Bài giảng môn Đại số lớp 12 - Bài 4: Tính lồi, lõm và điểm uốn của đồ thị

trường thpt bán công cửa lòNguyễn hồng hảiĐ4. TÍNH LỒI, LếM VÀ ĐIỂM UỐN CỦA ĐỒ THỊĐ4. TÍNH LỒI, LếM VÀ ĐIỂM UỐN CỦA ĐỒ THỊ►Kiểm tra bài cũ.Tìm đạo hàm cấp 2 của các hàm số:Đáp án:Sở giáo dục và đào tạo nghệ anTrường THPT Bán công Cửa Lò2000 Cửa Lò, ngày 22/06/2007 1. Khỏi niệm về tớnh lồi, lừm và điểm uốn.● Hàm số y = f(x).● Khỏi niệm hỡnh học:♦ Tại mọi điểm của cung AC tiếp tuyến luụn ở phớa trờn của cung AC.→ cung AC là một cung lồi.→ (a;c) là một khoảng lồi của đồ thị y = f(x).♦ Tại mọi điểm của cung CB tiếp tuyến luụn ở phớa dưới của cung CB.→ cung CB là một cung lừm.→ (c;b) là một khoảng lừm của đồ thị y = f(x).♦ Điểm phõn cỏch giữa cung lồi và cung lừm được gọi là điểm uốn.→ Điểm C là một điểm uốn.xcabBAMCOyMHỡnh 1.Chỳ ý: Tại điểm uốn C tiếp tuyến phải xuyờn qua đồ thị.1. Khỏi niệm về tớnh lồi, lừm và điểm uốn.● Hỡnh ảnh và ứng dụng của tớnh lồi lừm và điểm uốn:☻Trong tự nhiờn:♦ Cỏc dũng khớ trong khụng khớ chuyển động tạo thành giú. Giú tỏc động lờn cỏt, tạo nờn những đường cong uốn lượn hết sức đẹp mắt. Những hỡnh ảnh này cú thể nhỡn thấy ở trờn cỏc sa mạc. Vớ dụ ở nước ta cú vựng Quảng Bỡnh, Quảng Trị. Thế giới cú sa mạc Sahara ♦ Giú và sự dịch chuyển của cỏc tầng địa chất cũng như cỏc dũng chảy trong lũng biển tao ra năng lượng cho cỏc ngọn súng. Chuyển động của súng cú hỡnh nhấp nhụ, lỳc trồi lờn (lồi), lỳc vừng xuống (lừm).♦ Cỏ heo bơi trong đại dương. Bỏo chạy trong rừng Amazon hay trờn đồng cỏ chõu Phi. Ngựa đua hay là chú săn ..v..v.. Tất cả đều là những động vật cú tốc độ cao phự hợp với cuộc sống của nú. Vỡ thế hỡnh dỏng cơ thể của chỳng đều bộ ở phần đầu, phỡnh to ở phần ngực và nhỏ về phần sau, nhằm đảm bảo cú tốc độ cao nhất.phần đầuphần ngựcphần đuụi♦ Trong tự nhiờn và trong đời sống, ta cũn cú thể nhỡn thấy những hỡnh ảnh uốn lượn, thể hiện tớnh lồi lừm như đồi nỳi, đường sỏ, thạch nhũ trong hang động, cỏc hỡnh ảnh trang trớ nghệ thuật ..v..v. Vậy những ứng dụng của nú trong kỹ thuật thỡ như thế nào?☻Trong kỹ thuật:♦ Những hỡnh ảnh đại diện là mỏy bay nộm bom B2, cầu treo vượt biển ở Mỹ.+ Mỏy bay bay với tốc độ cực cao, nờn đũi hỏi tớnh khớ động học phải cao. Vỡ vậy, hỡnh dỏng ụvan bờn ngoài của thõn mỏy bay đảm bảo giảm tối đa sức cản của khụng khớ cũng như cỏc yờu cầu kỹ thuật khỏc để cú được tốc độ theo ý muốn của người chế tạo ra nú.+ Vào cựng một thời điểm cú hàng ngàn xe ụtụ đi trờn cầu. Với số lượng xe lớn, kộo theo sức nặng mà cầu phải chịu cũng rất lớn. Vỡ thế mà người ta làm thành nhiều nhịp cầu, giữa 2 trụ cầu cú dõy treo vừng xuống. Dõy này được nối vào thành ở mặt cầu bằng cỏc dõy nhỏ hơn. Mục đớch là để truyền sức nặng trờn cầu lờn cỏc trụ cầu.2. Dấu hiệu lồi, lừm và điểm uốn.Dấu hiệu lồi, lừm (thừa nhận khụng chứng minh):♦ Định lý 1: Cho hàm số y=f(x) cú đạo hàm đến cấp hai trờn khoảng (a;b).1). Nếu f”(x)0 với mọi x Є (a;b) thỡ đồ thị của hàm số lừm trờn khoảng đú.Dấu hiệu điểm uốn (cú chứng minh):♦ Định lý 2: Cho hàm số y=f(x) liờn tục trờn một lõn cận nào đú của điểm x0 và cú đạo hàm tới cấp hai trong lõn cận đú (cú thể trừ tại điểm x0). Nếu đạo hàm cấp hai đổi dấu khi x đi qua x0 thỡ điểm M0(x0;f(x0)) là điểm uốn của đồ thị hàm số đó cho.Dấu hiệu điểm uốn (cú chứng minh):♦ Định lý 2: Cho hàm số y=f(x) liờn tục trờn một lõn cận nào đú của điểm x0 và cú đạo hàm tới cấp hai trong lõn cận đú (cú thể trừ tại điểm x0). Nếu đạo hàm cấp hai đổi dấu khi x đi qua x0 thỡ điểm M0 (x0 ;f(x0 )) là điểm uốn của đồ thị hàm số đó cho.2. Dấu hiệu lồi, lừm và điểm uốn.Giả sử f”(x) đổi dấu từ õm sang dương khi x đi qua x0 . Thế thỡ:Chứng minh: + Với xx0 và x đủ gần x0 ta cú f”(x)>0, do đú đồ thị của hàm số đó cho lừi bờn phải điểm M0 (x0 ;f(x0 )).Vậy điểm M0 (x0 ;f(x0 )) là điểm uốn.Chứng minh tương tự cho trường hợp f”(x) đổi dấu từ dương sang õm.2. Dấu hiệu lồi, lừm và điểm uốn.Dấu hiệu điểm uốn (cú chứng minh):♦ Định lý 2: Cho hàm số y=f(x) liờn tục trờn một lõn cận nào đú của điểm x0 và cú đạo hàm tới cấp hai trong lõn cận đú (cú thể trừ tại điểm x0). Nếu đạo hàm cấp hai đổi dấu khi x đi qua x0 thỡ điểm M0(x0;f(x0)) là điểm uốn của đồ thị hàm số đó cho.Nhận xét: Đồ thị (C) của hàm số y=f(x) có điểm uốn M(x0; y0) thì: M  (C) f”(x0) = 0 hoặc f”(x0) không xác định. ►Cỏc bài toỏn minh họa.Vớ dụ 1. Tỡm cỏc khoảng lồi, lừm và điểm uốn của đồ thị hàm sốGiải. Tập xỏc định: R.Bảng xột dấu của y”:Đồ thị của hàm sốxy”-∞+∞10+-lõmlồiĐiểm uốnC(1; 2)Đồ thị của hàm số: Vớ dụ 2. Tỡm cỏc khoảng lồi, lừm và điểm uốn của đồ thị hàm sốGiải. Tập xỏc định: R\{0}xỏc định với mọi x ≠ 0xỏc định với mọi x ≠ 0Bảng xột dấu của y”:-+lồilõmĐồ thị của hàm sốxy”-∞+∞0Đồ thị của hàm số: LõmLồiĐiểm uốn (a;f(a))Đồ thị của hàm sốxy”-∞+∞a+-Đồ thị của hàm sốxy”-∞+∞a-+b00-LồiLõmĐiểm uốn (b;f(b))y = ax3 + bx2 + x + 1 .Thế thì a + b =Ví dụ 2: Biết I(1;-2) là điểm uốn của đồ thị hàm số:-4;-2;0;2;4;Đáp số khácy’= 3ax2+2bx+1y”= 6ax+2b y”(1)=0 6a+2b=0 a=2YCBT    y(1)=-2 a+b+2=-2 b=-6 a+b=-4đáp ánVí dụ 3: Có bao nhiêu giá trị m nguyên để đồ thị hàm số : y=x4-2mx3+6mx2 +(m+1)x-4 không có điểm uốn. 2; 3; 4; 5; Vô số; Đáp số khácĐể đồ thị không có điểm uốn thì y” không đổi dấu trên R  Δ’ = m2-4m ≤ 0  0 ≤ m ≤ 4Vì m nguyên nên m=0; 1; 2; 3; 4đáp ánxin chân thành cảm ơn thầy cô giáo