Bài giảng môn Đại số lớp 12 - Bài 5: Hàm số mũ và hàm số lôgarit

GIÁO ÁN GIẢI TÍCH 12 (NÂNG CAO) Chương II : HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LÔGARITGV : Trần Ngọc Minh§5. Hàm số mũ và hàm số lôgaritCHÂU THÀNHTIỀN GIANGT H P TTÂN HIỆP1NỘI DUNG BÀI HỌCTIẾT 1 Kiểm tra bài cũ Khái niệm hàm số mũ, hàm số lôgarit. Một số giới hạn liên quanTIẾT 2 3. Đạo hàm của hàm số mũ, hàm số lôgaritTIẾT 3 4.Sự biến thiên và đồ thị của hàm số mũ, hàm số lôgarit Củng cố Bài tập làm thêm2KIỂM TRA BÀI CŨ : Câu hỏi : Viết công thức tính lãi kép .Aùp dụng : Một người gửi 15 triệu đồng vào Ngân hàng theo thể thức lãi kép kì hạn một năm với lãi suất 7,56% một năm . Hỏi số tiền người đó nhận được (cả vốn lẫn lãi) sau 2 năm, sau 5 năm là bao nhiêu triệu đồng .(Làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai )3TRẢ LỜI : Công thức : C= A(1 + r)N A : Số tiền gửi ban đầu r : lãi suấtN : Số kì hạn C : Số tiền thu được ( cả vốn lẫn lãi )Aùp dụng : C= 15(1 + 0,0756)N N = 2 : C = 17 triệu 35 N = 5 : C = 21 triệu 594Câu 1 : Tính các giá trị cho trong bảng sau x-2012 2x x 1 24log2xPHIẾU HỌC TẬP SỐ 11242-10151. Khái niệm hàm số muÕ, hàm số lôgarit : a)Định nghĩa : Cho a là số thực dương, khác 1. + Hàm số y = ax , xác định trên Rđược gọi là hàm số mũ cơ số a .+ Hàm số y = loga x , xác định trên (0; + ) được gọi là hàm số lôgarit cơ số a . b) Chú ý : + Hàm số y = ex kí hiệu y = exp(x).+ Hàm số y =logx = log10x (hoặc y= lgx) ,+ Hàm số y = lnx = logex .6Câu 2 : Các biểu thức sau biểu thức nào là hàm số mũ, hàm số lôgarit. Khi đó cho biết cơ số : e) y = xx .i) y = lnxPHIẾU HỌC TẬP SỐ 17e) y = xx .TRẢ LỜI Hàm số mũ cơ số a = Hàm số mũ cơ số a = 1/4Hàm số mũ cơ số a = Không phải hàm số mũ Không phải hàm số mũ 8i) y = lnxTRẢ LỜI Hàm số lôgarit cơ số a = 3 Hàm số lôgarit cơ số a = 1/4Không phải hàm số lôgarit Hàm số lôgarit cơ số a = eKhông phải hàm số lôgarit 92. Một số giới hạn liên quan đến hàm số mũ, hàm số lôgarit :a) Tính liên tục Các hàm số y = ax, y = logax liên tục trên tập xác định của nó :10Ví dụ : Tính các giới hạn sau :11GIẢI a) Khi x  +   1/x  0 . Do đó : c) Khi x  0  Do đó : 12PHIẾU HỌC TẬP SỐ 2Do đó :3) Đặt t = ex = t => ex = t + 1 => x = ln(1 + t ) Khi x  0 khi và chỉ t  0 Aùp dụng công thức (1) . Do tính liên tục của hàm số lôgarit , ta có :Đặt :1) Các em đã biết :13b) ĐỊNH LÝ 1 : 14Aùp dụng : Tính các giới hạn sau : 15GIẢI 163. Đạo hàm của hàm số mũ và hàm số lôragit :a) Đạo hàm của hàm số mũ :PHIẾU HỌC TẬP SỐ 3 a) Phát biểu định nghĩa đạo hàm của hàm số  : b) Aùp dụng tính đạo hàm của hàm số y=f(x)= exCho x số gia x+ y = f(x + x ) – f(x) = ex + x – ex = ex(ex – 1).+ Kết luận : (ex)’ = ex . 17PHIẾU HỌC TẬP SỐ 3 c) Chứng minh (ax)’ = ax. lna . Biến đổi số a dương khác 1 thành lũy thừa theo cơ số e a= elna => ax = e(lna)x = ex.lna .Do đó theo công thức đạo hàm của hàm số hợp . Ta có :18ĐỊNH LÝ 2 : i) Hàm số y = ax có đạo hàm tại mọi điểm x  R và . (ax)’ = ax .lna Đặc biệt : (ex)’ = ex .ii) Nếu hàm số y = u(x) có đạo hàm trên tập J thì hàm số y = au(x) có đạo hàm trên J và (au(x))’ = u’(x).au(x) .lnaĐặc biệt : (eu(x))’ =u’(x)eu(x) .19Ví dụ : Tính đạo hàm các hàm số sau : y = (x2 + 2x).ex .20y = (x2 + 2x).ex . y’= (2x + 2)ex + (x2 + 2x).ex y’ = (x2 + 4x + 2).exGIẢI : 21b) Đạo hàm của hàm số loragit :PHIẾU HỌC TẬP SỐ 4Do đó :a) Aùp dụng tính đạo hàm của hàm số y=f(x)= lnx Cho x > 0 số gia x+ y = f(x + x ) – f(x) = ln(x + x) – lnx22PHIẾU HỌC TẬP SỐ 4Aùp dụng công thức đổi cơ số a về cơ số e . Ta có : b) Chứng minh :23ĐỊNH LÝ 3 :Hàm số y =logax có đạo hàm tại mọi điểm x> 0 và Đặc biệt : ii) Nếu hàm số u(x) nhận giá trị dương và có đạo hàm trên tập J thì hàm số y = logau(x) có đạo hàm trên J và Đặc biệt : 24Ví dụ : Tính đạo hàm các hàm số sau : 1) y = (x2 + 1).lnx2) y = ln(x2 – x + 1)3) y = log2(2 + sinx).253) y = log2(2 + sinx).GIẢIy = (x2 + 1).lnx2) y = ln(x2 – x + 1)26HỆ QUẢ : i) với mọi x  0ii) Nếu hàm số u(x) nhận giá trị khác 0 và có đạo hàm trên tập J thì với mọi x  J . Ta có : Với x 0 . Ta có : Suy ra : với mọi x  0274. Sự biến thiên và đồ thị của hàm số mũ, hàm số logarit : Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số mũ y = ax .+ Tập xác định : + Sự biến thiên Đạo hàm : Nếu a > 1 Nếu 0 1 : Khi 0 y’ >0 x R => Hàm số đồng biến trên R=> y’ Hàm số nghịch biến trên RĐồ thị hàm số có tiệm cận ngang là trục hoànha) Hàm số mũ28Đồ thị :Cho x = 0 ==> y = 1 Cho x = 1 ==> y = a Đồ thị hàm số luôn nằm trên trục hoành PHIẾU HỌC TẬP SỐ 5+ Bảng biến thiên :x- +y’+y +0 x- +y’-y+ 00 129-4-3-2-11234567-2-1123456xy0130+ Tập xác định : + Sự biến thiên Đạo hàm : + Tiệm cận :+ Bảng biến thiên : D= Ry’= 3x.ln3 > 0 với mọi x => đường thẳng y = 0 (trục hoành) là tiệm cận ngangx- +y’+y +0 Ví dụ : Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số : y = 3x .31Đồ thị :Cho x = 0 => y = 1 Cho x = 1 => y = 3 -4-3-2-11234567-2-1123456xyy= 3x32b) Hàm số y = logax .+ Tập xác định : + Sự biến thiên Đạo hàm :Nếu a > 1 Nếu 0 1Khi 0 y’ > 0 => hàm số đồng biến trên (0 ; +)=> y’ hàm số nghịch biến trên (0 ; +)Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là trục tung33+ Bảng biến thiên : PHIẾU HỌC TẬP SỐ 6+Đồ thị :Cho x = 1 ==> y = 0 Cho x = a ==> y = 1 Nhận xét : Đồ thị nằm bên phải trục tung Oy.x0 +y’+y +- a > 1x0 +y’-y+ - 0 10 Đường thẳng x = 0 (trục tung ) là tiệm cận đứng 36+Đồ thị :Cho x = 1 => y = 0. Cho x = 3 => y = 1 x0 +y’+y +- + Bảng biến thiên : 37-11234567-2-1123xyy= log3x38NHẬN XÉT : Đồ thị hàm số mũ y = ax và đồ thị hàm số logarit y=logax đối xứng nhau qua đường phân giác của góc phần tư thứ nhất y = x -4-3-2-112345-2-11234xyy=3xy=log3xy = x39CỦNG CỐ : 1) Nhắc lại các công thức đạo hàm đã học  Hàm số mũHàm số hợp(ex)’ = ex(ax)’ = ax.lna(eu)’ = u’.eu .(au)’ = u’.au.lna Hàm số logaritHàm số hợp402)Bảng tóm tắt các tính chất của hàm số mũ y = axTập xác định RĐạo hàmy’ = axlnaChiều biến thiêna > 1 : Hàm số luôn đồng biến0 1 : Hàm số luôn đồng biến0 Hàm số nghịch biến trên R=> Hàm số nghịch biến (0; +  )=> Hàm số nghịch biến (0; +  )=> Hàm số đồng biến R46HƯỚNG DẪN TỰ HỌC Ở NHÀ :+ Làm bài tập : từ bài 47 đến bài 56 SGK trang 112, 113 .+ Bài tập làm thêm : Bài 2 : Tính đạo hàm các hàm số sau : Bài 3 : Cho hàm số y = esinx . CMR : y’.cosx – y.sinx – y” = 0 .Bài 4 : Cho hàm số y = x[cos(lnx)+ sin(lnx)] với x > 0 . CMR : x2.y” – x.y’ + 2y = 0 .Bài 1 : Tìm tập xác định của hàm số : a) y = ln( - x2 + 5x – 6) 47EM CÓ BIẾT ?John Napier (1550 – 1617)Ôâng đã bỏ ra 20 năm ròng rã mới phát minh được hệ thống logarittme. . . Việc phát minh ra logarithme đã giúp cho Toán học Tính toán tiến một bước dài, nhất là trong các phép tính Thiên văn .48CHÚC CÁC EM HỌC TỐT49