Bài giảng môn Đại số lớp 12 - Cực đại và cực tiểu

Bài giảngCỰC ĐẠI VÀ CỰC TIỂUHàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a;b) và điểm x0  (a;b).a) V() = (x0 -  ; x0+ ), trong đó  > 0 được gọi là một lân cận của điểm x0.b) Điểm x0 được gọi là điểm cực đại của hàm số y = f(x) nếuvới mọi x thuộc một lân cận V()  (a;b) của điểm x0, ta có f(x) f(x0) (x x0).Kí hiệu fCT = f(x0).Điểm M(x0;f(x0)) gọi là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số. 1. Định nghĩaOxyM1M2x1f(x1)x2f(x2)abHình vẽ dưới mô tả đồ thị của hàm số với điểm cực đại M1vàđiểm cực tiểu M2 .Các điểm cực đại và cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị.Giá trị của hàm số tại điểm cực trị gọi là cực trị của hàm số đã cho. 2. Điều kiện để hàm số cực trịHàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a;b) và điểm x0  (a;b).Định lí FecmaNếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x0 và đạt cực trị tại điểmĐó thì f’(x0) = 0.Ý nghĩa hình học của định lí FecmaNếu f(x) có đạo hàm tại x0 và đạt cực trị tại đó thì tiếp tuyếncủa đồ thị tại điểm M(x0 ; f(x0)) song song với trục hoành.Hệ quả. Mọi điểm cực trị của hàm số y = f(x) đều là điểmtới hạn của hàm số đó.3. Điều kiện đủ (dấu hiệu) để hàm số có cực trịĐịnh lí 1 . Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm có đạo hàm trênMột lân cận của điểm x0 (có thể trừ tại x0). 1). Nếu f’(x) > 0 trên khoảng (x0 -  ;x0); f’(x) 0 trên khoảng(x0 ;x0+  ) thì x0 là một điểm cực tiểu của hàm số f(x).xf’(x)x0 - x0x0+ +_Cực đạixf’(x)f(x)x0 - x0x0+ +Cực tiểu_f(x)Nói một cách vắn tắt: Nếu khi x đi qua x0, đạo hàm đổi dấu thìđiểm x0 là điểm cực trị.Qui tắc I để tìm các điểm cực trị của một hàm số.1) Tìm f’(x)2) Tìm các điểm tới hạn3) Xét dấu của đạo hàm4) Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trịVí dụ : Tìm các điểm cực trị của hàm sốGiảix- + 0-1+1y’y00+__+-111Định lí 2. Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục tới cấp 2Tại x0 và f’(x0) = 0, f’’(x0)  0 thì x0 là một điểm cực trị của hàm số.Hơn nữa,1) Nếu f’’(x0) > 0 thị x0 là điểm cực tiểu.2) Nếu f’’(x0) 0  x = 2 là hai điểm cực tiểu.f’’(0) = -4 < 0  x = 0 là điểm cực đại.