Bài giảng môn Đại số lớp 12 - Tiết 1, 2: Nguyên hàm

Tổ : Toán ChươngIII§1 Œ NGUYÊN HÀM.. (Tieát 1, 2 , ngaøy soaïn: 9.8.2008) I. Mục ñích baøi dạy: - Kiến thức cơ bản: khái niệm nguyên hàm, các tính chất của nguyên hàm, sự tồn tại của nguyên hàm, bảng nguyên hàm của các hàm số thường gặp, - Kỹ năng: biết cách tính nguyên hàm của một số hàm số đơn giản - Thaùi ñoä: tích cực xây dựng bài, chủ động chiếm lĩnh kiến thức theo sự hướng dẫn của Gv, năng động, sáng tạo trong quá trình tiếp cận tri thức mới, thấy được lợi ích của toán học trong đời sống - Tö duy: hình thành tư duy logic, lập luận chặt chẽ, và linh hoạt trong quá trình suy nghĩ. II : Chuẩn bị GV : Bảng phụ , Phiếu học tập HS : Kiến thức về đạo hàm II. Phương phaùp: - Thuyết giảng , kết hợp thảo luận nhoùm vaø hỏi ñaùp. III. Nội dung vaø tiến trình leân lớp: 1/ Kieåm tra baøi cuõ : (10 phút) Câu hỏi 1 : Hoàn thành bảng sau : (GV treo bảng phụ lên yêu cầu HS hoàn thành , GV nhắc nhở và chỉnh sửa ) f(x) f/(x) C x lnx ekx ax (a > 0, a ¹ 1) cos kx sin kx tanx cotx Câu hỏi 2 : Nêu ý nghĩa cơ học của đạo hàm 2/ Noäi dung baøi môùi: TG Hoạt động của GV Hoạt động của HS Noäi dung ghi baûng 10/ 10/ 5/ 10/ T 2 10/ 10/ 10/ 12/ HÑI : Giôùi thieäu k/n nguyeân haøm. Bài toán mở đầu L(sgk) Hỏi : 1) Nếu gọi s(t) là quãng đường đi được của viên đạn bắn được t giây , v(t) là vận tốc của viên đạn tại thời điểm t thì quan hệ giữa hai đại lượng đó như thế nào ? 2) Theo bài toán ta cần phải tìm gì? Dẫn dắt đến khái niệm nguyên hàm * Cho haøm soá y = f(x) thì baèng caùc quy taéc ta luoân tìm ñöôïc ñaïo haøm cuûa haøm soá ñoù. Vaán ñeà ñaët ra laø :” Neáu bieát ñöôïc f’(x) thì ta coù theå tìm laïi ñöôïc f(x) hay khoâng ? * Giôùi thieäu ñònh nghóa.Ghi lên bảng * Cho HS đọc chú ý (sgk Tr 136) Cho ví duï : Tìm nguyeân haøm cuûa : a/ f(x) = x2. b/ g(x) =.với x Î c) h(x) = trên *Gọi HS đứng tại chỗ trả lời ,GV chỉnh sửa và ghi lên bảng Củng cố : Cho HS thực hiện HĐ 2: (SGK) Gọi HS đứng tại chỗ trả lời * GV nhận xét và chỉnh sủa Hỏi : Neáu bieát F(x) laø moät nguyeân haøm cuûa f(x) thì ta coøn chæ ra ñöôïc bao nhieâu nguyeân haøm cuûa f(x). Từ đó ta có định lý 1 HĐ 3: Định lý 1 * Ghi định lý 1 lên bảng Hỏi 1 : Em hãy dựa vào tính chất F’(x) = f (x) ở hoạt động trên để chứng minh phần a của định lý vừa nêu. Hỏi 2 : Nếu f/(x) = 0 , có nhận xét gì về hàm số f(x) Xét = G/(x) – F/(x) = f(x) – f(x) = 0 , vậy G(x) – F(x) =C (C là hằng số ) Gv giới thiệu với Hs phần chứng minh SGK, trang 137, để Hs hiểu rõ nội dung định lý vừa nêu. Cho HS làm ví dụ 2 ( Trang 138, sgk) * GV nhận xét và chỉnh sửa GV ghi bảng phần nhận xét (sgk) . . . * Giới thiệu cho HS : Sự tồn tại của nguyên hàm: Ta thừa nhận định lý sau: (Gv ghi bảng ) Hoạt động 4 : Hãy hoàn thành bảng sau: (Phiếu học tập 1) * Hoạtđộng nhóm * Gọi đại diện nhóm lên bảng trình bày , gọi đại diện nhóm khác nhận xét , GV chỉnh sửa Từ đó có bảng nguyên hàm * Giåïi tiãûu baíng caïc nguyãn haìm cå baín.(treo bảng phụ lên) Cho vê duû aïp duûng Tçm nguyãn haìm cuía caïc haìm säú sau : (GV ghi lên baíng) Gọi HS lên bảng trình bày , GV nhận xét và chỉnh sửa Hoạt động 5 : Tính chất của nguyên hàm * Ghi tính chất của nguyên hàm lên bảng Gv giới thiệu với Hs phần chứng minh SGK, trang 140, để Hs hiểu rõ nội dung tính chất 2 vừa nêu Củng cố : Cho vê duû aïp duûng Tçm nguyãn haìm cuía caïc haìm säú sau : (GV ghi lán baíng) * Gọi HS lên bảng trình bay , GV hướng dẫn , chỉnh sửa * Hướng dẫn HS làm bài Tìm : dx Hỏi : Âãø tçm nguyãn haìm cuía haìm säú ta laìm nhæ thãú naìo ?(x > 0) HĐ 6 ) : Củng cố bài học Phát phiếu học tập Treo bảng phụ ghi nội dung phiếu học tập Đại diện nhóm lên bảng trình bày , Gv nhận xét , chỉnh sửa * HS đọc sgk Trò trả lời v(t) = s/(t) Tính s(t) biết s/(t) Trò trả lời a/ F(x) = b/G(x) = tanx c)H(x) = Thực hiện HĐ1 F1(x) = - 2cos2x là nguyên hàm của hàm số f(x) = 4sin2x F2(x) = - 2cos2x + 2 là nguyên hàm của hàm số f(x) = 4sin2x HS trả lời Vä säú, âoï laì : F(x) +C, C laì hàòng säú Đứng tại chỗ trả lời . f(x) là hàm hằng HS lên bảng trình bày Thảo luận nhóm để hoàn thành bảng nguyên hàm đã cho và làm các ví dụ sau HS trình bày Chi a tæí cho maîu dx = = (= + C = + C Thảo luận nhóm Khái niệm nguyên ham Bài toán mở đầu L(sgk) a/ Đënh nghéa : * Haìm säú F(x) âæåüc goüi laì nguyãn haìm cuía f(x) trãn K nãúu: x K ta coï: F’(x) = f(x) Chú ý : Haìm F(x) âæåüc goüi laì nguyãn haìm cuía f(x) trãn [a,b] nãúu vaìF/(a) = f(a) ; .vaìF/(b) = f(b) Vê duû: a. F(x) = laì mäüt nguyãn haìm cuía f(x) = x2 trãn R b. G(x) = tgx laì mäüt nguyãn haìm cuía g(x) = trãn khoảng c) H(x) = laì mäüt nguyãn haìm cuía h(x) = trên b/ Âënh lyï:1 Nãúu F(x) laì mäüt nguyãn haìm cuía f(x) trãn K thç: a) Våïi moüi haìng säú C, F(x) + C cuîng laì nguyãn haìm cuía f(x) trãn K b)Ngược lại với moüi nguyãn haìm G(x) cuía f(x) trãn K thì tồn tại một hằng số C sao cho G(x) = F(x) + C våïi mọi x thuộc K . Chứng minh: (sgk) Vê duû:Tìm nguyên hàm của hàm số trên R thoả mãn điều kiện F(1) = - 1 F(x) = F(1) = - 1 nên C = - 2 Vậy F(x) = x2 – 2 Tóm lại, ta có: Nếu F là một nguyên hàm của f trên K thì mọi nguyên hàm của f trên K đều có dạng F(x) + C , C R Vây F(x) + C là họ tất cả các nguyên hàm của f trên K , kí hiệu f(x)dx. Với f(x)dx là vi phân của nguyên hàm F(x) của f(x), vì dF(x) = F’(x)dx = f(x)dx. “Mọi hàm số liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K” 2) Bảng các nguyên hàm của một số hàm số thường gặp * Treo bảng các nguyên hàm cơ bản (trang 139) Ví dụ : Tçm nguyãn haìm cuía caïc haìm säú sau 1) 4x4dx = x5 + C 2) dx = + C 3) cosx/2 dx =2sin + C 3. Caïc tênh cháút cuía nguyãn haìm Nếu f và g là hai hàm số liên tục trên K thì : a) b) Với mọi số thực k 0 ta có Ví dụ : 1) ()dx = = + C 2) (x – 1) (x4 + 3x ) dx= 3) 4sin2xdx = = 2x – sin2x + C *. dx == ( =+ C=+ C Nội dung phiếu học tập IV. Củng cố ( L2/) + Gv nhắc lại các khái niệm và quy tắc trong bài để Hs khắc sâu kiến thức. + Dặn BTVN: Hoàn thành các bài tập 1..4 SGK, trang 141 + Xem trước bài : Một số phương pháp tìm nguyên hàm Nội dung các phiếu học tập : Phiếu học tập 1 : (5 phút ) 1) Hoàn thành bảng : f’(x) f(x) + C 0 axa - 1 ekx axlna (a > 0, a ¹ 1) coskx sinkx Phiếu học tập 2 (10 phút ) : Tính các nguyên hàm : 1) * (5x2 - 7x + 3)dx = 2)dx = 3) dx = Bảng nguyên hàm các hàm số thường gặp sau: sinkxdx = - coskx + C coskxdx = sinkx + C ekxdx = + C Tiết :1,2 ChươngIII§2 CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM Ngày soạn: Mục tiêu 1.Về kiến thức: - Hiểu được phương pháp đổi biến số và lấy nguyên hàm từng phần . 2. Về kĩ năng: - Giúp học sinh vận dụng được 2 phương pháp tìm nguyên hàm của một số hàm số không quá phức tạp. 3. Về tư duy thái độ: - Phát triển tư duy linh hoạt. -Học sinh tích cực tham gia vào bài học, có thái độ hợp tác. Chuẩn bị của giáo viên và học sinh 1. Giáo viên: Lập các phiếu học tập, bảng phụ. 2. Học sinh: Các kiến thức về : - Vận dụng bảng các nguyên hàm, tính chất cơ bản của nguyên hàm, vi phân. III. Phương pháp: Gợi mở vấn đáp Tiến trình bài học TIẾT 1 Kiểm tra bài cũ: (5 phút) Câu hỏi: a/ Phát biểu định nghĩa nguyên hàm . b/ Chứng minh rằng hàm số F(x) = là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 4x(2x2 +1)4. Cho học sinh khác nhận xét bài làm của bạn. Nhận xét, kết luận và cho điểm. Hoạt động 1: Xây dựng phương pháp đổi biến số. Tg Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên Ghi bảng 5’ 5’ - Nếu đặt u = 2x2 + 1, thì = == + C = + C - Thông qua câu hỏi b/ , hướng dẫn hsinh đi đến phương pháp đổi biến số. = = -Nếu đặt u = 2x2 + 1, thì biểu thức ở trên trở thành như thế nào, kết quả ra sao? - Phát biểu định lí 1. -Định lí 1 : (sgk) Hoạt động 2 :Rèn luyện kỹ năng tìm nguyên hàm bằng PPĐBS. Tg Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên Ghi bảng 7’ 7’ 6’ - HS suy nghĩ cách biến đổi về dạng - Đ1: = Đặt u = x2+1 , khi đó : = = u+ C = (x2+1)+ C - HS suy nghĩ cách biến đổi về dạng Đ2:= Đặt u = (x2+1) , khi đó : = = -cos u + C = - cos(x2+1) +C -HS suy nghĩ cách biến đổi về dạng Đ3:= = - Đặt u = cos x , khi đó : = - = -= -eu +C = - ecosx +C H1:Có thể biến đổi về dạng được không? Từ đó suy ra kquả? - Nhận xét và kết luận. H2:Hãy biến đổi về dạng ? Từ đó suy ra kquả? - Nhận xét và kết luận. H3:Hãy biến đổi về dạng ? Từ đó suy ra kquả? - Nhận xét và kết luận. Vd1: Tìm Bg: = Đặt u = x2+1 , khi đó : = = u+ C = (x2+1)+ C Vd2:Tìm Bg: = Đặt u = (x2+1) , khi đó : = = -cos u + C = - cos(x2+1) +C Vd3:Tìm Bg: = - Đặt u = cos x , khi đó : = - = -= -eu + c = - ecosx + c * chú ý: có thể trình bày cách khác: = - = - ecosx + C Hoạt động 3: Củng cố ( 10 phút) . Hoạt động nhóm. Tg Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên Ghi bảng 10’ - Các nhóm tập trung giải quyết . - Theo dõi phần trình bày của nhóm bạn và rút ra nhận xét và bổ sung. - Cho HS hđ nhóm thực hiện phiếu HT1 . - Gọi đại diện một nhóm trình bày. - Đại diện nhóm khác cho nhận xét. - GV nhận xét và kết luận. * Chú ý: Đổi biến số như thế nào đó để đưa bài toán có dạng ở bảng nguyên hàm. Bài tập về nhà: 6, 7 trang 145 Phụ lục: + Phiếu học tập1: Câu 1.Tìm kết quả sai trong các kết quả sau: a/ = = e+ C ; b/ = = lnx + C c / = 2 = 2 ln(1+) + C ; d/ = -xcosx + C Câu 2. Tìm kết quả sai trong các kết quả sau: a/ = = e+ C ; b/ = = sinx + C c / = = ln(1+) + C ; d/ = x.sinx + C TIẾT 2 Hoạt động 4:Giới thiệu phương pháp lấy nguyên hàm từng phần . Tg Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên Ghi bảng 5’ 8’ Đ: (u.v)’= u’.v + u.v’ = + = + = uv - Đ:Đặt u = x, dv = sinxdx Khi đó du = dx, v = -cosx Ta có : =- x.cosx + = - xcosx + sinx + C H: Hãy nhắc lại công thức đạo hàm một tích ? Hãy lấy nguyên hàm hai vế, suy ra = ? - GV phát biểu định lí 3 - Lưu ý cho HS: đặt u, dv sao cho tính dễ hơn . - H: Từ đlí 3 hãy cho biết đặt u và dv như thế nào? Từ đó dẫn đến kq? - yêu cầu một HS khác giải bằng cách đặt u = sinx, dv = xdx thử kq như thế nào -Định lí 3: (sgk) = uv - -Vd1: Tìm Bg: Đặt u = x,dv = sinxdx Khi đó du =dx,v =-cosx Ta có : =- x.cosx + = - xcosx + sinx + C Hoạt động 5: Rèn luyện kỹ năng tìm nguyên hàm bằng pp lấy nguyên hàm từng phần. Tg Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên Ghi bảng 5’ 5’ 5’ 2’ 7’ - Học sinh suy nghĩ và tìm ra hướng giải quyết vấn đề. Đ :Đặt u = x ,dv = exdx du = dx, v = ex Suy ra : = x. ex - = x.ex – ex + C Đ: Đặt u = x2, dv = exdx du = 2xdx, v = ex Khi đó: =x2.ex- = x2.ex-x.ex- ex+C - Đ: Đặt u = lnx, dv= dx du = dx, v = x Khi đó : = xlnx - = xlnx – x + C - Đăt u = lnx, dv = x2dx du = dx , v = Đ :Không được. Trước hết : Đặt t = dt = dx Suy ra =2 Đặt u = t, dv = sint dt du = dt, v = - cost =-t.cost+ = -t.cost + sint + C Suy ra: = = -2.cos+2sin+C H :- Dựa vào định lí 3, hãy đặt u, dv như thế nào ? Suy ra kết quả ? H : Hãy cho biết đặt u, dv như thế nào ? Suy ra kquả ? - Lưu ý :Có thể dùng từng phần nhiều lần để tìm nguyên hàm. - H : Cho biết đặt u và dv như thế nào ? - Thông qua vd3, GV yêu cầu HS cho biết đối với thì ta đặt u, dv như thế nào. H : Có thể sử dụng ngay pp từng phần được không ? ta phải làm như thế nào ? + Gợi ý : dùng pp đổi biến số trước, đặt t = . * Lưu ý cho HS các dạng thường sử dụng pp từng phần. , đặt u = f(x), dv cònlại. , đặt u = lnx,dv =f(x) dx - Vd2 :Tìm Bg : Đặt u = x ,dv = exdx du = dx, v = ex Suy ra : = x. ex - = x.ex – ex + C Vd3 : Tìm I= Bg :Đặt u = x2, dv = exdx du = 2xdx, v = ex Khi đó: =x2.ex- = x2.ex-x.ex- ex+C Vd4 :Tìm Bg : Đặt u = lnx, dv= dx du = dx, v = x Khi đó : = xlnx - = xlnx – x + C Vd5: Tìm Đặt t = dt = dx Suy ra =2 Đặt u = t, dv = sint dt du = dt, v = - cost =-t.cost+ = -t.cost + sint + C Suy ra: = = -2.cos+2sin+C * Hoạt động 6 : Củng cố (Giáo viên dùng bảng phụ, cả lớp cùng chú ý phát hiện) Tg Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên Ghi bảng 8’ - Cả lớp tập trung giải quyết . - Theo dõi phần trình bày của bạn và rút ra nhận xét và bổ sung. - Treo bảng phụ và yêu cầu cả lớp chú ý giải quyết . - Gọi 2 HS trình bày ý kiến của mình. - GV nhận xét và kết luận. V. Bài tập về nhà:7, 8, 9 trang 145 và 146 VI. Phụ lục : Dựa vào bảng sau đây, hãy cho biết gợi ý phương pháp giải nào không hợp lý. ( Đối với ) Hàm số Gợi ý phương pháp giải f(x) = (2x+1)cosx Đặt u = 2x+1 , dv =cosx f(x) = xe-x Đặt u = e-x , dv = xdx f(x) = lnx Đặt u = lnx, dv = f(x) = ex sinx Đặt u = ex ,dv = sinxdx hoặc u = sinx,dv = exdx Tiết :3 CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM Ngày soạn: ( Luyện tập) Mục tiêu 1.Về kiến thức: - Học sinh nắm vững hai pp tìm nguyên hàm . 2. Về kĩ năng: - Giúp học sinh vận dụng được 2 phương pháp tìm nguyên hàm của một số hàm số. 3. Về tư duy thái độ: - Phát triển tư duy linh hoạt. -Học sinh tích cực tham gia vào bài học, có thái độ hợp tác. Chuẩn bị của giáo viên và học sinh 1. Giáo viên : - Bài tập sgk - Lập các phiếu học tập. 2. Học sinh: Biết phân biệt dạng toán dung pp đổi biến số, từng phần III. Phương pháp: IV.Tiến trình bài học Kiểm tra bài cũ: (10 phút) Câu hỏi 1: Hãy phát biểu phương pháp đổi biến số để tìm nguyên hàm? Áp dụng: Tìm cosdx Câu hỏi 2:Hãy phát biểu phương pháp lấy nguyên hàm từng phần để tìm nguyên hàm. Áp dụng: Tìm (x+1)edx Yêu cầu một HS khác nhận xét, bổ sung. Gv kết luận và cho điểm. Thời gian Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên Ghi bảng 5’ 5’ 6’ 9’ - Hs1: Dùng pp đổi biến số Đặt u = sin2x - Hs2: Đặt u = sin2x du = 2cos2xdx Khi đó:sin2x cos2xdx =udu =u6 + C = sin62x + C -Hs1: Dùng pp đổi biến số Đặt u = 7-3x2 - Hs2:đặt u=7+3x2du=6xdx Khi đó : dx = =udu = u+C =(7+3x2)+C Đ: Dùng pp lấy nguyên hàm từng phần. Đặt u = lnx, dv = dx du = dx , v = x Khi đó: lnxdx = = x-xdx = x- x+ C= = - x+C Đ:Dùng pp đổi biến số, sau đó dùng pp từng phần. Đặt t = t=3x-9 2tdt=3dx Khi đó:edx =tedt Đặt u = t, dv = etdt du = dt, v = et Khi đó:tedt=tet - = t et- et + c Suy ra: edx=tet - et + c Thông qua nội dung kiểm tra bài cũ Giáo viên nhấn mạnh thêm sự khác nhau trong việc vận dụng hai phương pháp. - Gọi môt học sinh cho biết cách giải, sau đó một học sinh khác trình bày cách giải. -Gọi môt học sinh cho biết cách giải, sau đó một học sinh khác trình bày cách giải. H:Có thể dùng pp đổi biến số được không? Hãy đề xuất cách giải? H:Hãy cho biết dùng pp nào để tìm nguyên hàm? - Nếu HS không trả lời được thì GV gợi ý. Đổi biến số trước, sau đó từng phần. Bài 1.Tìm sin cosdx Bg: Đặtu=sin du= cosdx Khi đó:sin cosdx =udu =u6 + C= sin6 + C Hoặc sin cosdx =sin d(sin ) =sin + C Bài 2.Tìm dx Bg: Đặt u=7+3x2du=6xdx Khi đó : dx = =udu = u+C =(7+3x2)+C Bài 3. Tìm lnxdx Bg: Đặt u = lnx, dv = dx du = dx , v = x Khi đó: lnxdx = = x-xdx = x- x+ C= = - x+C Bài 4. Tìm edx Bg:Đặt t = t=3x-9 2tdt=3dx Khi đó:edx =tedt Đặt u = t, dv = etdt du = dt, v = et Khi đó:tedt=tet - = t et- et + c Suy ra: edx=tet - et + c Hoạt động 7: Củng cố.(10’) Với bài toán , hãy ghép một ý ở cột trái với một ý ở cột phải để được một mệnh đề đúng. Hàm số Phương pháp 1/ f(x) = cos(3x+4) 2/ f(x) = 3/ f(x) = xcos(x2) 4/ f(x) = x3ex 5/ f(x)= sincos a/ Đổi biến số b/ Từng phần c/ Đổi biến số d/ Đổi biến số e/ Từng phần. V. Bài tập về nhà: Tìm trong các trường hợp trên. ChươngIII§3 TÍCH PHÂN I. Mục tiêu: a) Về kiến thức : khái niệm tích phân, diện tích hình thang cong, tính chất của tích phân, -Học sinh hiểu được bài toán tính diện tích hình thang cong và bài toán quãng đường đi được của một vật. - Phát biểu được định nghĩa tích phân, định lí về diện tích hình thang cong. - Viết được các biểu thứcbiểu diễncác tính chất của tích phân b) Về kỹ năng:Học sinh rèn luyện được kĩ năng tính một số tích phân đơn giản. Vận dụng vào thực tiễn để tính diện tích hình thang cong , giải các bài toán tìm quãng đường đi được của một vật c) Về tư duy và thái độ : -Thái độ: tích cực xây dựng bài, chủ động,sáng tạo trong quá trình tiếp cận tri thức mới . - Tư duy: hình thành tư duy logic, lập luận chặt chẽ, và linh hoạt trong quá trình suy nghĩ. II. Phương pháp : - Thuyết trình, kết hợp thảo luận nhóm và hỏi đáp. - Phương tiện dạy học: SGK. III. Chuẩn bị: + Chuẩn bị của giáo viên : Phiếu học tập, bảng phụ. + Chuẩn bị của học sinh : Hoàn thành các nhiệm vụ ở nhà. Đọc qua nội dung bài mới ở nhà. IV. Tiến trình tiết dạy : 1.Ổn định lớp : 2.Kiểm tra bài cũ : 5’ Viết công thức tính nguyên hàm của một số hàm số hàm số thường gặp. Tính : GV nhắc công thức : 3.Vào bài mới Tiết1: Hoạt động 1: Tìm hiểu khái niệm tích phân qua bài toán diện tích hình thang cong 1 Tg Hoạt động của giáo viên Hoạt động của Hs Nội dung ghi bảng 10’ 2o’ I/Khái niệm hình thang cong y 7 B H f(t)=t+1 3 A 1 D G C -1 x O 2 t 6 ( Hình 1) -Dựng hình thang ABCD khi biết các đường thẳng: AB: f(x)=x+1,AD: x=2, CB: x=6 và y = 0 (trục hoành) -Tính diện tích S hình thang ABCD -Lấy t . Khi đó diện tích hình thang AHGDbằng bao nhiêu? -S’(t) = ?.Khi đó S(t) và f(t) có liên hệ như thế nào ? -Tính S(6) , S(2) ? và S? Từ lập luận trên dẫn đến k/n hình thang cong và công thức tính d/t nó. y B y= f (x) A x O a b -Giáo viên đưa ra bài toán: Tính diện tích của hình thang cong aABb Giới hạn bởi đồ thị của hàm số liên tục y = f(x) , f(x) 0, trục Ox và các đương thẳng x = a , x = b (a<b) -Cho học sinh đọc bài toán 1 sgk -Kí hiệu S(x) là diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị (C) của hàm số y = f(x), trục Ox và các đường thẳng đi qua a, x và song song Oy. Hãy chứng minh S(x) là một nguyên hàm của f(x) trên [a; b] S = S(t) = t S’(t) = t+1= f(t) S(t) là nột nguyên hàm của f(t) = t+1 S(6) = 20,S(2) = 0 và S= S(6)-S(2) -Bài toán tích diện tích hình phẳng giới hạn bởi một đường cong có thể đưa về bài toán tính diện tích của một số hình thang cong 1/ Hai bài toán dẫn đến khái niệm tích phân: a) Diện tích hình thang cong -Bài toán 1: (sgk) y y=f(x) S(x) x o a x b Hình 3 KH: S(x) (a ) 2 3’ -Giả sử x0 là điểm tùy ý cố định thuộc (a ; b) *Xét điểm x(a ; b ] -Diện tích hình thang cong MNEQ? -Dựa vào hình 4 so sánh diện tích SMNPQ , SMNEQ và SMNEF *f(x) liên tục trên [ a; b ] ? - Suy ra ? *Xét điểm x[a ; b ) Tương tự ? Từ (2) và (3) suy ra gì? S(x) là 1 nguyên hàm của f(x) trên [ a; b ] ta biểu diễn S(x)? * SMNEQ = S(x) – S(x0) S =? -Giáo viên củng cố kiến thức BT1 + Giả sử y = f(x) la một hàm số liên tục và f(x) 0 trên [ a; b ]. Khi đó diện tích của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị (C) của hàm số y = f(x), trục Ox và 2 đường thẳng x = a, x = b là S = F(b) – F(a) trong đó F(x) là một nguyên hàm bất kì của hàm số f(x) trên [ a; b ] SMNEQ = S(x) – S(x0) SMNPQ < SMNEQ < SMNEF f(x0) f(x0) (2) f(x0) (3) f(x0) S(x) = F(x) +C (C: là hằng số) S = S(b) – S(a) y y=f(x) F E f(x) f(x) Q P xo x x 0 a M N b Hình 4 *Xét điểm x(a ; b ] SMNEQ là S(x) – S(x0) Ta có:SMNPQ < SMNEQ < SMNEF f(x0)(x-x0)<S(x)-S(x0)<f(x)(x-x0) f(x0)<<f(x) (1) Vì f(x0) (1) f(x0)(2) *Xét điểm x[a ; b ) Tương tự:f(x0)(3) Từ (2) và (3)ta có: f(x0) Hay S’ (x) = f(x0) Suy ra S’ (x) = f(x) (vì x(a ; b ) nên suy ra S’ (a) = f(a),S’(b) = f(b) Vậy S(x) là 1 nguyên hàm của f(x) trên [ a; b ] S(x)= F(x) +C (C: là hằng số) S = S(b) – S(a) = (F(b) +C) – (F(a) + C) = F(b) – F(a) 3 7’ -Giáo viên định hướng học sinh giải quyết nhiệm vụ ở phiếu học tập số 1 -Tìm họ nguyên hàm của f(x)? -Chọn một nguyên hàm F(x) của f(x) trong họ các nguyên hàm đã tìm được ? -Tính F(1) và F(2) Diện tích cần tìm ? -Học sinh tiến hành giải dưới sự định hướng của giáo viên: I = = C ( C là hằng số) Chọn F(x) = F(1) = , F(2) = S = F(2) –F(1) = GIẢI: I = = C Chọn F(x) = ( C là hằng số) F(1) = , F(2) = S = F(2) –F(1) = Tiết2: Hoạt động 2: Tìm hiểu khái niệm tích phân qua bài toán diện tích hình thang cong Tg Hoạt động của giáo viên Hoạt động của Hs Nội dung ghi bảng 8’ 5’ -Giáo viên định hướng học sinh giải bài toán 2 (sgk) +Gọi s(t) là quãng đường đi được của vật cho đến thời điểm t. Quãng đường đi được trong khoảng thời gian từ thời điểm t = a đến thời điểm t = b là bao nhiêu? + v(t) và s(t) có liên hệ như thế nào? +Suy ra f(t) và s(t) có liên hệ như thế nào? +Suy ra s(t) và F(t) có liên hệ như thế nào? +Từ (1) và (2) hãy tính L theo F(a) và F(b)? -Giáo viên định hướng học sinh giải quyết nhiệm vụ ở phiếu học tập 2 +Tìm họ nguyên hàm của f(t)? +Lấy một nguyên hàm của F(t) của f(t) trong họ các nguyên hàm đã tìm được +Tính F(20) và F(50)? +Quãng đường L vật đi được trong khoảng thời gian từ t1 =20 đến t2=50 liên hệ như thế nào với F(20) và F(50) -Học sinh tiến hành giải dưới sự định hướng của giáo viên Quãng đường đi được trong khoảng thời gian từ thời điểm t = a đến thời điểm t = b là : L = s(b) – s(a) (1) v(t) = s’(t) s’(t) = f(t) s(t) là một nguyên hàm của f(t) suy ra tồn tại C: s(t) = F(t) +C (2) Từ (1) và (2) L= F(b)–F(a) -Học sinh tiến hành giải dưới sự định hướng của giáo viên I = F(t) = F(20) = 640 ; F(50) = 3850 Suy ra L = F(50)–F(20)=3210(m) b, Quãng đường đi đượccủa1 vật Bài toán 2: (sgk) CM: Quãng đường đi được trong khoảng thời gian từ thời điểm t = a đến thời điểm t = b là : L = s(b) – s(a) (1) v(t) = s’(t) s’(t) = f(t) s(t) là một nguyên hàm của f(t) suy ra tồn tại C: s(t) = F(t) +C (2) Từ (1) và (2) L= F(b)–F(a) GIẢI: I = F(t) = F(20) = 640 ; F(50) = 3850 Suy ra L = F(50)–F(20)=3210(m) 4 Hoạt động 3: Tìm hiểu khái niệm tích phân Tg Hoạt động của giáo viên Hoạt động của Hs Nội dung ghi bảng 7’ 5’ 15’ -Giáo viên nêu định nghĩa tích phân (sgk) -Giáo viên nhấn mạnh. Trong trường hợp a < b, ta gọi là tích phân của f trên đoạn [a ; b ]. Giáo viên yêu cầu học sinh trả lời câu hỏi (H2) Gợi ý: -Gọi F(x) = g(x) +C là họ các nguyên hàm của f(x) -Chọn nguyên hàm F1(x) = g(x)+C1 bất kì trong họ các nguyên hàm đó. -Tính F1(a), F1(b)? -Tính ? -Nhận xét kết quả thu được -Giáo viên lưu ý học sinh: Người ta còn dùng kí hiệu F(x)| để chỉ hiệu số F(b) -F(a). -Hãy dùng kí hiệu này để viết -Giáo viên lưu ý học sinh: Người ta gọi hai số a, b là hai cận tích phân, số a là cận dưới, số b la cận trên, f là hàm số dưới dấu tích phân, f(x)dx là biểu thức dưới dấu tích phân và x là biến số lấy tích phân -Giáo viên định hướng học sinh giải quyết nhiệm vụ ở phiếu học tập số 3 Học sinh tiếp thu và ghi nhớ Học sinh tiến hành giải dưới sự định hướng của giáo viên Giả sử: F(x) = = g(x)+C Chọn F1(x) = g(x)+C1 bất kì F1(a) = g(a)+C1 F1(b) = g(b)+C1 = [g(b)+C1]-[g(a)+C1] = g(b) – g(a) Không phụ thuộc vào cách chọn C1 đpcm Học sinh tiếp thu , ghi nhớ Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x) thì: = F(x)| Học sinh giải quyết dưới sự định hướng của giáo viên: 5 2/Khái niệm tích phân Định nghĩa: (sgk) Người ta còn dùng kí hiệu F(x)| để chỉ hiệu số F(b) -F(a).Như vậy nếu F là một nguyên hàm của f trên k thì : = F(x)| 5’ a) -Tìm nguyên hàm của 2x? -Thay các cận vào nguyên hàm trên b) -Tìm nguyên hàm của sinx? -Thay các cận vào nguyên hàm trên c) -Tìm nguyên hàm của ? -Thay các cận vào nguyên hàm trên d) -Tìm nguyên hàm của ? -Thay các cận vào nguyên hàm trên +Với định nghĩa tích phân như trên, kết quả thu được ở bài toán 1 được phát biểu lại như thế nào? -Giáo viên thể chế hóa tri thức, đưa ra nội dung của định lý 1:Cho hàm số y = f(x) liên tục và không âm trên K; a và b là hai số thuộc K ( a<b). Khi đó diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) trục hoành và 2 đường thẳng x = a, x =b là: S = -Giáo viên hướng dẫn học sinh trả lời H3. -Theo kết quả của bài toán 2. quãng đường vật đi được từ điểm a đến thời điểm b được tính như thế nào? -Dựa vào định nghĩa tích phân hãy viết lại kết quả thu được? a) = x2| = 25 – 1 = 24 b) = - cosx |=- (0 -1) =1 c)= tanx|= d)= ln|x||= ln4 – ln2 =ln = ln2 Học sinh thảo luận theo nhóm trả lời. Học sinh giải quyết dưới sự định hướng của giáo viên: Theo kết quả của bài toán 2. Quãng đường vật đi được từ điểm a đến thời điểm b là: L = F(b) –F(a) F(x) là nguyên hàm của f(x) Theo định nghĩa tích phân = F(b) –F(a) L = (đpcm) Giải: a) = x2| = 25 – 1 = 24 b) = - cosx |=- (0 -1) =1 c)= tanx|= d)= ln|x||= ln4 – ln2 =ln = ln2 ĐỊNH LÍ1: Cho hàm số y = f(x) liên tục và không âm trên K; a và b là hai số thuộc K ( a<b). Khi đó diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) trục hoành và 2 đường thẳng x = a, x =b là: S = Theo kết quả của bài toán 2. Quãng đường vật đi được từ điểm a đến thời điểm b là: L = F(b) –F(a) F(x) là nguyên hàm của f(x) Theo định nghĩa tích phân = F(b) –F(a) L = (đpcm) 6 Tiết3: Hoạt động 4: Tìm hiểu các tính chất của tích phân; Tg Hoạt