Bài giảng môn Đại số lớp 12 - Nguyên hàm

NGUYÊN HÀMI.Nguyên hàm và tính chất1.Nguyên hàmVí dụ 1: Tìm các đạo hàm sau Khi đó ta nói : là một nguyên hàm của trên R. là một nguyên hàm củatrên là một nguyên hàm của trên R.Từ đó ta có định nghĩa :Cho hàm số f(x) xác định trên K, K là khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng của R. Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của f(x) trên K nếu F’(x) = f(x), .Ví dụ 2: Tìm một số nguyên hàm của các hàm số sau:Ta có định lý: a) Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K.b) Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C , với C là một hằng số.Chứng minh: a) Đặt G(x) = F(x) + C, khi đó : G’(x) = F’(x) = f(x). Vậy G(x) cũng là nguyên hàm của f(x) trên K.b) Giả sử G(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K, khi đó G’(x) = f(x), . Đặt H(x) = G(x) – F(x). Khi đó: H’(x) = G’(x) – F’(x) = f(x) – f(x) = 0, . Suy ra : H(x) = C, C là hằng số.Vậy : G(x) = F(x) + C, .Khi đó ta gọi F(x) + C là họ tất cả các nguyên hàm của f(x) trên K và ký hiệu là : dấu được gọi là dấu tích phân,biểu thức f(x)dx được gọi là biểu thức dưới dấu tích phân.Ví dụ 3: Theo ví dụ 2 và ký hiệu trên ta có :Ví dụ 4: Tìm một nguyên hàm F(x) của trên R thỏa mãn: F(1) = 4.Ta có : . Vậy : Chú ý :1) Từ định nghĩa và ký hiệu nguyên hàm ta có: Ví dụ 5: Ta có:2) Biểu thức f(x)dx chính là vi phân của F(x) trên K.Khi đó ta có thể viết : (*)Ví dụ 6: Tìm các nguyên hàm sau:=2.Tính chất của nguyên hàmTính chất 1:Chứng minh:Giả sử Tính chất này còn có thể phát biểu dưới dạng sau:Thật vậy: Ta có:, do (*).Ví dụ 7: Ta có:Tính chất 2:, k là hằng số thực khác 0.Vì nên : . Từ đó theo tính chất 1 ta có :, do (**) Chứng minh:Gọi F(x) là một nguyên hàm của k.f(x), ta có :k.f(x) = F’(x) (**)Ví dụ 8: Tìm các nguyên hàm : Tính chất 3:Ví dụ 9: Tìm các nguyên hàm sau:=Bài giảng đến đây là kết thúc. Xin chân thành cảm ơn và kính chúc sức khỏe các quý thầy cô và các em học sinh.