Bài giảng môn Đại số lớp 12 - Chuyên đề 13: Tích phân và ứng dụng

Chuyên đề 13: TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG TÓM TẮT GIÁO KHOA I. Bảng tính nguyên hàm cơ bản: Bảng 1 Bảng 2 Hàm số f(x) Họ nguyên hàm F(x)+C Hàm số f(x) Họ nguyên hàm F(x)+C a ( hằng số) ax + C sinx -cosx + C sin(ax+b) cosx Sinx + C cos(ax+b) tgx + C -cotgx + C tgx cotgx Phương pháp 1: Phân tích tích phân đã cho thành những tích phân đơn giản có công thức trong bảng nguyên hàm cơ bản Cách phân tích : Dùng biến đổi đại số như mũ, lũy thừa, các hằng đẳng thức ... và biến đổi lượng giác bằng các công thức lượng giác cơ bản. Ví dụ : Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau: 1. 2. Phương pháp 2: Sử dụng cách viết vi phân hóa trong tích phân Ví dụ: Tính các tích phân: 1. 2. 3. I. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG ĐN VÀ CÁC TÍNH CHẤT TÍCH PHÂN 1. Định nghĩa: Cho hàm số y=f(x) liên tục trên . Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) thì: ( Công thức NewTon - Leiptnitz) 2. Các tính chất của tích phân: Tính chất 1: Nếu hàm số y=f(x) xác định tại a thì : Tính chất 2: Tính chất 3: Nếu f(x) = c không đổi trên thì: Tính chất 4: Nếu f(x) liên tục trên và thì Tính chất 5: Nếu hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên và thì Tính chất 6: Nếu f(x) liên tục trên và thì Tính chất 7: Nếu hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên thì Tính chất 8: Nếu hàm số f(x) liên tục trên và k là một hằng số thì Tính chất 9: Nếu hàm số f(x) liên tục trên và c là một hằng số thì Tính chất 10: Tích phân của hàm số trên cho trước không phụ thuộc vào biến số , nghĩa là : Bài 1: Tính các tích phân sau: 1) 2) 3) 4) 5) 6) = 7)= 8) = 2 9)= 1+ ln2 10) = 11)= 1 12)= 13) 14) 15) 16) 17) 18) Bài 2: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) Bài 3: 1) Tìm các hằng số A,B để hàm số thỏa mãn đồng thời các điều kiện và 2) Tìm các giá trị của hằng số a để có đẳng thức : II. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ : 1) DẠNG 1:Tính I = bằng cách đặt t = u(x) Công thức đổi biến số dạng 1: Cách thực hiện: Bước 1: Đặt Bước 2: Đổi cận : Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t ta được (tiếp tục tính tích phân mới) Tính các tích phân sau: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) 21) 22) 23) 24) 25) 2) DẠNG 2: Tính I = bằng cách đặt x = Công thức đổi biến số dạng 2: Cách thực hiện: Bước 1: Đặt Bước 2: Đổi cận : Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t ta được (tiếp tục tính tích phân mới) Tính các tích phân sau: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) II. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP VI PHÂN: Tính các tích phân sau: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) III. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN: Công thức tích phân từng phần: Hay: Cách thực hiện: Bước 1: Đặt Bước 2: Thay vào công thức tích phân từng từng phần : Bước 3: Tính và Tính các tích phân sau: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) MỘT SỐ BÀI TOÁN TÍCH PHÂN QUAN TRỌNG VÀ ỨNG DỤNG Bài 1: 1) CMR nếu f(x) lẻ và liên tục trên [-a;a] (a>0) thì : 2) CMR nếu f(x) chẵn và liên tục trên [-a;a] (a>0) thì : Bài 2: 1) CMR nếu f(t) là một hàm số liên tục trên đọan [0,1] thì: a) b) ÁP DỤNG: Tính các tích phân sau: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) Bài 3:CMR nếu f(x) liên tục và chẵn trên R thì ; ÁP DỤNG : Tính các tích phân sau: 1) 2) 3) IV .ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG: Công thức: Tính diện tích của các hình phẳng sau: 1) (H1): 2) (H2) : 3) (H3): 4) (H4): 5) (H5): 6) (H6): 7) (H7): 8) (H8) : 9) (H9): 10) (H10): 11) 12) V. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ TRÒN XOAY. Công thức: Bài 1: Cho miền D giới hạn bởi hai đường : x2 + x - 5 = 0 ; x + y - 3 = 0 Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox Bài 2: Cho miền D giới hạn bởi các đường : Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Oy Bài 3: Cho miền D giới hạn bởi hai đường : và y = 4 Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh: a) Trục Ox b) Trục Oy Bài 4: Cho miền D giới hạn bởi hai đường : . Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox Bài 5: Cho miền D giới hạn bởi các đường : Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox ------------------------------Hết-------------------------------