Bài giảng môn Đại số lớp 12 - Chuyên đề Hàm số (Tiết 3)

I.HÀM SỐ 1.Các bước khảo sát hàm số: Tập xác định. Tính đạo hàm (luôn dương hay âm). Tìm tiệm cận. Lập BBT. Nhận xét: tính đơn điệu và cực trị. Lập BGT Vẽ đồ thị. 2.Các bài toán liên quan đến hai đường tiệm cận: Tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm M thuộc đồ thị và cắt hai tiệm cận tại A, B thì M luôn là trung điểm của AB và tích IA.IB luôn là một hằng số (I là giao điểm hai đường tiệm cận). Tìm m để hàm số tăng trên khoảng . ĐS:. Cho hàm số Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C). Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt. Tìm m để phương trình có đúng một nghiệm. Tìm m để phương trình có đúng hai nghiệm phân biệt. Cho hàm số Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ điểm M thuộc (C) đến hai đường tiệm cận bằng một số không đổi. Tìm điểm M thuộc (C) để tổng các khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm những điểm M trên (C) có tọa độ là số nguyên. Tìm những điểm M trên (C) sao cho khoảng cách từ M đến Oy bằng hai lần khoảng cách từ M đến Ox. Cho hàm số và đường thẳng . Tìm m để: d cắt (C) tại 2 điểm thuộc cùng một nhánh của đồ thị. ĐS d cắt (C) tại 2 điểm thuộc hai nhánh của đồ thị. ĐS Cho hàm số . Tìm trên đồ thị (C) điểm M sao cho tiếp tuyến với (C) tại M cắt hai đường tiệm cận tại A, B sao cho (I là giao điểm hai đường tiệm cận). ĐS: Cho hàm số . Gọi I là giao điểm hai đường tiệm cận của . Tiếp tuyến tại điểm bất kì của cắt hai tiệm cận tại A, B. Tìm m để ĐS: Cho hàm số . Giả sử M là điểm bất kì trên , gọi H, K là hình chiếu của M lên các đường tiệm cận và I là giao điểm hai tiệm cận. Tìm m để . HD: Gọi . Tứ giác MHIK là hình chữ nhật nên . ĐS: Cho hàm số . Tìm những điểm trên trục tung để từ đó kẻ được đúng một tiếp tuyến với (C). HD: Gọi Pttt với (C) tại M có dạng: Qua A kẻ được đúng một tiếp tuyến với (C) khi và chỉ khi phương trình có đúng một nghiệm. ĐS: Cho hàm số . Tiếp tuyến của (C) tại M là điểm bất kì trên (C) cắt hai tiệm cận tại A, B. Tìm tọa độ điểm M sao cho hình tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ nhất (I là giao điểm hai tiệm cận).ĐS: Viết pttt với đồ thị hàm số , biết tiếp tuyến đó cắt hai tiệm cận tại A, B sao cho tam giác IAB cân(I là giao điểm 2 tiệm cận).ĐS: Viết pttt với đồ thị hàm số , biết tiếp tuyến đó cắt trục Ox, Oy lần lượt tại A, B sao cho tam giác OAB vuông cân. Cho hàm số . Gọi I là giao điểm hai tiệm cận. Tìm trên (C) điểm M sao cho tiếp tuyến của (C) tại M vuông góc với IM. ĐS: Cho hàm số (C). Viết pttt với (C) sao cho khoảng cách từ tâm đối xứng của (C) đến tiếp tuyến đó là lớn nhất. Cho hàm số . Viết pttt với (C) biết tiếp tuyến tạo với hai đường tiệm cận của (C) thành tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp lớn nhất. HD:ĐS: có 2 tiếp tuyến có ycbt là Cho hàm số . Tìm điểm M thuộc (C) để tiếp tuyến với (C) tại M tạo với hai đường tiệm cận một tam giác có chu vi nhỏ nhất. Tìm trên đồ thị các điểm A, B sao cho và đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng . Cho hàm số Xác định tâm đối xứng I của (C). Tìm điểm để tổng khoảng cách đến hai tiệm cận bé nhất. Tìm điểm để khoảng cách MI bé nhất. Viết pttt của (C) và tạo với hai tiệm cận tam giác cân. Viết pttt của (C) sao cho tiếp tuyến này cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại A, B sao cho OA=4OB. Viết pttt của (C) biết tiếp tuyến này tạo với hai trục tọa độ tam giác có diện tích bằng . Tìm trên (C) hai điểm đối xứng nhau qua . Cho hàm số (1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi m=2. Viết phương trình đường thẳng qua và cắt (C) tại hai điểm phân biệt M, N sao cho A là trung điểm của đoạn thẳng MN. Đường thẳng qua và có hệ số góc k. Tìm k để cắt (C) tại hai điểm phân biệt P,Q sao cho khoảng cách giữa P và Q bằng . Đường thẳng qua và có hệ số góc k. Tìm k để cắt (C) tại hai điểm phân biệt P,Q sao cho khoảng cách giữa P và Q là nhỏ nhất. Tìm m để hàm số (1) nghịch biến trong khoảng Tìm m để hàm số (1) cắt tại hai điểm B, C phân biệt sao cho tam giác OBC vuông tại O (O là gốc tọa độ). Cho hàm số. Tìm điểm M thuộc (C) để tiếp tuyến với (C) tại M tạo với hai đường tiệm cận một tam giác có chu vi nhỏ nhất. Cho hàm số ,. Với giá trị nào của m thì tiếp tuyến tại giao điểm của với trục hoành sẽ song song với đường thẳng . Viết phương trình các tiếp tuyến ấy. HD: thì . Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm có hoành độ là . Do tiếp tuyến song song với đường thẳng nên thỏa Cho hàm số . Gọi là hệ số góc của tiếp tuyến tại giao điểm của với trục hoành và là hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng 1. Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho đạt giá trị nhỏ nhất. HD: Suy ra khi và chỉ khi Viết pttt với đồ thị hàm số , biết tiếp tuyến tạo với đường thẳng một góc .ĐS: Tìm m để đường thẳng cắt tại 2 điểm phân biệt A,B sao cho diện tích tam giác OAB bằng 3. Gọi d là đường thẳng qua và có hệ số góc m. Tìm m để d cắt tại hai điểm phân biệt A,B sao cho hai điểm A,B đối xứng nhau qua . Viết pttt với đồ thị hàm số sao cho khoảng cách từ tâm đối xứng của đồ thị hàm số đến tiếp tuyến đó là lớn nhất. HD:Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là . PTTT của đồ thị hàm số tại Cho hàm số . Giả sử A, B là hai điểm phân biệt trên (C) sao cho các tiếp tuyến tại A và B song song với nhau. Tìm tọa độ trung điểm của đoạn thẳng AB. HD: Gọi và và E là trung điểm của AB. Ta có . ĐS: II.HÀM SỐ: 1.Các bước khảo sát hàm số: Tập xác định. Tính đạo hàm cấp 1: Giải phương trình để tìm điểm cực trị (nếu có). Tính các giói hạn tại vô cực. Lập bảng biến thiên. Nhận xét các khoảng đơn điệu và cực trị. Tìm điểm uốn Lập bảng giá trị. Vẽ đồ thị. 2.Các dạng toán thường gặp: Cho hàm số Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. Tìm m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt. Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt. Cho hàm số . Qua điểm uốn I của đồ thị (C) viết phương trình đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại 2 điểm A, B khác I sao cho tam giác MAB vuông tại M, trong đó M là điểm cực đại của (C); Cho hàm số . Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị với hoành độ lớn hơn 1. Cho hàm số. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị với hoành độ lớn hơn 1. Cho hàm số . Tìm m để hàm số (1) có hai điểm cực trị A, B sao cho tam giác ABC vuông ở C với . Tìm m để hàm số có hai điểm đối xứng nhau qua gốc tọa độ O. Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu nằm về hai phía của trục tung. Cho hàm số . Tìm những điểm trên đường thẳng mà từ đó kẻ đúng 3 tiếp tuyến đến (C). HD:Gọi thuộc đường thẳng . Viết pt d qua A và có hệ số góc k. d tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ pt có nghiệm. KL: với thì ycbt thỏa. Tìm m để đồ thị có các điểm cực đại, cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng .ĐS: Tìm hai điểm thuộc sao cho chúng đối xứng nhau qua điểm . ĐS: Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng . ĐS: Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng . ĐS:. Tìm m để hàm số nghịch biến trên một khoảng có độ dài lớn hơn . Tìm m để hàm số nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng . Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng Tìm m để hàm số đồng biến trên một đoạn có độ dài bằng 2. Tìm m để hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại các điểm có hoành độ Cho hàm số Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi m=3. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có cực trị và hai điểm cực trị của hàm số (1) cùng với gốc tọa độ O tạo thành tam giác vuông tại O. Tìm k để đường thẳng cắt (C) tại 3 điểm phân biệt A, B, C trong đó A cố định và tiếp tuyến với (C) tại B , C vuông góc nhau. Tìm k để cắt đồ thị tại 3 điểm A,B,C phân biệt trong đó A cố định và . Tìm m để cắt tại 3 điểm phân biệt ,B,C sao cho tam giác KBC có diện tích bằng 4, biết .ĐS: Cho hàm số Tìm những điểm cố định trên đồ thị . Tìm m để đồ thị tiếp xúc với trục hoành. HD: tiếp xúc với trục hoành khi và chỉ khi hệ có nghiệm. Cho hàm số . Tìm m để đồ thị hàm số (C) có cực đại và cực tiểu sao cho đường thẳng đi qua điểm cực đại và cực tiểu vuông góc với đường thẳng ;ĐS:m=3 Cho hàm số. Viết pttt với (C) tại điểm , biết M cùng với hai điểm cực trị của (C) tạo thành tam giác có diện tích bằng 6. ĐS: Viết pttt với đồ thị hàm số , biết tiếp tuyến đó đi qua điểm . Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm sao cho khoảng cách từ điểm cực đại của đồ thị hàm số đến d là lớn nhất. HD:Điểm cực đại của đồ thị hàm số là . Dựng . Ta có . d đi qua điểm A và có vtpt là . Cho hàm số . Tìm trên đường thẳng x=2 các điểm mà từ đó kẻ đúng ba tiếp tuyến đến (C). Cho hàm số . Tìm tất cả các giá trị của m biết đồ thị (C) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt: Có hoành độ thỏa .ĐS: Có hoành độ dương. ĐS: Có hoành độ nhỏ hơn 3. HD:.ĐS: Có hoành độ lập thành một cấp số cộng. ĐS: Cho hàm số . Tìm m để cắt trục hoành tại một điểm duy nhất. HD:. Lập BBT của g(x) ta được . Cho hàm số . Tìm để đồ thị (C) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ sao cho . Cho hàm số . Tìm m để đồ thị cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt và các hoành độ đều nhỏ hơn 4. Cho hàm số . Tìm m để cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ sao cho đạt giá trị nhỏ nhất. Cho hàm số . Tìm m để đồ thị (C) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng. Viết pttt chung của hai đường cong .ĐS:. Tìm những điểm trên trục hoành mà qua đó kẻ được đúng ba tiếp tuyến đến đồ thị mà trong đó có hai tiếp tuyến vuông góc với nhau. HD:Gọi , phương trình d qua và có hệ số góc k:. dùng đk tiếp xúc ta được ycbtpt(*) có hai nghiệm phân biệt khác 0 và .ĐS:. III.HÀM SỐ 1.Các bước khảo sát hàm số: Tập xác định. Tính đạo hàm cấp 1: Giải phương trình để tìm điểm cực trị (nếu có). Tính các giói hạn tại vô cực. Lập bảng biến thiên. Nhận xét các khoảng đơn điệu và cực trị. Lập bảng giá trị. Vẽ đồ thị. 2.Các dạng toán thường gặp: Cho hàm số Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số trên. Tìm m để phương trình có 8 nghiệm phân biệt. Cho hàm số . Tìm m để đồ thị cắt trục Ox tại 4 điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 3. Cho hàm số . Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị và đường tròn đi qua ba điểm này có bán kính bằng 1. ĐS: Cho hàm số . Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác tạo bởi ba điểm cực trị đó đạt giá trị nhỏ nhất. HD:Đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị khi và chỉ khi . Khi đó các điểm cực trị là . Vì B và C đối xứng nhau qua Oy nên nếu gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC thì . Gọi R là bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Ta có . Vậy . ĐS: Cho hàm số . Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số (1) có cực đại, cực tiểu, đồng thời các điểm cực đại, cực tiểu của (1) lập thành một tam giác đều. Cho hàm số . Khảo sát và vẽ (C) khi m=1. Viết pttt với (C), biết tiếp tuyến đi qua điểm Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt. Tìm m để hàm số (1) có 3 điểm cực trị lập thành tam giác vuông cân. Tìm m để hàm số có ba điểm cực trị tạo thành t.giác đều. Tìm m để hàm số có ba điểm cực trị và khoảng cách giữa hai điểm cực tiểu bằng 2. Tìm m để hàm số có một cực trị và khoảng cách từ điểm cực trị đến đường thẳng đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm m để hàm số cắt trục hoành tại 4 điểm tạo thành 3 đoạn thẳng có độ dài bằng nhau.ĐS:. Tìm m để hàm số có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có trọng tâm là gốc tọa độ O. Tìm m để hàm số chỉ có một điểm cực trị.ĐS: HD:,pt(*)vô nghiệm hay có nghiệm kép bằng 0. Không gieo trồng, làm sao có thu hoạch? Không vất vả, đâu thể có thành công. Không gắng sức, làm sao được vinh quang? Không cực khổ, đâu có lúc huy hoàng! (William Penn) THẦY CHÚC TẤT CẢ CÁC EM SỨC KHỎE VÀ ÔN TẬP THẬT TỐT NHÉ!