Bài giảng môn Đại số lớp 12 - Một số bài toán áp dụng quy tắc nhân, cộng, hoán vị, tổ hợp, chỉnh hợp

Đại số tổ hợp - Nhị thức newtơn Đ1. Một số Bài toán áp dụng quy tắc nhân, cộng, hoán vị, tổ hợp, chỉnh hợp 1.1 Các bài toán chọn số: * Ví dụ 1: Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5,6 có thể lập được: a/ Bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau. b/ Bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 5 chữ số khác nhau. c/ Bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau trong đó phải có mặt của số 5. * Ví dụ 2: Với các chữ số 0,1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên thoả: a/ Gồm 8 chữ số từ các số trên. b/ Gồm 8 chữ số trong đó chữ số 1 có mặt 3 lần còn các chữ số khác có mặt đúng 1 lần. * Ví dụ 3: Với các chữ số 1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau, trong đó có hai chữ số 1 và 2 không đứng cạnh nhau. * Ví dụ 4:Từ 10 chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 có thể lập được bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau sao cho : a/ Số đó chia hết cho 5. b/ Trong các chữ số đó có mặt của chữ số 0 và 1. c/ Nhỏ hơn 600000. * Ví dụ 5: Xét các hoán vị của 6 chữ số 1,2,3,4,5,6. Tính tổng S của tất cả các số tạo thành bởi các hoán vị này. * Ví dụ 6: Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6 có thể lập được bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau và trong đó tổng của 3 chữ số đầu nhỏ hơn tổng của 3 chữ số cuối 1 đơn vị. Bài tập * Bài 1: Từ các chữ số 1,2,5,6,7,8 có thể lập được bao nhiêu số gồm 3 chữ số khác nhau từ 5 chữ số trên sao cho: a/ Số tạo thành là một số chẵn. b/ Số tạo thành không có mặt của chữ số 7. c/ Số tạo thành phải có mặt của chữ số 1 và 5. d/ Số tạo thành nhỏ hơn 278. *Bài 2: Cho 8 chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7. a/ Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau. b/ Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 4 chữ số khác nhau. c/ Có bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 3 gồm 4 chữ số khác nhau . *Bài 3: Cho tập a/ Có bao nhiêu tập con X của A thoả điều kiện chứa 1 và không chứa 2. b/ Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 5 chữ số khác nhau lấy từ tập A và không bắt đầu bởi số 123. *Bài 4: Cho tập có thể lập được bao nhiêu số gồm 5 chữ số khác nhau lấy từ tập A sao cho: a/ Số tạo thành là một số chẵn. b/ Một trong 3 chữ số đầu tiên phải bằng 1. *Bài 5: Xét những số gồm 9 chữ số, trong đó có 5 chữ số 1 và 4 chữ số còn lại chọn từ 2,3,4,5. Hỏi có bao nhiêu số như vậy nếu a/ 5 chữ số 1 xếp kề nhau. b/ Các chữ số được xếp tuỳ ý. *Bài 6: Cho 7 chữ số 0,2,4,5,6,8,9. a/ Có bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau lập từ các số trên. b/ Có bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau, trong đó nhất thiết phải có chữ số 5. *Bài 7: Từ 10 chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 có thể lập được bao nhiêu số gồm 7 chữ số thoả các điều kiện chữ số là số chẵn , không chia hết cho 5, các chữ số đôi một khác nhau. *Bài 8: Với các chữ số 0,1,2,3,4,5 ta có thể lập được bao nhiêu số : a/ Gồm 8 chữ số, trong đó chữ số 1 có mặt 3 lần, các chữ số khác có mặt 1 lần. b/ Gồm 6 chữ số khác nhau và chữ số 2 đứng cạnh chữ số 3. *Bài 9: Ta viết các số có 6 chữ số bằng các chữ số 1,2,3,4,5 . Trong đó mỗi số được viết có một chữ số được xuất hiện 2 lần còn các chữ số còn lại xuất hiện 1 lần. Hỏi có bao nhiêu số như vậy. * Bài 10: Cho 7 chữ số 1,2,3,4,5,6,7. Xét tập E gồm 7 chữ số khác nhau viết từ các chữ số đã cho. Chứng minh rằng tổng S của tất cả các số của tập E chia hết cho 9. 1.2 Các bài toán chọn các đối tượng thực tế: Dạng 1: Tìm số cách chọn các đối tượng thoả điều kiện cho trước. * Ví dụ 1: Có 3 bông hồng vàng, 3 bông hồng trắng và 4 bông hồng đỏ ( các bông hoa xem như đôi 1 khác nhau) người ta muốn chọn ra một bó hoa gồm 7 bông. a/ Có bao nhiêu cách chọn các bông hoa được chọn tuỳ ý. b/ Có bao nhiêu cách chọn sao cho có đúng 1 bông màu đỏ. c/ Có bao nhiêu cách chọn sao cho có ít nhất 3 bông hồng vàng và ít nhất 3 bông hồng đỏ. * Ví dụ 2: Một cuộc khiêu vũ có 10 nam và 6 nữ, người ta chọn có thứ tự 3 nam và 3 nữ để ghép thành 3 cặp. Hỏi có bao nhiêu cách chọn. * Ví dụ 3: Một lớp học có 30 học sinh trong đó có 3 cán sự lớp.ần chọn 3 em trong 30 học sinh trên đi trực tuần sao cho trong 3 em được chọn luôn có 1 cán sự lớp. Hỏi có bao nhiêu cách chọn. * Ví dụ 4:Một trường tiểu học có 50 học sinh tiên tiến, trong đó có 4 cạp anh em sinh đôi. Người ta cần chọn 3 học sinh trong 50 học sinh trên đi dự hội trại cấp thành phố sao cho không có cặp anh em sinh đôi nào được chọn. Hỏi có bao nhiêu cách chọn. * Ví dụ 5:Trong một môn học, giáo viên có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu khó , 10 câu trung bình và 15 câu hỏi dễ. Từ 30 câu hỏi đó có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra, mỗi đề gồm 5 câu hỏi khác nhau, sao cho trong mỗi đề nhất thiết phải có đủ 3 loại câu (khó, trung bình và dễ) đồng thời số câu dễ không ít hơn 2. * Ví dụ 6: Trong mặt phẳng cho đa giác đều H có 20 cạnh. Xét các tam giác có 3 đỉnh được lấy từ các đỉnh của H. a/ Có bao nhiêu tam giác như vậy. b/ Có bao nhiêu tam giác có đúng 2 cạnh là cạnh của H. c/ Có bao nhiêu tam giác có đúng 1 cạnh là cạnh của H. d/ Có bao nhiêu tam giác không có cạnh nào là cạnh của H. Dạng 2: Xếp vị trí các đối tượng thoả điều kiện cho trước. * Ví dụ 7: Có bao nhiêu cách xếp 5 bạn A,B,C,D,E vào một ghế dài sao cho a/ Bạn C ngồi chính giữa. b/ Bạn A và E ngồi hai đầu ghế. * Ví dụ 8: Trong một phòng học có 2 dãy bàn dài, mỗi dãy có 5 chỗ ngồi. Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho 10 học sinh gồm 5 nam và 5 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách xếp nếu: a/ Các học sinh ngồi tuỳ ý. b/ Các học sinh nam ngồi một bàn và nữ ngồi một bàn. * Ví dụ 9: Một hội nghị bàn tròn có 4 phái đoàn các nước : Việt Nam 3 người, Lào 5 người, Thái Lan 3 người và Trung Quốc 4 người. Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi cho mọi thành viên sao cho người cùng quốc tịch thì ngồi gần nhau. * Ví dụ 10: Một bàn dài có hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy gồm 4 ghế. Người ta muốn sắp xếp chỗ ngồi cho 4 học sinh trường A và 4 học sinh trường B vào bàn nói trên . Hỏi có bao nhiêu cách xếp trong mỗi trường hợp sau: a/ Bất cứ hai học sinh nào ngồi cạnh nhau hoặc đối diện nhau cũng khác trường với nhau. b/ Bất cứ hai học sinh nào ngồi đối diện nhau cũng khác trường với nhau. Bài tập * Bài 1: Một lớp học có 40 học sinh gồm 25 nam và 15 nữ. Có bao nhiêu cách chọn 4 học sinh sao cho : a/ Số học sinh nam hoặc nữ là tuỳ ý. b/ Phải có 2 nam và 2 nữ. c/ Phải có ít nhất 1 nữ. d/ Số học sinh nam không vượt quá 2. * Bài 2: Một lớp học có 40 học sinh cần cử ra 1 ban cán sự gồm 1 lớp trưởng, 1 lớp phó và 3 uỷ viên . Hỏi có mấy cách lập ra ban cán sự lớp. * Bài 3: Gia đình ông A có 11 người bạn trong đó có 1 cặp vợ chồng. ông muốn mời 5 người đến dự tiệc, trong đó có cặp vợ chồng có thể cùng được mời hoặc không cùng được mời. Hỏi ông A có bao nhiêu cách mời. * Bài45:Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người, gồm 12 nam và 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách phân công đội thanh niên tình nguyện đó về giúp đỡ 3 tỉnh mền núi , sao cho mỗi tỉnh có 4 nam và 1 nữ. * Bài 5: Đội tuyển học sinh giỏi của một trường gồm 18 em, trong đó có 7 học sinh khối 12, 6 học sinh khối 11 và 5 học sinh khối 10. Hỏi có bao nhiêu cách cử 8 học sinh trong đội đi dự trại hè sao cho mỗi khối có ít nhất một em được chọn. * Bài 6: Cho hai đường thẳng song song. Trên đường thứ nhất có 10 điểm phân biệt và đường thẳng thứ hai có 20 điểm phân biệt. Có bao nhiêu tam giác được tạo bởi các điểm đã cho. * Bài 7: Cho đa giác đều nội tiếp đường tròn tâm O. Biết rằng số các tam giác có các đỉnh là 3 trong 2n điểm nhiều gấp 20 lần số các hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong 2n điểm . Hãy tìm n. *Bài 8 : Một tổ gồm 6 học sinh A,B,C,D,E,F được xếp vào 6 chỗ ngồi đã được ghi số thứ tự trên một bàn dài. Tìm số cách xếp các học sinh này sao cho: a/ A và B ngồi chính giữa các học sinh còn lại. b/ A và B không ngồi cạnh nhau. *Bài 9 : Một học sinh có 12 cuốn sách đôi một khác nhau trong đó có 2 cuốn sách môn toán, 4 cuốn môn văn, 6 cuốn môn anh văn. Hỏi có bao nhiêu cách xếp tất cả các cuốn sách đó lên một kệ dài , nếu mọi cuốn sách này được xếp kề nhau và những cuốn cùng môn học xếp kề nhau. * Bài 10: Một bàn dài có hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy gồm 6 ghế. Người ta muốn sắp xếp chỗ ngồi cho 6 học sinh trường A và 6 học sinh trường B vào bàn nói trên . Hỏi có bao nhiêu cách xếp trong mỗi trường hợp sau: a/ Bất cứ hai học sinh nào ngồi cạnh nhau hoặc đối diện nhau cũng khác trường với nhau. b/ Bất cứ hai học sinh nào ngồi đối diện nhau cũng khác trường với nhau. Luyện tập I) quy tắc cộng và quy tắc nhân: Bài1: Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu: 1) Số lẻ gồm 4 chữ số khác nhau? 2) Số chẵn gồm 4 chữ số bất kỳ? Bài2: Có 4 con đường nối liền điểm A và điểm B, có 3 con đường nối liền điểm B và điểm C. Ta muốn đi từ A đến C qua B, rồi từ C trở về A cũng đi qua B. Hỏi có bao nhiêu cách chọn lộ trình đi và về nếu ta không muốn dùng đường đi làm đường về trên cả hai chặng AB và BC? Bài3: Có 5 miếng bìa, trên mỗi miếng ghi một trong 5 chữ số 0, 1, 2, 3, 4. Lấy 3 miếng bìa này đặt lần lượt cạnh nhau từ trái sang phải để được các số gồm 3 chữ số. Hỏi có thể lập được bao nhiêu số có nghĩa gồm 3 chữ số và trong đó có bao nhiêu số chẵn? Bài4: Cho 8 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Từ 8 chữ số trên có thể lập được bao nhiêu số, mỗi số gồm 4 chữ số đôi một khác nhau và không chia hết cho 10. Bài5: Một người có 6 cái áo, trong đó có 3 áo sọc và 3 áo trắng; có 5 quần, trong đó có 2 quần đen; và có 3 đôi giày, trong đó có 2 đôi giầy đen. Hỏi người đó có bao nhiêu cách chọn mặc áo - quần - giày, nếu: 1) Chọn áo, quần và giày nào cũng được. 2) Nếu chọn áo sọc thì với quần nào và giày nào cũng được; còn nếu chọn áo trắng thì chỉ mặc với quần đen và đi giày đen. Baứi 6 : Tửứ thaứnh phoỏ A ủeỏn thaứnh phoỏ B coự 3 con ủửụứng, tửứ thaứnh phoỏ A ủeỏn thaứnh phoỏ C coự 2 con ủửụứng, tửứ thaứnh phoỏ B ủeỏn thaứnh phoỏ D coự 2 con ủửụứng, tửứ thaứnh phoỏ C ủeỏn thaứnh phoỏ D coự 3 con ủửụứng. Khoõng coự con ủửụứng naứo noỏi thaứnh phoỏ B vụựi thaứnh phoỏ C. Hoỷi coự taỏt caỷ bao nhieõu ủửụứng ủi tửứ thaứnh phoỏ A ủeỏn thaứnh phoỏ D? ẹS: coự 12 caựch. Luyeọn taọp Coự bao nhieõu soỏ tửù nhieõn khaực nhau nhoỷ hụn 2.108, chia heỏt cho 3, coự theồ ủửụùc vieỏt bụỷi caực chửừ soỏ 0, 1, 2? ẹS: Coự 2.37 – 1 = 4374 – 1 = 4373 (soỏ) Vụựi caực chửừ soỏ 1, 2, 3, 4, 5, 6 coự theồ laọp ủửụùc bao nhieõu soỏ tửù nhieõn thoaỷ: a) goàm 6 chửừ soỏ. b) goàm 6 chửừ soỏ khaực nhau. c) goàm 6 chửừ soỏ khaực nhau vaứ chia heỏt cho 2. ẹS: a) 66 b) 6! c) 3.5! = 360 Coự 25 ủoọi boựng ủaự tham gia tranh cuựp. Cửự 2 ủoọi phaỷi ủaỏu vụựi nhau 2 traọn (ủi vaứ veà). Hoỷi coự bao nhieõu traọn ủaỏu? ẹS: coự 25.24 = 600 traọn Coự bao nhieõu soỏ palindrom goàm 5 chửừ soỏ (soỏ palindrom laứ soỏ maứ neỏu ta vieỏt caực chửừ soỏ theo thửự tửù ngửụùc laùi thỡ giaự trũ cuỷa noự khoõng thay ủoồi). ẹS: Soỏ caàn tỡm coự daùng: ị coự 9.10.10 = 900 (soỏ) a/ Moọt boự hoa goàm coự: 5 boõng hoàng traộng, 6 boõng hoàng ủoỷ vaứ 7 boõng hoàng vaứng. Hoỷi coự maỏy caựch choùn laỏy 1 boõng hoa? b/ Tửứ caực chửừ soỏ 1, 2, 3 coự theồ laọp ủửụùc bao nhieõu soỏ khaực nhau coự nhửừng chửừ soỏ khaực nhau? ẹS: a/ 18. b/ 15. a/ Tửứ caực chửừ soỏ 1, 2, 3, 4, 5 coự theồ laọp ủửụùc bao nhieõu soỏ tửù nhieõn coự 5 chửừ soỏ? b/ Tửứ caực chửừ soỏ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 coự theồ laọp ủửụùc bao nhieõu soỏ tửù nhieõn chaỹn coự 3 chửừ soỏ? c/ Coự bao nhieõu soỏ tửù nhieõn coự hai chửừ soỏ maứ caỷ hai chửừ soỏ ủeàu laứ soỏ chaỹn? d/ Coự bao nhieõu soỏ tửù nhieõn coự 5 chửừ soỏ, trong ủoự caực chửừ soỏ caựch ủeàu chửừ soỏ ủửựng giửừa thỡ gioỏng nhau? e/ Coự bao nhieõu soỏ tửù nhieõn coự 6 chửừ soỏ vaứ chia heỏt cho 5? ẹS: a/ 3125. b/ 168. c/ 20 d/ 900. e/ 180000. Moọt ủoọi vaờn ngheọ chuaồn bũ ủửụùc 2 vụỷ kũch, 3 ủieọu muựa vaứ 6 baứi haựt. Taùi hoọi dieón, moói ủoọi chổ ủửụùc trỡnh dieón 1 vụỷ kũch, 1 ủieọu muựa vaứ 1 baứi haựt. Hoỷi ủoọi vaờn ngheọ treõn coự bao nhieõu caựch choùn chửụng trỡnh bieồu dieón, bieỏt raống chaỏt lửụùng caực vụỷ kũch, ủieọu muựa, caực baứi haựt laứ nhử nhau? ẹS: 36. Moọt ngửụứi coự 7 caựi aựo trong ủoự coự 3 aựo traộng vaứ 5 caựi caứ vaùt trong ủoự coự hai caứ vaùt maứu vaứng. Hoỷi ngửụứi ủoự coự bao nhieõu caựch choùn aựo – caứ vaùt neỏu: a/ Choùn aựo naứo cuừng ủửụùc vaứ caứ vaùt naứo cuừng ủửụùc? b/ ẹaừ choùn aựo traộng thỡ khoõng choùn caứ vaùt maứu vaứng? ẹS: a/ 35. b/ 29. Cho taọp hụùp A = {1, 2, 3, 4, 5}. Coự bao nhieõu caởp saộp thửự tửù (x, y) bieỏt raống: a/ b/ c/ . ẹS: a/ 25. b/ 20. c/ 5 caởp. Cho taọp hụùp A = {1, 2, 3, , n} trong ủoự n laứ soỏ nguyeõn dửụng lụựn hụn 1. Coự bao nhieõu caởp saộp thửự tửù (x, y), bieỏt raống: . ẹS: Vụựi 5 chửừ soỏ 1, 2, 3, 4, 5 coự theồ laọp ủửụùc bao nhieõu soỏ: a/ Goàm 2 chửừ soỏ? b/ Goàm 2 chửừ soỏ khaực nhau? c/ Soỏ leỷ goàm 2 chửừ soỏ? d/ Soỏ chaỹn goàm 2 chửừ soỏ khaực nhau? e/ Goàm 5 chửừ soỏ vieỏt khoõng laởp laùi? f/ Goàm 5 chửừ soỏ vieỏt khoõng laởp laùi chia heỏt cho 5? ẹS: a/ 25. b/ 20. c/ 15 d/ 8. e/ 120. f/ 24. Tửứ 6 soỏ: 0, 1, 2, 3, 4, 5 coự theồ laọp ủửụùc bao nhieõu soỏ coự 3 chửừ soỏ: a/ Khaực nhau? b/ Khaực nhau, trong ủoự coự bao nhieõu soỏ lụựn hụn 300? c/ Khaực nhau, trong ủoự coự bao nhieõu soỏ chia heỏt cho 5? d/ Khaực nhau, trong ủoự coự bao nhieõu soỏ chaỹn? e/ Khaực nhau, trong ủoự coự bao nhieõu soỏ leỷ? ẹS: a/ 100. b/ 60. c/ 36 d/ 52. e/ 48. a/ Tửứ caực soỏ: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 coự theồ laọp ủửụùc bao nhieõu soỏ leỷ coự 3 chửừ soỏ khaực nhau nhoỷ hụn 400? b/ Tửứ caực chửừ soỏ 1, 2, 3, 4, 5 coự theồ laọp ủửụùc bao nhieõu soỏ coự 3 chửừ soỏ khaực nhau naốm trong khoaỷng (300 , 500). ẹS: a/ 35. b/ 24. Moọt trửụứng phoồ thoõng coự 12 hoùc sinh chuyeõn tin vaứ 18 hoùc sinh chuyeõn toaựn. Thaứnh laọp moọt ủoaứn goàm hai ngửụứi sao cho coự moọt hoùc sinh chuyeõn toaựn vaứ moọt hoùc sinh chuyeõn tin. Hoỷi coự bao nhieõu caựch laọp moọt ủoaứn nhử treõn? Coự bao nhieõu caựch saộp xeỏp 3 ngửụứi ủaứn oõng vaứ 2 ngửụứi ủaứn baứ ngoài treõn moọt chieỏc gheỏ daứi sao cho 2 ngửụứi cuứng phaựi phaỷi ngoài gaàn nhau. Coự bao nhieõu caựch saộp xeỏp 8 vieõn bi ủoỷ vaứ 8 vieõn bi ủen xeỏp thaứnh moọt daừy sao cho hai vieõn bi cuứng maứu khoõng ủửụùc ụỷ gaàn nhau. II) hoán vị - chỉnh hợp - tổ hợp: Bài1: Có n người bạn ngồi quanh một bàn tròn (n > 3). Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho: 1) Có 2 người ấn định trước ngồi cạnh nhau. 2) 3 người ấn định trước ngồi cạnh nhau theo một thứ tự nhất định Bài2: Một đội xây dựng gồm 10 công nhân và 3 kỹ sư. Để lập một tổ công tác cần chọn 1 kỹ sư làm tổ trưởng, 1 công nhân làm tổ phó và 5 công nhân làm tổ viên. Hỏi có bao nhiêu cách lập tổ công tác. Bài3: Trong một lớp học có 30 học sinh nam, 20 học sinh nữ. Lớp học có 10 bàn, mỗi bàn có 5 ghế. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi nếu: a) Các học sinh ngồi tuỳ ý. b) Các học sinh ngồi nam cùng 1 bàn, các học sinh nữ ngồi cùng 1 bàn Bài4: Với các số: 0, 1, 2, , 9 lập được bao nhiêu số lẻ có 7 chữ số. Bài5: Từ hai chữ số 1; 2 lập được bao nhiêu số có 10 chữ số trong đó có mặt ít nhất 3 chữ số 1 và ít nhất 3 chữ số 2. Bài6: Tìm tổng tất cả các số có 5 chữ số khác nhau được viết từ các chữ số: 1, 2, 3, 4 , 5 Bài7: Trong một phòng có hai bàn dài, mỗi bàn có 5 ghế. Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho 10 học sinh gồm 5 nam và 5 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi nếu: 1) Các học sinh ngồi tuỳ ý. 2) Các học sinh nam ngồi một bàn và các học sinh nữ ngồi một bàn. Bài8: Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 6, 9 có thể thành lập được bao nhiêu số chia hết cho 3 và gồm 5 chữ số khác nhau Bài9: Từ các chữ cái của câu: "Trường THPT Lý Thường Kiệt" có bao nhiêu cách xếp một từ (từ không cần có nghĩa hay không) có 6 chữ cái mà trong từ đó chữ "T" có mặt đúng 3 lần, các chữ khác đôi một khác nhau và trong từ đó không có chữ "Ê" Bài10: Cho A là một tập hợp có 20 phần tử. a) Có bao nhiêu tập hợp con của A? b) Có bao nhiêu tập hợp con khác rỗng của A mà có số phần tử là số chẵn? Bài11: 1) Có bao nhiêu số chẵn có ba chữ số khác nhau được tạo thành từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6? 2) Có bao nhiêu số có ba chữ số khác nhau được tạo thành từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 nà các số đó nhỏ hơn số 345? Bài12: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 thiết lập tất cả các số có 6 chữ số khác nhau. Hỏi trong các số đã thiết lập được, có bao nhiêu số mà hai chữ số 1 và 6 không đứng cạnh nhau? Bài13: Một trường tiểu học có 50 học sinh đạt danh hiệu cháu ngoan Bác Hồ, trong đó có 4 cặp anh em sinh đôi. Cần chọn một nhóm 3 học sinh trong số 50 học sinh trên đi dự Đại hội cháu ngoan Bác Hồ, sao cho trong nhóm không có cặp anh em sinh đôi nào. Hỏi có bao nhiêu cách chọn. Bài14: Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số có ba chữ số khác nhau và không lớn hơn 789? Bài15: 1) Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 4. Hỏi có thể thành lập được bao nhiêu số có bãy chữ số từ những chữ số trên, trong đó chữ số 4 có mặt đúng ba lần, còn các chữ số khác có mặt đúng một lần. 2) Trong số 16 học sinh có 3 học sinh giỏi, 5 khá, 8 trung bình. Có bao nhiêu cách chia số học sinh đó thành 2 tổ, mỗi tổ 8 người sao cho ở mỗi tổ đều có học sinh giỏi và mỗi tổ có ít nhất hai học sinh khá. Bài16: Số nguyên dương n được viết dưới dạng: n = Trong đó a, b, g, d là các số tự nhiên 1) Hỏi số các ước số của n là bao nhiêu? 2) áp dụng: Tính số các ước số của 35280. Đ2. Các bài toán nhị thức, phương trình bất phương trình Hoán vị, tổ hợp & chỉnh hợp Một số kiến thức cần nhớ Hoỏn vị : Chỉnh hợp: Tổ hợp: Nhị Thức nưu tơn: Tồng cú n+1 số hạng .bậc của mỗi số hạng là n-k+k=n Số hạng tổng quỏt Các ví dụ I. Giải pt, hệ pt, bất phương trình, hệ bất phương trình về đại số tổ hợp *Ví dụ 1. Giải phương trỡnh: a, b, *Ví dụ 2. Giải phương trỡnh: *Ví dụ 3. Hóy tỡm số nguyờn dưong thỏa mó phương trỡnh a, ĐS: n=11 b, c, *Ví dụ 4. *Ví dụ 5. Giải hệ phương trỡnh ĐS: x=5 ,y=2 *Ví dụ 6. Giải bpt: a) b) ĐS: a) *Ví dụ 7. Giải bất phương trỡnh: ĐS: *Ví dụ 8. Giải bất phương trỡnh: a, b, ĐS: a, b, Baứi taọp hoaựn vũ Ruựt goùn caực bieồu thửực sau: A = (vụựi m ³ 5) B = C = ẹS: A = – 4(m–1)m; B = ; C = 20 Chửựng minh raống: a) Pn – Pn–1 = (n–1)Pn–1 b) c) d) Giaỷi phửụng trỡnh: ẹS: x = 2; x = 3 Giaỷi baỏt phửụng trỡnh: (1) ẹS: (1) Û ị n = 4, n = 5, n = 6 Giaỷi caực phửụng trỡnh: a) P2.x2 – P3.x = 8 b) ẹS: a) x = –1; x = 4 b) x = 2; x = 3 Xeựt caực soỏ tửù nhieõn goàm 5 chửừ soỏ khaực nhau laọp tửứ caực chửừ soỏ 1, 2, 3, 4, 5. Hoỷi trong caực soỏ ủoự coự bao nhieõu soỏ: a) Baột ủaàu baống chửừ soỏ 5? b) Khoõng baột ủaàu baống chửừ soỏ 1? c) Baột ủaàu baống 23? d) Khoõng baột ủaàu baống 345? ẹS: a) 4! b) 5! – 4! c) 3! d) 5! – 2! Xeựt caực soỏ tửù nhieõn goàm 5 chửừ soỏ khaực nhau ủửụùc laọp tửứ caực soỏ 1, 3, 5, 7, 9. Hoỷi trong caực soỏ ủoự coự bao nhieõu soỏ: a/ Baột ủaàu bụỷi chửừ soỏ 9? b/ Khoõng baột ủaàu bụỷi chửừ soỏ 1? c/ Baột ủaàu bụỷi 19? d/ Khoõng baột ủaàu bụỷi 135? ẹS: a/ 24. b/ 96. c/ 6 d/ 118. Vụựi moói hoaựn vũ cuỷa caực soỏ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ta ủửụùc moọt soỏ tửù nhieõn. Tỡm toồng taỏt caỷ caực soỏ tửù nhieõn coự ủửụùc tửứ caực hoaựn vũ cuỷa 7 phaàn tửỷ treõn? ẹS: Vụựi moùi i, j ẻ , soỏ caực soỏ maứ chửừ soỏ j ụỷ haứng thửự i laứ 6!. ị Toồng taỏt caỷ caực soỏ laứ: (6!1++6!7) + (6!1++6!7).10 ++ (6!1++6!7).106 = 6! (1+2++7).(1+10++106) Tỡm toồng S cuỷa taỏt caỷ caực soỏ tửù nhieõn, moói soỏ ủửụùc taùo thaứnh bụỷi hoaựn vũ cuỷa 6 chửừ soỏ 1, 2, 3, 4, 5, 6. ẹS: 279999720. Treõn moọt keọ saựch coự 5 quyeồn saựch Toaựn, 4 quyeồn saựch Lớ, 3 quyeồn saựch Vaờn. Caực quyeồn saựch ủeàu khaực nhau. Hoỷi coự bao nhieõu caựch saộp xeỏp caực quyeồn saựch treõn: a) Moọt caựch tuyứ yự? b) Theo tửứng moõn? c) Theo tửứng moõn vaứ saựch Toaựn naốm ụỷ giửừa? ẹS: a) P12 b) 3!(5!4!3!) c) 2!(5!4!3!) Coự 5 hoùc sinh nam laứ A1, A2, A3, A4, A5 vaứ 3 hoùc sinh nửừ B1, B2, B3 ủửụùc xeỏp ngoài xung quanh moọt baứn troứn. Hoỷi coự bao nhieõu caựch saộp xeỏp neỏu: a) Moọt caựch tuyứ yự? b) A1 khoõng ngoài caùnh B1? c) Caực hoùc sinh nửừ khoõng ngoài caùnh nhau? ẹS: a) Q8 = 7! b) Q7 = 6! c) Coự 4!5.4.3 caựch saộp xeỏp Vụựi caực chửừ soỏ 0, 1, 2, 3, 4, 5 coự theồ laọp ủửụùc bao nhieõu soỏ goàm 8 chửừ soỏ, trong ủoự chửừ soỏ 1 coự maởt 3 laàn, moói chửừ soỏ khaực coự maởt ủuựng moọt laàn? ẹS: Coự bao nhieõu soỏ tửù nhieõn coự 3 chửừ soỏ khaực nhau vaứ khaực 0 bieỏt raống toồng cuỷa 3 chửừ soỏ naứy baống 9. ẹS: 18. Tửứ caực chửừ soỏ 1, 2, 3, 4, 5, 6 thieỏt laọp taỏt caỷ caực soỏ coự 6 chửừ soỏ khaực nhau. Hoỷi trong caực soỏ ủaừ thieỏt laọp ủửụùc, coự bao nhieõu soỏ maứ hai chửừ soỏ 1 vaứ 6 khoõng ủửựng caùnh nhau? ẹS: 480. Coự bao nhieõu caựch saộp xeỏp 5 baùn hoùc sinh A, B, C, D, E ngoài vaứo moọt chieỏc gheỏ daứi sao cho: a/ Baùn C ngoài chớnh giửừa? b/ Hai baùn A vaứ E ngoài ụỷ hai ủaàu gheỏ? ẹS: a/ 24. b/ 12. Moọt hoọi nghũ baứn troứn coự phaựi ủoaứn cuỷa caực nửụực: Myừ 5 ngửụứi, Nga 5 ngửụứi, Anh 4 ngửụứi, Phaựp 6 ngửụứi, ẹửực 4 ngửụứi. Hoỷi coự bao nhieõu caựch saộp xeỏp cho moùi thaứnh vieõn sao cho ngửụứi cuứng quoỏc tũch ngoài gaàn nhau? ẹS: 143327232000. Saộp xeỏp 10 ngửụứi vaứo moọt daừy gheỏ. Coự bao nhieõu caựch saộp xeỏp choó ngoài neỏu: a/ Coự 5 ngửụứi trong nhoựm muoỏn ngoài keà nhau? b/ Coự 2 ngửụứi trong nhoựm khoõng muoỏn ngoài keà nhau? ẹS: a/ 86400. b/ 2903040. Saộp xeỏp 6 nam sinh vaứ 4 nửừ sinh vaứo moọt daừy gheỏ. Hoỷi coự bao nhieõu caựch saộp xeỏp choó ngoài neỏu: a/ Nam sinh ngoài keà nhau, nửừ sinh ngoài keà nhau? b/ Chổ coự nửừ ngoài keà nhau? ẹS: a/ 34560. b/ 120960. Coự bao nhieõu caựch saộp xeỏp 12 hoùc sinh ủửựng thaứnh 1 haứng ủeồ chuùp aỷnh lửu nieọm, bieỏt raống trong ủoự phaỷi coự 5 em ủũnh trửụực ủửựng keà nhau? ẹS: 4838400. Coự 2 ủeà kieồm tra toaựn ủeồ choùn ủoọi hoùc sinh gioỷi ủửụùc phaựt cho 10 hoùc sinh khoỏi 11 vaứ 10 hoùc sinh khoỏi 12. Coự bao nhieõu caựch saộp xeỏp 20 hoùc sinh treõn vaứo 1 phoứng thi coự 5 daừy gheỏ sao cho hai em ngoài caùnh nhau coự ủeà khaực nhau, coứn caực em ngoài noỏi ủuoõi nhau coự cuứng moọt ủeà? ẹS: 26336378880000. Coự 3 vieõn bi ủen (khaực nhau), 4 vieõn bi ủoỷ (khaực nhau), 5 vieõn bi vaứng (khaực nhau), 6 vieõn bi xanh (khaực nhau). Hoỷi coự bao nhieõu caựch saộp xeỏp caực vieõn bi treõn thaứnh moọt daừy sao cho caực vieõn bi cuứng maứu ụỷ caùnh nhau? ẹS: 298598400. Treõn giaự saựch coự 30 taọp saựch. Coự theồ saộp xeỏp theo bao nhieõu caựch khaực nhau ủeồ coự: a/ Taọp 1 vaứ taọp 2 ủửựng caùnh nhau? b/ Taọp 5 vaứ taọp 6 khoõng ủửựng caùnh nhau? ẹS: a/ 2.29!. b/ 28.29!. Vụựi 5 chửừ soỏ 1, 2, 3, 4, 5 coự theồ laọp ủửụùc bao nhieõu soỏ goàm 8 chửừ soỏ, trong ủoự chửừ soỏ 1 coự maởt ủuựng 3 laàn, chửừ soỏ 2 coự maởt ủuựng 2 laàn vaứ moói chửừ soỏ coứn laùi coự maởt ủuựng moọt laàn? ẹS: 3360. Vụựi caực chửừ soỏ 0, 1, 2, 3, 4, 5 coự theồ laọp ủửụùc bao nhieõu soỏ goàm 8 chửừ soỏ, trong ủoự chửừ soỏ 1 coự maởt 3 laàn, moói chửừ soỏ khaực coự maởt ủuựng 1 laàn. ẹS: 5880. Xeựt nhửừng soỏ goàm 9 chửừ soỏ, trong ủoự coự 5 chửừ soỏ 1 vaứ 4 chửừ soỏ coứn laùi laứ 2, 3, 4, 5. Hoỷi coự bao nhieõu soỏ nhử theỏ neỏu: a/ 5 chửừ soỏ 1 ủửụùc xeỏp keà nhau? b/ Caực chửừ soỏ ủửụùc xeỏp tuyứ yự? ẹS: a/ 120. b/ 3024 Baứi taọp chổnh hụùp Ruựt goùn caực bieồu thửực sau: A = B = C = D = ẹS: A = 46; B = 2750; C = 1440; D = 42 Chửựng minh raống: a/ b/ c/ Giaỷi caực phửụng trỡnh sau: a) b) = 2(n + 15) c) ẹS: a) n = 6 b) n = 3 c) n = 6 Tỡm n ẻ N sao cho: a) b) 2() = Pn+1 c) ẹS: a) n = 5 b) n = 4 c) n = 2; 3 Giaỷi caực phửụng trỡnh: a/ b/ c/ d/ ẹS: a/ x = 11. b/ x = 3; 4. c/ x = 5. d/ x = 8, Giaỷi caực baỏt phửụng trỡnh: a) b) ẹS: a) n = 3; 4; 5 b) 2 Ê n Ê 36 Tỡm caực soỏ aõm trong daừy soỏ vụựi: ẹS: Moọt cuoọc khieõu vuừ coự 10 nam vaứ 6 nửừ. Ngửụứi ta choùn coự thửự tửù 3 nam vaứ 3 nửừ ủeồ gheựp thaứnh 3 caởp. Hoỷi coự bao nhieõu caựch choùn? ẹS: Coự caựch Trong khoõng gian cho 4 ủieồm A, B, C, D. Tửứ caực ủieồm treõn ta laọp caực vectụ khaực vectụ – khoõng. Hoỷi coự theồ coự ủửụùc bao nhieõu vectụ? ẹS: = 12 vectụ Moọt lụựp hoùc chổ coự caực baứn ủoõi (2 choó ngoài). Hoỷi lụựp naứy coự bao nhieõu hoùc sinh, bieỏt raống chổ coự theồ saộp xeỏp choó ngoài cho hoùc sinh cuỷa lụựp naứy theo 132 sụ ủoà khaực nhau? (Soỏ choó ngoài vửứa ủuỷ soỏ hoùc sinh) ẹS: = 132 Û n = 12 Tửứ caực chửừ soỏ 0, 1, 2, , 9, coự theồ laọp ủửụùc bao nhieõu soỏ tửù nhieõn goàm 5 chửừ soỏ: a) Caực chửừ soỏ khaực nhau? b) Hai chửừ soỏ keà nhau phaỷi khaực nhau? ẹS: a) b) Coự 95 soỏ Tửứ caực chửừ soỏ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 coự theồ laọp ủửụùc bao nhieõu: a) Soỏ goàm 5 chửừ soỏ khaực nhau? b) Soỏ chaỹn goàm 5 chửừ soỏ khaực nhau? c) Soỏ goàm 5 chửừ soỏ khaực nhau vaứ phaỷi coự maởt chửừ soỏ 5? ẹS: a) 6. b) c) Soỏ goàm 5 chửừ soỏ coự daùng: ã Neỏu a = 5 thỡ coự soỏ ã Neỏu a ạ 5 thỡ a coự 5 caựch choùn. Soỏ 5 coự theồ ủaởt vaứo 1 trong caực vũ trớ b, c, d, e ị coự 4 caựch choùn vũ trớ cho soỏ 5. 3 vũ trớ coứn laùi coự theồ choùn tửứ 5 chửừ soỏ coứn laùi ị coự caựch choùn. ị Coự = 1560 soỏ Tửứ caực chửừ soỏ 0, 1, 2, , 9 coự theồ laọp bao nhieõu bieồn soỏ xe goàm 3 chửừ soỏ (trửứ soỏ 000)? ẹS: = 999 Coự