Bài giảng môn Đại số lớp 12 - Dạng 6: Ứng dụng hàm số đồng biến, nghịch biến để chứng minh bất đẳng thức (Tiếp)

Dạng 6Ứng dụng hàm số đồng biến, nghịch biến để chứng minh bất đẳng thứcChuyên đề: Hàm sốNội dungDạng 6. Ứng dụng hàm số đồng biến, nghịch biến để chứng minh bất đẳng thức: Dạng 6A: Bất đẳng thức về hàm số mũ, logDạng 6B: Bất đẳng thức về hàm số lượng giácDạng 6C: Sử dụng đạo hàm bậc cao Dạng 6ABất đẳng thức về hàm số mũ, logaritDạng 6A. Bất đẳng thức về hàm số mũ, logBài tập mẫu Chứng minh rằng nếu x > 0 thì ex > 1 + x. Giải Xét hàm số f(x) = ex – (1 + x). Ta có f ’(x) = ex – 1 > 0 x > 0, suy ra hàm số f(x) đồng biến trên R. Do đó nếu x > 0 => f(x) = ex – 1 – x > 0 => ex > 1 + x x > 0 (đpcm).Lưu ýBài toán: chứng minh rằng f(x) > 0 thoả mãn với mọi x trong khoảng (a ; b).Cách giải thường gặp:Sử dụng đạo hàm để xét biến thiên của hàm số. Nếu hàm số đồng biến trong khoảng (a ; b) thì x (a ; b) => f(a) f(b) 0 thì Giải Xét hàm số Ta có ,suy ra hàm số f(x) nghịch biến khi x > 0 (thực chất hàm số nghịch biến trên R). Do đó nếu (đpcm).Dạng 6A. Bất đẳng thức về hàm số mũ, logBài tập tương tự (tt)Lưu ý. Ta có các bất đẳng thức sau:Dạng 6A. Bất đẳng thức về hàm số mũ, logDạng 6B Bất đẳng thức về hàm số lượng giácBài tập mẫu Chứng minh rằng nếu thì sinx f(0) = 0 =>sinx g(0) = 0 => tanx > x Vậy nếu thì sinx 2x. Giải Xét hàm số Nếu thì Suy ra hàm số f(x) đồng biến trong . Do đó nếu thì f(x) = sinx + tanx – 2x > f(0) = 0 => sinx + tanx > 2x (đpcm).Dạng 6B. Bất đẳng thức về hàm số lượng giácLưu ý Ta thường gặp các bất đẳng thức sau:Nếu x > 0 thì Với mọi x, có bất đẳng thức Nếu thì 2sinx + tanx > 3x.Dạng 6B. Bất đẳng thức về hàm số lượng giácDạng 6CSử dụng đạo hàm bậc cao Bài tập mẫu Chứng minh rằng nếu x > 0 thì   Giải Xét hàm số suy ra hàm số f ’’(x) đồng biến trên R. Do đó nếu x > 0 thì f ’’(x) > f ’’(0) = 0, suy ra hàm số f ’(x) đồng biến khi x > 0 . Do đó nếu x > 0 thì f ’(x)> f’(0) = 0, suy ra hàm số f(x) đồng biến khi x > 0 . Do đó nếu x > 0 thì (đpcm)Dạng 6C. Sử dụng đạo hàm bậc caoBài tập tương tự Chứng minh rằng với mọi số thực x, ta có bất đẳng thức Dấu đẳng thức xảy ra khi nào? Giải Xét hàm số Ta có suy ra hàm số f ’(x) đồng biến trên R. Do đó nếu x > 0 thì f ’(x) =ex – sinx – 1 + x > f’(0) = 0 , suy ra hàm số f(x) đồng biến khi x > 0. Do đó nếu x > 0 thì .Dạng 6C. Sử dụng đạo hàm bậc caoBài tập tương tự (tt) Do đó nếu x < 0 thì f’(x) = ex – sinx – 1 + x < f(0) = 0 , suy ra hàm số f(x) nghịch biến khi x < 0. Do đó nếu x < 0 thì Ta được trong mọi trường hợp đều có bất đẳng thức dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = 0 (đpcm)Dạng 6C. Sử dụng đạo hàm bậc cao