Bài giảng môn Đại số lớp 12 - Phương pháp tính tích phân

Phương pháp tính Tích phân š&› I. Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến: Những phép đổi biến phổ thông: - Nếu hàm có chứa dấu ngoặc kèm theo luỹ thừa thì đặt t là phần bên trong dấu ngoặc nào có luỹ thừa cao nhất. - Nếu hàm chứa mẫu số thì đặt t là mẫu số. - Nếu hàm số chứa căn thức thì đặt t là phần bên trong dấu căn thức. - Nếu tích phân chứa thì đặt . - Nếu tích phân chứa thì đặt . - Nếu tích phân chứa thì đặt . - Nếu tích phân chứa thì đặt . - Nếu tích phân chứa thì đặt . - Nếu tích phân chứa thì đặt . - Nếu tích phân chứa thì đặt . - Nếu tích phân chứa thì đặt . Bài tập minh hoạ: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. II. Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần: Công thức: . Như vậy việc chọn được u và dv có vai trò quyết định trong việc áp dụng phương pháp này. Ta thường gặp ba loại tích phân như sau: Loại 1: : Trong đó là đa thức bậc n. Ta phải tính n lần tích phân từng phần. Loại 2: : Tính n lần tích phân từng phần. Loại 3: Đây là hai tích phân mà tính tích phân này phải tính luôn cả tích phân còn lại. Thông thường ta làm như sau: - Tính :Đặt . Sau khi tích phân từng phần ta lại có tích phân .Ta lại áp dụng TPTP với u như trên. - Từ hai lần TPTP ta có mối quan hệ giữa hai tích phân và dễ dàng tìm được kết quả. Bài tập minh hoạ: 1. 2. 3. 4. 5. 6. Ngoài ra ta xét thêm một vài bài tích phân áp dụng phương pháp TPTP nhưng không theo quy tắc đặt ở trên: 1. 2. 3. 4. 5. III. Tích phân hàm phân thức hữu tỷ: Phần 1: Tích phân hữu tỷ cơ bản. 1. a.Dạng: b.Dạng: c. Dạng: 2. a.Dạng: - Nếu : - Nếu : - Nếu : Đặt 3. Dạng: Phân tích: Bài tập minh hoạ: 1. 2. 3. 4. 5. 6. Phần 2: Tích phân hữu tỷ tổng quát. - Bước 1: Nếu bậc của A(x) lớn hơn bậc của B(x): Chia chia A(x) cho B(x). Ta phải tính tích phân: - Bước 2: + Nếu Q(x) chỉ toàn nghiệm đơn: , ta tìm sao cho : + Nếu Q(x) gồm cả nghiệm đơn và nghiệm bội: , ta tìm sao cho : + Nếu Q(x) gồm nhân tử bậc hai đơn và nhân tử bậc hai đơn: , ta tìm sao cho : + Nếu Q(x) gồm nhân tử bậc hai đơn và nhân tử bậc hai bội: , ta tìm sao cho : Bài tập minh hoạ: 1. 2. 3. IV. Tích phân hàm vô tỷ đơn giản: 1.Dạng:  : Đổi 2.Dạng: - Nếu a>0 : Tích phân có dạng  đặt u=atgt Hoặc chứng minh ngược công thức: -- Nếu a<0 : Tích phân có dạng  đặt u=asint 3.Dạng: - Nếu : - Nếu : - Nếu : Với a>o: Đặt Hoặc chứng minh ngược công thức: Với a<0: Đặt Bài tập minh hoạ: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 4.Dạng Đặt BTMH: 1. 2. 5.Dạng: Đặt với s là BCNN của n và q. BTMH: V. Tích phân hàm số lượng giác: 1.Dạng: - Nếu f là hàm lẻ theo sinx: Đặt t=cosx. - Nếu f là hàm lẻ theo cosx: Đặt t=sinx. - Nếu f là hàm chẵn theo sinx và cosx: Đặt t=tgx. Bài tập minh hoạ: 1. 2. 3. 4. 2.Dạng: - Nếu m và n chẵn: Hạ bậc. - Nếu m lẻ: Đặt t=cosx. - Nếu n lẻ: Đặt t=sinx. Bài tập minh hoạ: 1. 2. 3. 4. 3.Dạng: trong đó R là hàm hữu tỉ theo sinx, cosx. Đặt ; ; ; Cụ thể là hàm: Bài tập minh hoạ: 1. 2. 3. 4.Dạng: Phân tích: (Tử số)=A.(Mẫu số)+B.(Mẫu số)’ Bài tập minh hoạ: 5.Dạng: Phân tích: (Tử số)=A.(Mẫu số)+B.(Mẫu số)’+C J là tích phân tính được. Bài tập minh hoạ: 1. 2. VI. Phép đổi biến đặc biệt: Khi sử dụng các cách tính tích phân mà không tính được ta thử dùng phép đổi biến: .Thực chất của phép đổi biến này là nhờ tính chất chẵn lẻ của hàm số f(x). Bài tập minh hoạ: 1. 2. 3. 4. Chứng minh rằng: 1. Nếu f(x) là hàm số chẵn và liên tục trên thì: 2. Nếu f(x) là hàm số lẻ và liên tục trên thì: 3. 4.