nội dung bài mới: Đặt vấn đề: Triển khai bài: HOẠT ĐỘNG CỦA THẦY HOẠT ĐỘNG CỦA TRÒ Hoạt động 1: (Giới hạn của hàm số tại 1 điểm) Gv đặt vấn đề về giới hạn hữu hạn bằng cách xét bài toán như trong sách giáo khoa. Gv: Cmr Chú ý: Gv: Tìm Gv: Cmr Gv: Ta thấy với mọi dãy số (xn) bất kì sao cho thì f(xn) . Ta nói hàm số f(x) có giới hạn là 2 khi x dần tới 1. Từ đó gv cho học sinh phát biểu định nghĩa 1 Sgk. Gv: Khoảng K có thể là: Gv hướng dẫn học sinh làm VD1 trang 124 Sgk Gv: Theo yêu cầu của bài toán ta cần Cm điều gì?. Vì sao?. Gợi ý: Sử dụng định nghĩa 1 để chứng minh. Chú ý: . Hàm số không xác định tại điểm x0 nhưng lại có giới hạn tại x0. Gv viên gọi một học sinh giỏi nêu nhận xét. Hoạt động 2: (Định lí về giới hạn hữu hạn) Gv cho học sinh đọc hiểu các định lí về giới hạn hữu hạn ở định lí 1 Sgk trang 125. Gv: Tính Gợi ý: Ap dụng các định lí về giới hạn. Gv gọi học sinh lên bảng thực hiện và cả lớp nhận xét. Gv: Tìm Gv: Ta áp dụng định lí 1 ngay có được không?. Vì sao?. Vậy phải làm gì để áp dụng được?. (Rút gọn trước khi áp dụng định lí 1) Gv: Tìm ? Gv: Ap dụng được định lí 1 ngay. Vì sao?. 1. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại 1 điểm. 1.1. Định nghĩa: Xét hàm số: . a) Ta có: (đpcm) b) c) Ta có: Định nghĩa 1: Ví dụ 1: Giả sử (xn) là dãy số bất kì thoả mãn khi . Ta có: Vậy, Nhận xét: 1.2. Định lí về giới hạn hữu hạn Định lí 1: (Sgk) Ví dụ 2: Ví dụ 3: Ta có: Ví dụ 4: IV/. Củng cố: Định nghĩa giới hạn của hàm số tại một điểm và kí hiệu. Định lí về giới hạn hữu hạn của hàm số. & Ap dụng: Dùng định nghĩa, hãy tìm Giả sử (xn) là một dãy số bất kì sao cho . Ta có: . Vậy, V/. Dặn dò: Nắm vững định nghĩa giới hạn của hàm số tại một điểm và các định lí về giới hạn cuả hàm số Bài tập về nhà: Bài 2, Bài 3(a,b,c) trang 132 Sgk. Xem trước các phần còn lại. TIẾT 54 Ngày dạy: I/. Ổn định lớp: Sỉ số.......Vắng:....... II/. Kiểm tra bài cũ: Tìm III/. Nội dung bài mới: Đặt vấn đề: Trong định nghĩa 1 về giới hạn của hàm số khi , ta xét dãy số (xn) bất kì, . Giá trị xn này có thể lớn hơn hay nhỏ hơn x0. Nếu ta xét dãy (xn) mà xn >x0 hoặc xn<x0 thì ta có định nghĩa giới hạn một bên. Triển khai bài: HOẠT ĐỘNG CỦA THẦY HOẠT ĐỘNG CỦA TRÒ Hoạt động 1: (Giới hạn một bên) Từ việc đặt vấn đề GV nêu định nghĩa giới hạn một bên của hàm số. Gv: Từ định nghĩa ta thừa nhận định lí sau: Gv yêu cầu học sinh làm ví dụ 4 trang 127 Sgk Gv: Tìm Chú ý: Gv: Có tồn tại hay không ?. Vì sao?. Hoạt động 2: (Giới hạn của hàm số tại vô cực) Gv đặt vấn đề như HĐ3 Sgk. Từ đó nêu định nghĩa giới hạn của hàm số tại vô cực nghĩa là khi . Gv yêu cầu học sinh đọc hiểu ví dụ 5 trang 128 Gv nêu chú ý Sgk trang 129 Sgk Gv: Tìm Gv yêu cầu hs áp dụng định lí 1 để tìm giới hạn của hàm số trên. 1.3. Giới hạn một bên Định nghĩa 2: Cho hàm số y = f(x) xác định trên (x0; b). Cho hàm số y = f(x) xác định trên (a; x0). Định lí: Ví dụ 1: Ta có: Ta thấy: 2. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực Định nghĩa 3: Cho hàm số y = f(x) xác định trên Ta nói y= f(x) có giới hạn là L khi nếu với dãy số (xn) bất kì, xn > a và ta có . Kí hiệu: . Cho hàm số y = f(x) xác định trên Ta nói y= f(x) có giới hạn là L khi nếu với dãy số (xn) bất kì, xn < a và ta có . Kí hiệu: . Ví dụ 2: (Sgk) Chú ý: Định lí 1 trang 125 vẫn còn đúng khi Ví dụ 3: IV/. Củng cố: Thông qua nội dung tiết dạy các em cần nắm: Định nghĩa giới hạn một bên và định nghĩa giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực Các định lí về giới hạn hữu hạn của hàm số khi V/. Dặn dò: Làm bài tập 3(d,e,f); Bài 4, 5 trang 132, 133 Sgk. Tham khảo trước mục III còn lại. š&› TIẾT 55 Ngày dạy: I/. Ổn định lớp: Sỉ số.......Vắng:....... II/. Kiểm tra bài cũ: Phát biểu định nghĩa giới hạn một bên. Ap dụng: Tìm III/. Nội dung bài mới: Đặt vấn đề: Triển khai bài: HOẠT ĐỘNG CỦA THẦY HOẠT ĐỘNG CỦA TRÒ Hoạt động 1: (Khái niệm giới hạn vô cực) Gv: Tương tự định nghĩa 1, 2, 3 hãy nêu định nghĩa giới hạn vô cực của hàm số y = f(x) khi x dần tới dương vô cực?. Gv: Gv nêu một vài giới hạn đặc biệt và cho học sinh nhận xét sự đúng đắn của các giới hạn đó. Gv: Cho Gv cho học sinh tìm giới hạn Gv đặt vấn đề và cho học sinh tìm giới hạn của thương . Chú ý: Các quy tắc trên vẫn còn đúng khi Gv cho học sinh áp dụng. Gv: Tìm Gv: Tìm Gv: Tìm 3. Giới hạn vô cực của hàm số 3.1. Giới hạn vô cực: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng Nhận xét: 3.2. Một vài giới hạn đặc biệt: 3.3. Một vài quy tắc về giới hạn vô cực. a) Giới hạn của tích L>0 L<0 b) Giới hạn của thương Dấu g(x) L Tuỳ ý 0 L>0 0 + - L<0 + - Ví dụ : Tìm giới hạn a) b) c) IV/. Củng cố: Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm. Khái niệm giới hạn một bên. Khái niệm giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực. Khái niệm giới hạn vô cực của hàm số và quy tắc tìm giới hạn của một thương, một tích. Ap dụng: Làm bài tập trắc nghiệm: Câu 1: bằng: a) -1 b) c) -3 d) Câu 2: bằng: a) b) 1 c) D) -1 V/. Dặn dò: Nắm vững các định nghĩa các định lí để tìm giới hạn của hàm số. Bài tập về nhà: Trang 132, 133 Sgk. Tiết sau luyện tập và làm bài kiểm tra 15 phút. TIẾT 56: LUYỆN TẬP Ngày soạn: Ngày dạy: A/. Mục tiêu: Thông qua nội dung làm bài tập, giúp học sinh củng cố và rèn luyện: 1. Kiến thức: Định nghĩa giới hạn của hàm số tại một điểm. Định lí về giới hạn hữu hạn. Định nghĩa giới hạn một bên. Định nghĩa giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực. Định nghĩa giới hạn vô cực của hàm số và một vài quy tắc về giới hạn vô cực. 2. Kĩ năng: Vận dụng được lí thuyết về giới hạn để tìm giới hạn của hàm số. 3. Thái độ: Rèn luyện tính nghiêm túc khoa học, tính cần cù, chịu khó. B/. Phương pháp dạy học: Gợi mở + Nêu và giải quyết vấn đề C/. Chuẩn bị: 1. GV: Giáo án, các bài tập sách giáo khoa 2. HS: Sgk, chuẩn bị trước bài tập ở nhà. D/. Thiết kế bài dạy: I/. Ổn định lớp: Sỉ số.......Vắng:....... II/. Kiểm tra bài cũ: (Làm bài kiểm tra 15 phút ) III/. Nội dung bài mới: Đặt vấn đề: Triển khai bài: HOẠT ĐỘNG CỦA THẦY HOẠT ĐỘNG CỦA TRÒ Hoạt động 1: (Củng cố các khái niệm về giới hạn của hàm số) Gv: Làm bài tập 3 trang 132 Sgk. - Hãy tìm limun và limvn?. - Hãy tìm Gv: Từ (1) và (3) em có kết luận gì?. Tại sao? Từ (2) và (4) em có kết luận gì?. Tại sao?. Gv: Từ đó em có kết luận gì về giới hạn của hàm số khi x dần tới 0?. Gv: Tìm Chú ý: Ta có thể áp dụng được định lí vì khi x dần tới -3 thì cả tử và mẫu dần về số khác 0 Gv: Tìm Chú ý: Khi thì cả tử và mẫu đều dần tới 0 do đó ta không áp dụng được định lí mà phải rút gọn trước khi áp dụng định lí. Gv: Tìm Gợi ý: Nhân với cả tử và mẫu với Gv: Tìm Gv: Tìm Nhận xét: Tử dần về -2 0. Gv: Tìm Ap dụng quy tắc tìm giới hạn. Gv: Tìm Gv: Tìm Gv: Tìm Chú ý: Gv: Tìm Gv: Tìm Chú ý: Làm bài tập Bài 1: Ta có: Từ (1) và (3) suy ra: Từ (2) và (4) suy ra: Do nên hàm số không có giới hạn khi x dần về 0. Bài 2: a) b) c) d) e) Bài 3: Tìm giới hạn a) b) c) d) e) f) g) IV/. Củng cố: Qua nội dung làm bài tập các em cần nhớ: Các định lí về giới hạn của hàm số và một số quy tắc tìm giới hạn của một tích, thương các hàm số. Cách tìm giới hạn hàm số tại vô cực và tại một điểm. Cách tìm giới hạn của hàm số có chứa dấu căn bậc hai, căn bậc ba. V/. Dặn dò: Tự nghiên cứu lại các bài tập được hướng dẫn. Làm bài tập về nhà: Bài 7 trang 133. Tham khảo trước nội dung bài: Hàm số liên tục. Bài 1: Cho hàm số . Tính Bài 2: Tính: ¶&¶ TIẾT 57, 58: HÀM SỐ LIÊN TỤC Ngày soạn: A/. Mục tiêu: Thông qua nội dung bài học, giúp học sinh nắm được: 1. Kiến thức: Định nghĩa hàm số liên tục tại, gián đoạn tại một điểm x0. Định nghĩa hàm số liên tục trên một khoảng, trên một đoạn. Phương pháp chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình. 2. Kĩ năng: Xét tính liên tục hoặc gián đoạn của hàm số tại một điểm. Xét tính liên tục của hàm số trên một khoảng. Chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình. 3. Thái độ: Rèn luyện tính nghiêm túc khoa học, tính cần cù, chịu khó. B/. Phương pháp dạy học: Gợi mở + Nêu và giải quyết vấn đề C/. Chuẩn bị: 1. GV: Giáo án, các ví dụ mẫu. 2. HS: Sgk, chuẩn bị trước bài mới. D/. Thiết kế bài dạy: TIẾT 57 Ngày dạy: I/. Ổn định lớp: Sỉ số.......Vắng:....... II/. Kiểm tra bài cũ: (Xen vào bài mới) III/. Nội dung bài mới: Đặt vấn đề: Triển khai bài: HOẠT ĐỘNG CỦA THẦY HOẠT ĐỘNG CỦA TRÒ Hoạt động 1: (Khái niệm hàm số liên tục tại một điểm) Gv cho học sinh quan sát đồ thị của hàm số và Gv: Tính giá trị của mỗi hàm số tại x = 1 và so sánh với giới hạn (nếu có) của hàm số khi ?. Gv: Lúc đó ta nói hàm số y = f(x) liên tục tại điểm x =1, còn hàm số y = g(x) không liên tục tại điểm x = 1. Từ đó giáo viên cho học sinh nắm định nghĩa Sgk. Gv: Xét tính liên tục của hàm số tại x0 = 3. Hoạt động 2: (Khái niệm hàm số liên tục trên một khoảng). Gv cho học sinh nêu định nghĩa như ssk. Gv: Em có nhận xét gì về đồ thị của một hàm số liên tục và không liên tục trên một khoảng? 1. Hàm số liên tục tại một điểm Ta thấy: còn không tồn tại. Đồ thị của hàm số f(x) là một đường liền nét; đồ thị hàm g(x) đứt đoạn tại điểm x =1. Định nghĩa 1: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng K và . Hàm số f(x) liên tục tại x0 Nếu hàm số f(x) không liên tục tại điểm x0 thì được gọi là gián đoạn tại điểm đó. Ví dụ: Hàm số xác định tại điểm x0 = 3. Ta có: Vậy, hàm số liên tục tại điểm x0 = 3. 2. Hàm số liên tục trên một khoảng 2.1. Định nghĩa: Hàm số f(x) gọi là liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó Hàm số f(x) gọi là liên tục trên nếu nó liên tục trên khoảng (a;b) và liên tục phải tại điểm a, liên tục trái tại điểm b. 2.2. Nhận xét: (sgk) IV/. Củng cố: Định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm và liên tục trên một khoảng. Đồ thị của hàm số liên tục. Ap dụng: Xét tính liên tục của hàm số tại điểm x = 3. Ta có: . Vậy, hàm số đã cho liên tục tại điểm x = 3. V/. Dặn dò: Nắm vững khái niệm liên tục của hàm số. Bài tập về nhà: 2, 3 trang 141 Sgk. Tham khảo trước nội dung bài mới. TIẾT 58 Ngày dạy: I/. Ổn định lớp: Sỉ số.......Vắng:....... II/. Kiểm tra bài cũ: Nêu định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm. Ap dụng: Xét tính liên tục của hàm số f(x) = 2x2 -3x + 4 tại điểm x = 2. III/. Nội dung bài mới: Đặt vấn đề: Triển khai bài: HOẠT ĐỘNG CỦA THẦY HOẠT ĐỘNG CỦA TRÒ Hoạt động 1: (Một số định lí). Gv cho học sinh tự nghiên cứu định lí 1,2 trang 137 Sgk. Gv: Cho hàm số Hãy xét tính liên tục của hàm số trên TXĐ?. Gv: Hãy xét tính liên tục của hàm số với ? Gv: Hãy xét tính liên tục của hàm số với x = 1? Gv: Ta thấy . Từ đó, hãy kết luận về tính liên tục của hàm số đã cho?. Gv: Giả sử, y = f(x) là hàm số liên tục trên và f(a).f(b) < 0. Hỏi đồ thị của hàm số có cắt trục Ox tại ít nhất một điểm thuộc (a; b) không?. Gv: Vậy, nếu y = f(x) là hàm số liên tục trên và f(a).f(b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 có tính chất gì?. Gv: Cmr: có ít nhất một nghiệm. Gợi ý: Tìm hai số a, b sao cho f(a).f(b) < 0. Sau đó xét tính liên tục của f(x) trên Gv yêu cầu học sinh lên bảng thực hiện. 3. Một số định lí cơ bản 3.1. Định lí 1: (Sgk) 3.2. Định lí 2: (Sgk) Ví dụ: Với , ta có . Suy ra, f(x) liên tục trên . Với x = 1, ta có: f(1) = 5 và Vì nên f(x) không liên tục tại x=1. Vậy, hàm số liên tục trên và gián đoạn tại điểm x = 1. 3.3. Định lí 3 Suy ra: Nếu y = f(x) là hàm số liên tục trên và f(a).f(b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (a;b). Ví dụ: Đặt Ta có: Suy ra: Mặt khác: f(x) liên tục trên R nên liên tục trên . Vậy, phương trình luôn có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0; 2). IV/. Củng cố: Định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm, liên tục trên một khoảng, đoạn. Một số định lí cơ bản về hàm số liên tục. Sử dụng tính liên tục của hàm số để chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình. Ap dụng: Chứng minh rằng phương trình có ít nhất hai nghiệm phân biệt thuộc khoảng (-1;1). Hướng dẫn: Đặt . Ta có: f(-1)>0; f(0) 0 V/. Dặn dò: Nắm vững các khái niệm liên quan đến hàm số liên tục. Bài tập về nhà: Từ bài 1 đến bài 6 trang 141 Sgk. Tiết sau luyện tập. TIẾT 59: LUYỆN TẬP Ngày soạn: Ngày dạy: A/. Mục tiêu: Thông qua nội dung làm bài tập, giúp học sinh củng cố: 1. Kiến thức: Định nghĩa hàm số liên tục tại, gián đoạn tại một điểm x0. Định nghĩa hàm số liên tục trên một khoảng, trên một đoạn. Phương pháp chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình. 2. Kĩ năng: Xét tính liên tục hoặc gián đoạn của hàm số tại một điểm. Xét tính liên tục của hàm số trên một khoảng. Chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình. 3. Thái độ: Rèn luyện tính nghiêm túc khoa học, tính cần cù, chịu khó. B/. Phương pháp dạy học: Gợi mở + Nêu và giải quyết vấn đề C/. Chuẩn bị: 1. GV: Giáo án, bài tập 1 đến 6 Sgk trang 141. 2. HS: Sgk, chuẩn bị trước bài mới. D/. Thiết kế bài dạy: I/. Ổn định lớp: Sỉ số.......Vắng:....... II/. Kiểm tra bài cũ: Xét tính liên tục của hàm số III/. Nội dung bài mới: Đặt vấn đề: Triển khai bài: HOẠT ĐỘNG CỦA THẦY HOẠT ĐỘNG CỦA TRÒ Hoạt động 1: (Củng cố các kiến thức về hàm số liên tục) Gv: Xét tính liên tục của hàm số tại điểm x = 2?. Gợi ý: sử dụng định nghĩa hàm số liên tục. Gv: Vậy, muốn cho g(x) liên tục tại x = 2 thì thay số 5 bởi số nào?. Vì sao?. Gv: Cho hàm số Hãy vẽ đồ thị của hàm số f(x)?. Gv yêu cầu học sinh lên bảng thực hiện Gv: Từ đồ thị, hãy nêu nhận xét tính liên tục của hàm số trên tập xác định của nó?. Gv: Hãy chứng minh khẳng định trên. Gợi ý: Tìm - Ta thấy không tồn tại. Vậy, ta có kết luận gì?. Vì sao?. Gv: Nếu hàm số y =f(x) liên tục tại điểm x0 còn hàm số y = g(x) không liên tục tại điểm x0 thì hàm số y = f(x) + g(x) không liên tục tại x0. Khẳng định trên đúng hay sai?. Hướng dẫn: Chứng minh bằng phản chứng. Gv: Chứng minh rằng có ít nhất hai nghiệm. Hướng dẫn: Tìm hai khoảng sao cho tích các giá trị của hàm số tại các điểm đầu mút của nó nhận giá trị âm. Học sinh lên bảng thực hiện. Gv: Chứng minh rằng cosx = x có ít nhất 1 nghiệm. Chú ý: cos1< 1. LÀM BÀI TẬP Bài 1: a) Ta có: mặt khác: g(2) = 5. Ta thấy: . Suy ra, hàm số g(x) không liên tục tại điểm x = 2. b) Thay số 5 bởi số 12. Vì lúc đó . Bài 2: a) Vẽ đồ thị: Hàm số liên tục trên khoảng b) Ta có: Suy ra không tồn tại. Vậy, hàm số không liên tục tại điểm x = - 1. Bài 3: Giả sử y = f(x) + g(x) liên tục tại điểm x0. Đặt, h(x) = f(x) + g(x) . Vì h(x), f(x) là hai hàm số liên tục tại x0. Suy ra: g(x) cũng liên tục tại x0. Trái với giả thiết. Vậy, khẳng định trên là đúng. Bài 4: a) Đặt . Ta có: Mặt khác: f(x) là hàm số liên tục trên R nên liên tục trên Vậy, phương trình f(x) = 0 có ít nhất hai nghiệm thuộc khoảng (-2; 0) và (0; 1). b) Đặt . Ta có: f(0) = 1 >0; f(1) =cos1 - 1 < 0 Mặt khác: f(x) là hàm số liên tục trên R nên liên tục trên . IV/. Củng cố: Định nghĩa hàm số liên tục và các tính chất của hàm số liên tục. V/. Dặn dò: Nắm vững nội dung lí thuyết và nghiên cứu lại các bài được hướng dẫn. Làm bài tập ôn tập chương IV. TIẾT 60-61: ÔN TẬP CHƯƠNG IV Ngày soạn: A/. Mục tiêu: Thông qua nội dung làm bài tập, giúp học sinh củng cố: 1. Kiến thức: Giới hạn của dãy số và các định lí liên quan. Giới hạn của hàm số và các kiến thức liên quan. Hàm số liên tục và các kiến thức liên quan đến hàm số liên tục. 2. Kĩ năng: Tìm giới hạn của dãy số, tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn. Tìm giới hạn của hàm số. Xét tính liên tục của hàm số và các bài toán về sự tồn tại nghiệm của phư