Bài giảng môn Đại số lớp 12 - Dạng 10: Công thức tổ hợp và nhị thức Newton

Nhị thức NewtonDạng 10Công thức tổ hợp và nhị thức NewtonNội dungMột số dạng toán liên quan đến công thức tổ hợpDạng 10. Công thức tổ hợp và nhị thức NewtonTóm tắt lý thuyết Dạng 10A. Một số bài tập sử dụng công thức Dạng 10B. Nhị thức Newton Dạng 10C. Bài toán về tập hợp conTóm tắt lý thuyếtTrong bài này ta quy ước sử dụng kí hiệu n, k là các số tự nhiên với n  1; k  n . Cho một tập hợp A gồm n phần tử.Mỗi cách sắp xếp thứ tự n phần tử đó tạo thành một hoán vị. Số hoán vị của n phần tử là Pn = n!k phần tử sắp thứ tự của A tạo thành một chỉnh hợp chập k của n phần tử đó. Số chỉnh hợp là k phần tử không phân biệt thứ tự của A tạo thành một tổ hợp chập k của n phần tử đó. Số tổ hợp là Tóm tắt lý thuyết (tt)Công thức khai triển nhị thức Newton Các công thức thường dùng: Dạng 10AMột số bài tập sử dụng công thức Bài tập mẫu: Chứng minh rằng Giảia/ Áp dụng công thức Lưu ý: Các công thức sau đây rất hay gặp trong các bài tập về biến đổi theo công thức tổ hợp: Bài tập tương tựRút gọn biểu thứcGiảiÁp dụng công thức và lưu ý:Bài tập tổng quátRút gọn biểu thứcGiảiVới k < n, áp dụng công thức và lưu ý , ta có Lưu ý. Nhiều bạn đã mắc sai lầm khi viết Phải xét hai trường hợp đối với k như trong lời giải trên. Dạng 10B. Nhị thức NewtonBài tập mẫuCó bao nhiêu cách chia n đồ vật khác nhau cho hai người, sao cho mỗi người được ít nhất một đồ vật. GiảiGiả sử người thứ nhất được k đồ vật, người thứ hai được n-k đồ vật. Vì mỗi người được ít nhất một đồ vật nên 1 k  n - 1. Số cách chọn k trong n đồ vật khác nhau cho người thứ nhất là Cho k lần lượt nhận giá trị 1, 2, .. , n-1, theo quy tắc cộng, ta được số cách chia là Đáp số: S = 2n - 2 Lưu ý: Khi chia một tập hợp ra thành hai nhóm, ta chỉ cần tính số cách chia cho nhóm thứ nhất.Số cách chia một tập hợp gồm n phần tử ra hai nhóm thì số cách chia là Bài tập tương tựTính số tập hợp con của một tập hợp gồm n phần tử.GiảiSố tập con của A có k phần tử là Cho k lần lượt nhận giá trị 0,1, 2, .. , n, theo quy tắc cộng, ta được số tập con là Đáp số: S = 2nLưu ý. Số tập hợp con của một tập hợp có n phần tử là 2n. Dạng 10C Bài toán về tập hợp conBài tập mẫuCho tập hợp A = {0; 1; 2; 20} . Có bao nhiêu tập hợp con của A mà trong đó có ít nhất một số chia hết cho 3.GiảiGọi B là tập con của A gồm tất cả các số chia hết cho 3. Ta có B = {0; 3; 6; ; 18} . Tập hợp A có 21 phần tử, tập B có 7 phần tử.Mỗi tập con của A mà trong đó có ít nhất một phần tử của B là thoả mãn bài toán.Số tập con của A là 221. Số tập con của A mà không có phần tử nào của B là 214.Mỗi tập con của A mà trong đó có ít nhất một phần tử của B là 221 – 214 = 2080768. Đáp số: Số tập con phải tính là 221 – 214 = 2080768. Lưu ý: Cho tập hợp A có n phần tử, B là tập con của A có m phần tử.Số tập con của A mà mỗi tập con có ít nhất một phần tử của B là 2n – 2n-m. Bài tập tương tựCho tập hợp A có 4n phần tử. Tính số tập con của A, mà mỗi tập con đó gồm một số lẻ phần tử và có không quá một nửa số phần tử của A.GiảiSố tập con của A gồm k phần tử là . Theo giả thiết k là một số lẻ, không vượt quá 2n nên k  {1 ; 3 ; 5 ;... ; 2n -1}. Cho k lần lượt nhận tất cả các giá trị của tập hợp trên và theo quy tắc cộng, ta được số tập con phải tìm là: Áp