Bài giảng môn Đại số lớp 12 - Dạng 7: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số

Dạng 7Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm sốChuyên đề: Hàm số Nội dungDạng 7. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số:Dạng 7A.Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên một đoạnDạng 7B. Sử dụng phép đặt ẩn số phụDạng 7C.Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng vô hạnDạng 7ATìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên một đoạnDạng 7A. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên một đoạnBài tập mẫu Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số Giải. Đặt Điều kiện Bài tập mẫu (tt) Ta có: So sánh ba giá trị trên, ta được Dạng 7A. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên một đoạnLưu ý1. Khi tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số, nếu trong đầu bài có sin2x, cosx thì ta đặt t = cosx => -1  t  1 ; sin2x = 1-t2 . Ta trở về bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y = f(t).2. Khi tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên đoạn [a ;b] , ta làm như sau :Tính f ’(x) ; tìm nghiệm của phương trình f ’(x) trên đoạn [a ;b], giả sử là x1, x2,, xn Tính các giá trị f(x1), f(x2), , f(xn) và f(a), f(b).So sánh các giá trị trên suy ra giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm sốDạng 7A. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên một đoạnBài toán tương tự Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số Giải. Ta có: Ta có: so sánh ba giá trị trên, ta được  Dạng 7A. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên một đoạnDạng 7BSử dụng phép đặt ẩn số phụBài tập mẫu Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số Giải. Ta có Đặt Dạng 7B. Sử dụng phép đặt ẩn phụBài tập mẫu (tt) So sánh bốn giá trị trên, ta được Dạng 7B. Sử dụng phép đặt ẩn phụLưu ý 1. Trong bài toán trên nếu không sử dụng phép đặt ẩn phụ mà tính đạo hàm để xét biến thiên của hàm số thì sẽ dài, phức tạp.2. Khi tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số, trong trường hợp có thể, ta nên sử dụng phép đặt ẩn số phụ để đưa về hàm số đơn giản hơn.3. Khi đặt ẩn số phụ t, được hàm số f(t), ta phải tìm tập giá trị tương ứng của t và tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số f(t) trong tập giá trị trên. Dạng 7B. Sử dụng phép đặt ẩn phụBài toán tương tự Cho sinx + siny = -1. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức Q = sin3x + sin3y Giải Ta có Đặt Dạng 7B. Sử dụng phép đặt ẩn phụBài tập tương tự so sánh các giá trị trên, ta được Lưu ýTrong bài toán trên, khi đặt t = sinx, mà đưa ra điều kiện -1 t  1 là sai. Phải thấy rằng .Do đó hàm số f(t) chỉ xét trên [-1; 0]. Dạng 7B. Sử dụng phép đặt ẩn phụDạng 7CTìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng vô hạnBài tập mẫu Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số Giải Đặt Dạng 7C. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng vô hạnBài tập mẫu (tt) Do đó hàm số f ’(t) đồng biến khi , suy ra t  -2  f’(t) = 4t3 – 12t + 1  f’(-2) 0 Hàm số f(t) liên tục và nghịch biến trong (-  ; -2) nên với t -2  f(t)  f(-2) = - 4. Hàm số f(t) đồng biến trong (2 ;+) nên với t 2  f(t)  f(2) = 0. Ta được Dạng 7C. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng vô hạnLưu ý Khi đặt nếu sử dụng bất đẳng thức Cauchy để có điều kiện là sai. Ta phải viết Ta có Dạng 7C. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng vô hạnBài toán tương tự Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số , với x là số thực dương.  Giải Đặt Dạng 7C. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng vô hạnBài toán tương tự (tt) Do đó hàm số f ’(t) đồng biến khi t 2, với t  2  f(t) = t3 – 3t2 + 6  f(2) = 2 Ta được Dạng 7C. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng vô hạn