Bài giảng môn Đại số lớp 12 - Nguyên hàm (Tiếp)

TRÖÔØNG THPT ÑÌNH LAÄP§×nh LËpL¹ng S¬nT H P T§×nh LËp§LGi¸o viªn so¹n: TrÇn Träng TiÕnNguyên hàmKiểm tra bài cũHãy nêu bảng các đạo hàm của các hàm số sơ cấp đã học?Vấn đề đạt ra là nếu biết đạo hàm của một hàm số thì ta có thể tìm được hàm số đã cho không? Để giải quyết vấn đề này ta vào bài nguyên hàm.nguyên hàmNguyên hàmgiảiVậy hai hàm số cần tìm là:a) F(x) = x3b) F(x) = tan x với 1. Nguyên hàm.Nguyên hàm1. Nguyên hàm.Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng của RĐịnh nghĩa Cho hàm số y=f(x) xác định trên K. Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F’(x)=f(x) với mọi Ví dụ 1. a) Hàm số F(x) = x2 là nguyên hàm của hàm số f(x) = 2x trên R vì F’(x) = 2x.b) Hàm số F(x) = ln x là nguyên hàm của hàm số vì F’(x) Hoạt động 2. Hãy nêu nguyên hàm của các hàm số khác của các hàm số nêu trong ví dụ 1.F(x)f(x)x443xtan xsin xcos xln (3x2+x)3.43x.ln 4Nguyên hàm1. Nguyên hàm.Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng của RĐịnh nghĩa Cho hàm số y=f(x) xác định trên K. Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F’(x)=f(x) với mọi Định lí 1. Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì G(x)=F(x)+C cũng là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K.Hoạt động 3. Hãy chứng minh định lí 1.Giải Do F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) nên ta có F’(x) = f(x)Khi G’(x) = F’(x)+(C)’= f(x)Vậy G(x) cũng là một nguyên hàm của hàm số f(x).Nguyên hàm1. Nguyên hàm.Định lí 2. Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của hàm số f(x) trên K đều có dạng F(x)+C, với C là một hằng số.Kí hiệu:Biểu thức chính là viphân của nguyên hàm F(x) củaf(x), vì d(F(x)=F’(x)dx=f(x)dxVí dụ 2. Nguyên hàm1. Nguyên hàm.Định lí 2. Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của hàm số f(x) trên K đều có dạng F(x)+C, với C là một hằng số.Kí hiệu:Biểu thức chính là viphân của nguyên hàm F(x) củaf(x), vì d(F(x)=F’(x)dx=f(x)dxVí dụ 3. 2. Tính chất của nguyên hàmVí dụ 4. Ví dụ 5. Nguyên hàm2. Tính chất của nguyên hàm3. Sự tồn tại của các nguyên hàmĐịnh lí 3. Mọi hàm số liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.Ví dụ 6.a) Hàm số có nguyên hàm trên khoảng và b) Hàm số có nguyêmhàm trên từng khoảng vàNguyên hàm4. Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặpf’(x)f(x)+C0exax ln a (a>0, )cos x-sin xBảng các nguyên hàmNguyên hàm4. Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặpBảng các nguyên hàmVí dụ 6. TínhtrênGiảiVới ta cóNguyên hàm4. Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặpBảng các nguyên hàmVí dụ 6. TínhtrênGiảiVới ta cóChú ý: tìm nguyên hàm của một hàm số là tìm nguyên hàm trên từng khoảng xác định của nó.Nguyên hàm4. Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặpBảng các nguyên hàmVí dụ 6. TínhtrênGiảiNguyên hàm4. Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặpBảng các nguyên hàmVí dụ 6. TínhGiảiNguyên hàmVí dụ 7. Giả sử đã tồn tại các nguyên hàm sau. Hãy tính các nguyên hàm đóNguyên hàmVí dụ 7. Giả sử đã tồn tại các nguyên hàm sau. Hãy tính các nguyên hàm đóNguyên hàmNhắc lại định nghĩa vi phân đã học của hàm số y= f(x)Kiểm tra bài cũHãy cho biết vi phân của hàm tích y = u(x). v(x)Sau đây ta đi nghiên cứu ứng dụng của vi phân trong việc tìm nguyên hàm.Nguyên hàmII. Các phương pháp tính nguyên hàm 1. PP đổi biến sốHoạt động 6.Cho Đặt u = x-1, hãy viết (x-1)10dx theo u và du.Cho . Đặt x= et, hãy viết theo t và dt GiảiĐặt u=x-1 => du =(x-1)’dx=dx(x-1)10dx =u10dua)Đặt x= et => dx = (et)’dt= etdxb)Nguyên hàmII. Các phương pháp tính nguyên hàm 1. PP đổi biến sốĐịnh lí 1. Nếu = F(u) + C và u = u(x) là hàm số có đạo hàm liên tục thìChứng minhTheo công thức tính đạo hàm của hàm số hợp ta cóVì F’(u) = f(u) = f(u(x)) nênNhư vậy, công thức đúng khi u là biến số độc lập thì cũng đúng khi u là một hàm số của một biến số độc lập x.Hệ quảVới u = ax + b , ta cóNguyên hàmII. Các phương pháp tính nguyên hàm 1. PP đổi biến sốĐịnh lí 1. Nếu = F(u) + C và u = u(x) là hàm số có đạo hàm liên tục thìHệ quảVới u = ax + b , ta cóVí dụ: Tính các nguyên hàm sau:Đặt u=5x+2 => du = (5x+2)’dx = 5dxĐặt u=3x-1 => du = (3x-1)’dx = 3dxNguyên hàmII. Các phương pháp tính nguyên hàm 1. PP đổi biến sốĐịnh lí 1. Nếu = F(u) + C và u = u(x) là hàm số có đạo hàm liên tục thìHệ quảVới u = ax + b , ta cóVí dụ: Tính các nguyên hàm sau:Đặt u=sin x =>du=(sin x)’dx = cos xdxĐặt u=x2+x+2(x2+x+2)’dx = (2x+1)dxdu=(sin x)’dx = cos xdx=> du =Nguyên hàmII. Các phương pháp tính nguyên hàm 2. Phương pháp tìm nguyên hàm từng phầnĐịnh lí 2. Nếu hai hàm số u=u(x) và v=v(x) có đạo hàm liên tục trên K thìChú ýVì v’(x)dx = dv, u’(x)dx= du nên đẳng thức trên có thể viết ở dạngHoạt động 7. Ta có (x cos x)’ = cos x – x sin x Hay –xsin x = (x cos x)’ - cos xHãy tính các nguyên hàm sau:Từ đó tínhGiải= x cos x – sin x +C (với C= C1 – C2)Nguyên hàmII. Các phương pháp tính nguyên hàm 2. Phương pháp tìm nguyên hàm từng phầnĐịnh lí 2. Nếu hai hàm số u=u(x) và v=v(x) có đạo hàm liên tục trên K thìChú ýVì v’(x)dx = dv, u’(x)dx= du nên đẳng thức trên có thể viết ở dạngVí dụ 9. TínhGiải a) Đặtb) ĐặtNguyên hàmII. Các phương pháp tính nguyên hàm 2. Phương pháp tìm nguyên hàm từng phầnĐịnh lí 2. Nếu hai hàm số u=u(x) và v=v(x) có đạo hàm liên tục trên K thìChú ýVì v’(x)dx = dv, u’(x)dx= du nên đẳng thức trên có thể viết ở dạngVí dụ 9. TínhGiải c) ĐặtNguyên hàmII. Các phương pháp tính nguyên hàm 2. Phương pháp tìm nguyên hàm từng phầnĐịnh lí 2. Nếu hai hàm số u=u(x) và v=v(x) có đạo hàm liên tục trên K thìChú ýVì v’(x)dx = dv, u’(x)dx= du nên đẳng thức trên có thể viết ở dạngHoạt động 8. Phương pháp tính tích phân từng phầnCủng cố và dăn dòQua bài học học sinh cần nắm được* Phương pháp đổi biến số* Phương pháp tích phân từng phần* Làm các bài tập trong SGK tr 100 và 101* Muốn tìm được nguyên hàm của một hàm số thì ta biến đổi đưa về bảng các nguyên hàm.