Bài giảng môn Đại số lớp 12 - Dạng 4: Phân chia một tập hợp gồm các phần tử giống nhau

Chuyên đề: Đại số tổ hợpDạng 4Phân chia một tập hợp gồm các phần tử giống nhau Nội dungNội dungDạng 4: Dạng 4A. Một số bài toán về phân chia các phần tử của một tập hợp gồm các phần tử giống nhauDạng 4B. Tính số nghiệm nguyên của phương trình Dạng 4AMột số bài toán về phân chia các phần tử của một tập hợp gồm các phần tử giống nhauBài tập mẫuBài 1. Có bao nhiêu cách chia 50 đồ vật giống nhau cho ba người sao cho mỗi người đười được ít nhất một đồ vật.GiảiGiả sử ta đặt 50 đồ vật đã cho thành một hàng ngang, giữa chúng có 49 khoảng trống (xem hình minh hoạ). o o . . o │ o o o o . . . o o │ o o . . o o o người 1 người 2 người 3Nếu đặt hai vạch một cách bất kỳ vào hai trong số 49 khoảng trống đó, ta được một phép chia 50 đồ vật ra làm ba phần, mỗi phần có ít nhất một đồ vật. Ba người lần lượt nhận số đồ vật trong ba phần tương ứng, ta được một cách chia thoả mãn bài toán.Vậy số cách chia là số cách đặt hai vạch vào hai trong 49 khoảng trống. Ta được số cách chia là Đáp số: 1176 cách chia. Một số bài toán về phân chia các phần tử của một tập hợp gồm các phần tử giống nhauLưu ýNếu chia m đồ vật giống nhau cho n người sao cho mỗi người được ít nhất một đồ vật thì số cách chia là Một số bài toán về phân chia các phần tử của một tập hợp gồm các phần tử giống nhauBài tập tương tự - Bài tập 1Có bao nhiêu cách chia 60 đồ vật giống nhau cho bốn người sao cho mỗi người được ít nhất 5 đồ vật.GiảiTa đem chia trước cho mỗi người 4 đồ vật. Số đồ vật còn lại là: 60 – 4.4 = 44Bây giờ ta đem 44 đồ vật đó chia cho bốn người, mỗi người được ít nhất một đồ vật. Khi đó cùng với 4 đồ vật đã nhận trước, mỗi người được ít nhất 5 đồ vật, thoả mãn bài toán.Giả sử ta đặt 44 đồ vật đó thành một hàng ngang, giữa chúng có 43 khoảng trống (xem hình minh hoạ). o o . . o │ o o o o . . . o o │ o o . . o o o │ o o . . o o người 1 người 2 người 3 người 4Một số bài toán về phân chia các phần tử của một tập hợp gồm các phần tử giống nhauBài tập tương tự (tt) - Bài tập 1 (tt)Nếu đặt ba vạch một cách bất kỳ vào ba trong số 43 khoảng trống này, ta được một phép chia 44 đồ vật ra làm bốn phần, mỗi phần có ít nhất một đồ vật. Bốn người lần lượt nhận số đồ vật trong bốn phần tương ứng, ta được một cách chia thoả mãn bài toán.Vậy số cách chia là số cách đặt ba vạch vào ba trong 43 khoảng trống. Ta được số cách chia là Đáp số: 12341 cách chia. Một số bài toán về phân chia các phần tử của một tập hợp gồm các phần tử giống nhauLưu ý:Tính số cách chia m đồ vật giống nhau cho n người sao cho mỗi người được ít nhất k đồ vật (m  kn).Cách giảiTa chia trước cho mỗi người k –1 đồ vật. Số đồ vật còn lại là s = m – n(k – 1)Đem số đồ vật này chia cho n người sao cho mỗi người được ít nhất 1 đồ vật, thì số cách chia là Mỗi cách chia như vậy thoả mãn bài toán. Một số bài toán về phân chia các phần tử của một tập hợp gồm các phần tử giống nhauDạng 4BTính số nghiệm nguyên của phương trìnhBài tập mẫuTính số nghiệm của phương trình x + y + z = 100 với x, y, z  N*.Nhận xétVề bản chất mỗi nghiệm của phương trình tương ứng với một phép chia 100 đồ vật cho ba người sao cho mỗi người được ít nhất một đồ vật.Lặp lại cách làm như hai bài tập trên, ta được số nghiệm của phương trình là Đáp số: 4851 nghiệm. Tính số nghiệm nguyên của phương trìnhLưu ýBài toán tổng quát: Tính số nghiệm của phương trìnhx1 + x2 + . + xn = m với m, n, x1, x2, .., xn  N*; m  nGiảiGiả sử ta đặt m dấu chấm theo một hàng ngang, giữa chúng có m -1 khoảng trống (xem hình minh hoạ). Nếu đặt n -1 vạch một cách bất kỳ vào n -1 trong số m – 1 khoảng trống đó, ta được một cách chia m dấu chấm ra thành n phần. Gán giá trị cho x1, x2, .., xn lần lượt bằng số dấu chấm trong các phần 1, 2, , n, ta được một nghiệm của phương trình đã cho.Vậy số nghiệm của phương trình là số cách đặt n -1 vạch một cách bất kỳ vào n -1 trong số m – 1 khoảng trống đó, ta được số nghiệm phải tìm là Tính số nghiệm nguyên của phương trìnhBài tập tương tự - Bài tập 1Tính số nghiệm của phương trìnhx + y + x + t = 100 (1) với x, y, z, t  NGiảiĐặt a = x + 1, b = y + 1, c = z + 1, d = t + 1 ta được phương trìnha + b + c + d = 104 (2) với a, b, c, d  N*Mỗi nghiệm của PT (2) tương ứng với một nghiệm của PT (1).Theo bài toán tổng quát trên, ta được số nghiệm của phương trình làĐáp số: 176851 nghiệm. Tính số nghiệm nguyên của phương trìnhLưu ý:Bài toán tổng quát: Tính số nghiệm của phương trìnhx1 + x2 + . + xn = m với m, n, x1, x2, .., xn  N.Giải. Đặt a1 = x1+1, a2 = x2+1, .., an = xn+1 ta được phương trìnha1 + a2 + . + an = m + n (2) với a1, a2, .., an  N*.Mỗi nghiệm của PT (2) tương ứng với một nghiệm của PT (1).Theo bài toán tổng quát trên, ta được số nghiệm của phương trình là Tính số nghiệm nguyên của phương trìnhBài tập tương tự (tt) - Bài tập 2Tính số nghiệm của phương trình x + y + z + t = 100 với x, y, z, t  Z và x > - 2, y > - 1, z > 0, t > 1Giải. Đặt a = x + 2, b = y + 1, c = z, d = t – 1 a, b, c, d  1. Ta được phương trìnha + b + c + d = 102 (2) với a, b, c, d  N*.Theo bài toán tổng quát trên, ta được số nghiệm của phương trình là Nhắc lại bài toán tổng quát. Tính số nghiệm của phương trìnhx1 + x2 + . + xn = m với m, n, x1, x2, .., xn  N*, m  n.Số nghiệm của phương trình là Tính số nghiệm nguyên của phương trình