Bài giảng môn Đại số lớp 12 - Chuyên đề 2: Tính đơn điệu của hàm số

Chuyên đề 2 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Dạng 1 Tìm khoảng đơn điệu của hàm số Hoạt động 1: Tiếp cận phương pháp Ví dụ 1: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số: a) b) Chú ý: Sẽ là không chính xác nếu ta viết hàm số đồng biến trên tập vì như vậy sẽ vi phạm định nghĩa hàm số đồng biến trên I. Chú ý: Sẽ là không chính xác nếu ta viết hàm số nghịch biến trên tập R\{1} vì như vậy sẽ vi phạm định nghĩa hàm số nghịch biến trên I. Hoạt động 2: Hình thành phương pháp Phương pháp giải: Để tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y=f(x) ta có thể làm như sau: Bước 1: Tìm ĐKXĐ của hàm số. Tính y’ và tìm ĐKXĐ của y’. Bước 2: Giải phương trình y’= 0 (nếu có) Bước 3: Xét dấu y’ và lập bảng biến thiên của hàm số. Từ đó suy ra kết luận. Hoạt động 3: Củng cố phương pháp Ví dụ 2: Tìm các khoảng đơn điệu của mỗi hàm số sau: a) d) b) e) c) f) Ví dụ 3: Xét chiều biến thiên của hàm số: . Chú ý: Điều quan trọng nhất trong phương pháp giải các bài toán tìm khoảng đơn điệu của hàm số y=f(x) là ta phải xét được dấu của f’(x), từ đó mà lập được bảng biến thiên. Thông thường ta sử dụng định lý về dấu của nhị thức bậc nhất hoặc tam thức bậc hai, phương pháp khoảng, giải trực tiếp các bất phương trình f’(x)>0, f’(x)<0, Trong trường hợp phức tạp ta có thể xét dấu hàm số f’(x) dựa vào tính liên tục như sau: “Nếu hàm số f’(x) liên tục trên tập xác định của nó thì giữa 2 điểm tới hạn kề nhau x1 và x2, f’(x) giữ nguyên một dấu” (Điểm tới hạn là điểm thuộc tập xác định của hàm số mà tại đó f’(x)=0 hoặc f’(x) không xác định). Ví dụ 4:Chứng minh rằng hàm sốđồng biến trên R. * Một số bài tập vận dụng: [1] Tìm các khoảng đơn điệu của mỗi hàm số sau: a) b) c) d) e) f) [2] Xét chiều biến thiên của các hàm số sau: a) b) c) d) [3] Chứng minh rằng a) Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó. b) Hàm số nghịch biến trên R. c) Hàm số đồng biến trên R. d) Hàm số nghịch biến trên R. Dạng 2 Xác định tham số để hàm số đơn điệu trên một miền I Hoạt động 1: Tiếp cận phương pháp Ví dụ 1: Tìm các giá trị của tham số m để hàm số sau đồng biến trên R: Ví dụ 2(ĐHSPHN,00): Tìm m để hàm số đồng biến trên . Hoạt động 2: Hình thành phương pháp Phương pháp giải Bước 1: Tìm ĐKXĐ của hàm số y=f(x). Tính f’(x) và điều kiện xác định của nó. Bước 2: Tuỳ theo yêu cầu bài toán mà ta sẽ đưa ra điều kiện thích hợp: Hàm số y=f(x) đồng biến trên miền I Û Hàm số y=f(x) nghịch biến trên miền I Û Bước 3: Giải các điều kiện và kết luận. Hoạt động 3: Củng cố phương pháp Ví dụ 3 (Tìm điều kiện để hàm số đơn điệu trên R) Tìm m để hàm số nghịch biến trên R, Chú ý: Các bài toán dạng này thường dẫn đến việc áp dụng nội dung định lý thuận về dấu của tam thức bậc hai. Ta cần nhớ các kết quả sau: . . Ví dụ 4 (HVTCKT,2001) Tìm m để hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định của nó. Ví dụ 5 (Tìm điều kiện để hàm số đơn điệu trên một khoảng có chứa vô cực) Tìm m để hàm số nghịch biến trên . Chú ý: Các bài toán tìm điều kiện để hàm số y=f(x) đơn điệu trên miền I thường dẫn đến việc so sánh 2 nghiệm x1, x2 của tam thức bậc hai với số . Điều này cần sử dụng đến nội dung định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai, nhưng định lý này đã bị cắt bỏ trong chương trình SGK lớp 10 mới (thực hiện từ năm 2006). Để khắc phục được điều này ta có thể đưa về việc xét dấu các nghiệm của 1 tam thức bậc hai bằng cách đặt , ví dụ 5 ở trên là một ví dụ minh hoạ. Tuy nhiên, một số bài toán có thể được giải bằng phương pháp hàm số. Sau đây là một số ví dụ minh hoạ: Ví dụ 6 (ĐHMĐC,01) Tìm m để hàm số đồng biến trên . Ví dụ 7(ĐH HH,00) (Tìm điều kiện để hàm số đơn điệu trên một khoảng không chứa vô cực) Tìm m để hàm số đồng biến trên (0;3). * Một số bài tập vận dụng: [1] (BT4-tr8) Với giá trị nào của a hàm số nghịch biến trên R. [2] (BT5-tr8) Tìm các giá trị của tham số a để hàm sốđồng biến trên R. [3] (BT1.7-tr10-SBT) Với các giá trị nào của m, hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó. [4](BT1.8-tr10-SBT) Với các giá trị nào của a, hàm số nghịch biến trên R. [5] Tìm m để hàm số đồng biến trên R. [6] Tìm m để hàm số đồng biến trên tập xác định. [7] Tìm m để hàm sốđồng biến trên. [8] Cho hàm số . Tìm a để hàm số đồng biến trên . [9] Cho hàm số . Tìm m để hàm số đồng biến trên . [10](HV-TCKT,97) Cho hàm số . Tìm m để hàm số đồng biến trên . [11] (ĐHNN HN,98) Cho hàm số . Tìm m để hàm số nghịch biến trên (-2;0). [12] Cho hàm số.Tìm m để hàm số đồng biến trên (0;1). [13] Cho hàm số a) Tìm m để hàm số nghịch biến trên (0;1). b) Tìm m để hàm số nghịch biến trong một khoảng có độ dài lớn hơn 1. Dạng 3 Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình, bất phương trình Hai tính chất cơ bản về tính đơn điệu của hàm số như sau : * Tính chất 1: Xét phương trình f(x)=g(x) xác định trên tập . Nếu trên tập D, hai hàm số f(x) và g(x) có tính đơn điệu ngược nhau hoặc f(x) là hàm đơn điệu còn g(x) là hàm hằng mà x=x0 là một nghiệm của phương trình thì x=x0 sẽ là nghiệm duy nhất của phương trình. * Tính chất 2: Giả sử hàm số f(x) đơn điệu trên tập . Khi đó với ta có: . . Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình Hoạt động 1: Tiếp cận phương pháp Ví dụ 1: Giải phương trình . Ví dụ 2 (ĐHNT,01): Giải phương trình: (1) Hoạt động 2: Hình thành phương pháp Phương pháp giải: Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình, ta có thể triển khai theo 2 hướng sau đây: Hướng thứ nhất: Thực hiện theo các bước: Bước 1: Tìm TXĐ của phương trình, giả sử TXĐ là D. Chuyển phương trình đã cho về dạng . Bước 2: Xét tính đơn điệu của hai hàm số f(x) và g(x) trên tập D. Chứng minh rằng chúng có tính đơn điệu ngược nhau hoặc f(x) là hàm đơn điệu còn g(x) là hàm hằng trên D. Bước 3: Nhẩm được 1 nghiệm x = x0 của phương trình.Từ đó nêu kết luận. Hướng thứ hai: Thực hiện theo các bước: Bước1: Tìm TXĐ của phương trình. Bước 2: Đưa phương trình đã cho về dạng với . Đồng thời chứng minh rằng hàm số f(t) đơn điệu trên tập K. Bước 3: Từ đó, giải u = v để tìm được nghiệm của phương trình đã cho. Hoạt động 3: Củng cố phương pháp Ví dụ 3: Giải các phương trình sau: a) (1) b) (2) Ví dụ 4 (K.B,07) Chứng minh rằng với , phương trình sau luôn có 2 nghiệm thực phân biệt: (1) * Một số bài tập vận dụng: [1] Giải các phương trình sau: a) b) c) d) e) [2] Giải các phương trình sau: a) b) c) (ĐHNT,2000) d) e) [3](BT 1.11-tr12-SBT GTNC12) Cho hàm số a) CMR hàm số đồng biến trên nửa khoảng . b) CMR phương trình có 1 nghiệm duy nhất. [4](BT 1.12-tr12-SBT GTNC12) Cho hàm số . a) CMR hàm số đồng biến trên đoạnvà nghịch biến trên đoạn b) CMR với , phương trình có 1 nghiệm duy nhất thuộc đoạn . [5] Tìm thoả mãn: [6] (K.B,2004) Xác định m để phương trình sau có nghiệm: [7](K.D,2004) Chứng minh rằng phương trình sau có nghiệm duy nhất: [8] (K.D,2006) Chứng minh rằng hệ có nghiệm: [9](K.A,2007)Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực: [10] ](K.A,2008) Tìm m để phương trình sau có đúng 2 nghiệm thực phân biệt: [11](K.A,2010) Giải hệ pt: (x, y ) b) Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải bất phương trình. Hoạt động 1: Tiếp cận phương pháp Ví dụ 1: Giải bất phương trình: (1) Hoạt động 2: Hình thành phương pháp Phương pháp giải: Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải bất phương trình, ta có thể làm như sau: Bước 1: Tìm TXĐ của bất phương trình. Bước 2: Đưa bất phương trình đã cho về dạng: với Đồng thời CMR hàm số f(t) đơn điệu trên tập K. Bước 3: Từ đó suy ra rằng: Giải (hoặc) để tìm được nghiệm của bất phương trình đã cho. Hoạt động 3: Củng cố phương pháp Ví dụ 2: Giải bất phương trình: (1) Ví dụ 3 Giải bất phương trình: (1) Ví dụ 4 * Một số bài tập vận dụng [1] Giải các bất phương trình sau: a) b) c) d) [2] Giải các bất phương trình: a) c) b) d) [3] (ĐHQGHN,99) Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm thực: [4] Tìm số m lớn nhất để bất phương trình sau nghiệm đúng với (1) [5](ĐHBKHN,00) Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: (1) Dạng4 Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để chứng minh bất đẳng thức Ví dụ 1: Chứng minh rằng với , ta luôn có: * Cho hàm số f(x) đơn điệu trên tập Khi đó với ta có: Phương pháp giải Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để chứng minh bất đẳng thức, ta thực hiện theo các bước sau: Bước 1: Biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh về dạng: f(u)>f(v) với . Bước 2: Xét tính đơn điệu của hàm số f(t) trên K. Chứng minh hàm f(t) đồng biến hoặc nghịch biến trên K. Bước 3: Từ giả thiết chỉ ra rằng : u>v nếu f(t) là hàm đồng biến trên K, u<v nếu f(t) là hàm nghịch biến trên K. Hoạt động 3: Củng cố phương pháp Ví dụ 2 a) CMR với ta có: (BT 9-tr9) b) CMR: c) Với mọi ΔABC nhọn, CMR: Ví dụ 3 (K.D,2007) Cho . Chứng minh rằng: (1) * Một số bài tập vận dụng. [0] (BT 8-tr8-SGK) [1] (BT 1.13-tr12-SBT GTNC12) Cho hàm số a) CMR hàm số đồng biến trên nửa khoảng . b) CMR: với [2] (BT 1.14-tr12-SBT GTNC12) a) CMR hàm số đồng biến trên nửa khoảng b) CMR : . [3] (BT 1.15-tr12-SBT GTNC12) Cho hàm số a) Xét chiều biến thiên của hàm số trên đoạn b) Từ đó suy ra rằng với mọi . [4] Chứng minh các bất đẳng thức sau: a) c) với b) d) [5] CMR: [6] CMR: [7] Cho . CMR: [8 ]Cho ΔABC nhọn, CMR:.