Bài giảng môn Đại số lớp 12 - Một số bài toán thường gặp về đồ thị

THệễỉNG GAậP VEÀ ẹOÀỉ THề MOÄT SOÁ BAỉI TOAÙN1. Giao điểm của hai đồ thị:Giả sử hàm số y = f(x) có đồ thị là (C) và hàm số y = g(x) có đồ thị là (C1). M0(x0;y0) là giao điểm của (C) và (C1) khi và chỉ khi (x0;y0) là nghiệm của hệ: OyxMox0y0(C)(C1) Nếu x0, x1, là nghiệm của (1) thỡ các điểm M0(x0; f(x0)) ; M1(x1; f(x1)) là các giao điểm của (C) và (C1)để xác định hoành độ giao điểm của (C) và () ta làm như thế nào?Do đó để xác định hoành độ các giao điểm của (C) và (C1) ta giải PT: f(x) = g(x) (1)Ví dụ 1: Biện luận theo m số giao điểm của đồ thị các hàm số: vàPT hoành độ giao điểm của (C) và (Δ): m  8: (2) có nghiệm duy nhất Giải:Nghiệm này khác – 2.(do vô lý) Nếu m = 8: PT có dạng 0x – 19 = 0 (Vô nghiệm)Vậy trong trường hợp này, (C) và () có một giao điểm là: (C) không cắt ().yx0-11-2-4-2-321Ví dụ 2 a) Vẽ đồ thị hàm số : y = x3 + 3x2 - 4 b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trỡnh: x3 + 3x2 - 4 = m Giải:a) Ta có đồ thị (C) như hỡnh vẽb) Số nghiệm của phương trỡnh (*) chính là số giao điểm của (C) và đường thẳng (d): y=m.y = myx0-11-2-4-2-31y = my = my = mSố giao điểm của (C) và (d) tuỳ theo m? Kết luận:  (*) có 1 nghiệm++m = 0m = - 4  (*) có 2 nghiệm+- 4 0m < - 4 để biện luận số nghiệm của PT: F(x,m)=0(*) dựa vào đồ thị (C) có PT y = f(x). Ta biến đổi (*)  f(x) = g(m). Sau đó biện luận số giao điểm của (C) với đường thẳng y = g(m). Từ đó rút ra kết luận.Cho hai hàm số y = f(x) và y = g(x) có đồ thị tương ứng là (C) và (C’) (C ) và (C’) tiếp xúc với nhau nếu và chỉ nếu tại tiếp điểm chúng có cùng một tiếp tuyếnf(x) = g(x)f’(x) = g’(x)OyxMox0y0(C)(C') hệ PT sau có nghiệm :2. Sự tiếp xỳc của hai đường cong:Ví dụ 3: CMR: đường cong y=x3-x tiếp xỳc với Parabol y=x2-1 tại một điểm nào đú.Xỏc định tiếp điểm và viết phương trỡnh tiếp tuyến chung tại điểm đú. Ví dụ 4: CMR: đường thắng y=px+q là tiếp tuyến của Parabol y=ax2+bx+c khi và chỉ khi phương trỡnh: ax2+bx+c=px+qhay phương trỡnh ax2+(b-p)x+c-q=0 cú nghiệm kộp, tức là =(b-p)2-4a(c-q)=0Chỳ ý: Cú thể ỏp dụng VD4 để xột sự tiếp xỳc của đường thẳng với Parabol, Vấn đề 1 : Viết phương trỡnh tiếp tuyến Cho hàm số y = f(x). Gọi (C) là đồ thị, viết phương trỡnh tiếp tuyến của (C) biết :Trường hợp 1 : Tiếp tuyến tại M0(x0 ; y0)  (C)Giải :Phương trỡnh tiếp tuyến của (C) tại M0(x0 ; y0) là : y - y0 = f ’ (x0) (x - x0)+ x0  y0 ; f’(x0)+ y0  x0 ; f’(x0)+ f’(x0)  x0 ; y0 Oyxx0y0M0Trường hợp 2:Tiếp tuyến đi qua điểm M1(x1; y1 ) Giải:- Đường thẳng d đi qua điểm M1(x1; y1) và có hệ số góc k có phương trỡnh : y- y1 = k(x - x1)  y = k (x- x1) + y1- Để cho d là tiếp tuyến của (C), hệ sau phải có nghiệm : f(x) = k(x- x1) + y1 f ’(x) = kOyxx1y1M1Giải hệ ta sẽ có x0  k = f'(x0)Trường hợp 3:Tiếp tuyến có hệ số góc là k Giải:Giải phương trỡnh : Hoành độ các tiếp điểm x0, x1, ...  PTTT có dạng:f'(x) = ky – yi = k(x – xi) (i = 0, 1, ...) Ví dụ 3. Cho đường cong (C): y = x3 . Viết phương trỡnh tiếp tuyến của đường cong đó :a) Tại điểm (1 ; 1)b) Tiếp tuyến đi qua điểm (1; 1)c) Biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 3 Giải: Ta có: y’= 3x2a) y’ (1) = 3  Phương trỡnh tiếp tuyến cần tìm là : y - 1 = 3(x - 1)  y = 3x - 2b) PTđT (d) với hệ số góc k qua (1; 1) có dạng: y = k(x – 1) + 1 x = -1  PTTT: y = 3x +2để (d) là tiếp tuyến của (C) thì hệ sau có nghiệm: x = 1  k = 3  PTTT: y = 3x +2b) Phương trỡnh hoành độ tiếp điểm: 3x2 = 3  x =  1 x = 1  y(1) = 1  PTTT: y - 1 = 3(x - 1 )  y = 3x - 2 Vấn đề 2: đồ thị chứa giá trị tuyệt đối (C): y = f(x)(C1): y = | f(x) |(C2): y = f(| x |)Các dạng khác ...Ví dụ 4Vẽ đths, từ đó suy ra đồ thị:y + 0   0 +x  0 1 2 + y  3 + +   1đồ thị (C): y = f(x) Bảng BT: đồ thị:-4-3-2-112345-5-4-3-2-11234xyđồ thị (C1): y = |f(x)|đồ thị (C1) là đường màu đỏ .Nó được suy ra từ (C) bằng cách:- Giữ nguyên phần đồ thị phía trên Ox- Lấy đối xứng qua Ox phần đồ thị phía dưới.-4-3-2-112345-5-4-3-2-11234xyđồ thị (C2): y = f(|x|)xy-6-5-4-3-2-112345-5-4-3-2-11234đồ thị (C2) là đường màu đỏ .Nó được suy ra từ (C) bằng cách:- Giữ nguyên phần đồ thị bên phải Oy- Lấy đối xứng qua Oy phần đồ thị vừa vẽ.đồ thị (C3)-4-3-2-112345-5-4-3-2-11234xyđồ thị (C2) là đường màu đỏ .Nó được suy ra từ (C) bằng cách:- Giữ nguyên phần đồ thị bên phải Tcđ- Lấy đối xứng qua Ox phần đồ thị bên trái Tcđ