Bài giảng môn Đại số lớp 12 - Bài 4: Phương trình mũ

Bài 4: PHƯƠNG TRÌNH MŨ ¾¾¾ & ¾¾¾ 1. Cơ sở lý thuyết 1.1/ Phương trình mũ cơ bản Với thì . 1.2/ Phương pháp giải một số phương trình mũ thường gặp ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ & LOGARIT HÓA Đưa về cùng cơ số: Dùng các công thức mũ và lũy thừa đưa về dạng Vớithì . Trường hợp cơ số có chứa ẩn thì: . Logarit hóa: . Thí dụ 1. Giải các phương trình mũ sau (Đưa về cùng cơ số) 1/ 2/ 3/ 4/ 5/ 6/ Bài giải tham khảo 1/ Giải phương trình: 2/ Giải phương trình: 3/ Giải phương trình: 4/ Giải phương trình: 5/ Giải phương trình: 6/ Giải phương trình: Thí dụ 2. Giải các phương trình mũ sau (logarit hóa) 1/ 2/ 3/ 4/ Bài giải tham khảo 1/ Giải phương trình: 2/ Giải phương trình: 3/ Giải phương trình: Lấy logarit cơ số 2 hai vế (hoặc có thể lấy log3 hai vế), ta được: 4/ Giải phương trình: ĐẶT ẨN SỐ PHỤ Dạng 1: Dạng 2: Chia hai vế cho , rồi đặt ẩn phụ (chia cơ số lớn nhất). Dạng 3: với . Đặt . Thí dụ 1. Giải các phương trình mũ sau (đặt ẩn số phụ dạng 1, loại đặt ẩn phụ hoàn toàn) 1/ 2/ 3/ 4/ 5/ 6/ 7/ 8/ 9/ 10/ Bài giải tham khảo 1/ Giải phương trình: Đặt . Khi đó: Với . Với . 2/ Giải phương trình: Đặt . Khi đó: Với 3/ Giải phương trình: Đặt . Khi đó: Với 4/ Giải phương trình: Điều kiện: . Đặt . Khi đó: 5/ Giải phương trình: Đặt . Khi đó: Với 6/ Giải phương trình: . Đặt . Khi đó: Với . Với . 7/ Giải phương trình: Đặt Khi đó: Với Đặt . Khi đó: Với Với 8/ Giải phương trình: Đặt . Khi đó: . Với 9/ Giải phương trình: Cách giải 1: Phương pháp đặt ẩn phụ với 1 ẩn. Đặt . Khi đó: Với Cách giải 2: Phương pháp đặt ẩn phụ với 2 ẩn dẫn đến hệ phương trình. Đặt . Khi đó: Theo định lí Viét, thì chính là nghiệm của phương trình: Cách giải 3: Phương pháp ước lượng 2 vế (dùng bất đẳng thức Cauchy). Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có: Dấu xảy ra khi: 10/ Giải phương trình: Đặt . Khi đó: Với Thí dụ 2. Giải phương trình mũ (đặt ẩn phụ dạng 2: Chia hai vế cho cơ số lớn nhất hoặc nhỏ nhất) 1/ 2/ 3/ 4/ Bài giải tham khảo 1/ Giải phương trình: Đặt: . Khi đó: . Với 2/ Giải phương trình: Đặt: . Khi đó: Với Với 3/ Giải phương trình: Đặt: . Khi đó: Với 4/ Giải phương trình: Điều kiện: Đặt: . Khi đó: Với Thí dụ 3. Giải các phương trình mũ sau (đặt ẩn phụ dạng 3: ) 1/ 2/ 3/ 4/ 5/ 6/ Bài giải tham khảo 1/ Giải phương trình: Nhận xét: Đặt: Với Với 2/ Giải phương trình: Nhận xét: Đặt: Với Với 3/ Giải phương trình: Nhận xét: Đặt: Với Với 4/ Giải phương trình: Nhận xét: Đặt: Với Với 5/ Giải phương trình: . Nhận xét: . Đặt . Lúc đó: . . 6/ Giải phương trình: Nhận xét: . Do đó, ta đặt: Lúc này: . . Thí dụ 4. Giải các phương trình mũ dạng: Đặt . a/ b/ c/ d/ Bài giải tham khảo SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Xét phương trình: Đoán nhận là một nghiệm của phương trình(thông thường là những số lân cận số 0). Dựa vào tính đồng biến và nghịch biến củavàđể kết luận là nghiệm duy nhất: đồng biến vànghịch biến (hoặc đồng biến nhưng nghiêm ngặt). đơn điệu và (hằng số). Nếuđồng biến (hoặc nghịch biến) trênvàthì . @ Lưu ý: Hàm số bậc nhất: Hàm số mũ: * Đồng biến khi: . * Đồng biến khi: . * Nghịch biến khi : . * Nghịch biến khi: . Thí dụ 1. Giải các phương trình mũ sau (sử dụng tính đơn điệu của hàm số) 1/ 2/ 3/ 4/ 5/ 6/ 7/ 8/ Bài giải tham khảo 1/ Giải phương trình: Ta có: là một nghiệm của phương trình Mà đồng biến trên và nghịch biến trên . Phương trình có một nghiệm duy nhất là . 2/ Giải phương trình: Ta có: là một nghiệm của phương trình . Xét hàm số: , nghịch biến trên và . Với : vô nghiệm. Với : vô nghiệm. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là: 3/ Giải phương trình: dạng Xét hàm số: Ta có: đồng biến trên. Phương trìnhcó dạng: 4/ Giải phương trình: dạng Xét hàm số Ta có: đồng biến trên. Phương trình có dạng: . 5/ Giải phương trình: Xét hàm số xác định và liên tục trên. đồng biến trên. Do đó: 6/ Giải phương trình: Điều kiện: Xét hàm số xác định và liên tục trên. đồng biến trên. . 7/ Giải phương trình: . Xét hàm sốliên tục và xác định trên. Ta có: , đồng biến trên đoạn. . 8/ Giải phương trình: Xét hàm số xác định và liên tục trên đoạn. Ta có: luôn đồng biến trên đoạn. . Thí dụ 2. Giải phương trình mũ (đặt ẩn phụ dạng 1, loại không hoàn toàn và kết hợp tính đơn điệu) 1/ 2/ Bài giải tham khảo 1/ Giải phương trình: Đặt: . Khi đó: Với Với Phương trình có một nghiệm là. Xét hàm số: Ta có: đồng biến và là hàm không đổi. là nghiệm duy nhất của phương trình Vậy phương trìnhcó hai nghiệm là 2/ Giải phương trình: Đặt: . Khi đó: Với Với Xét hàm số . Cho Bảng biến thiên: – + 11 11 1 Với : nghịch biến. Nếu vô nghiệm. Nếu vô nghiệm. thì phương trìnhcó nghiệm duy nhất là . Với đồng biến. Nếu vô nghiệm. Nếu vô nghiệm. thì phương trình có nghiệm duy nhất là . Vậy phương trìnhcó 4 nghiệm là: ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH, TỔNG HAI SỐ KHÔNG ÂM VÀ NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2 Phương trình tích: Tổng hai số không âm: Phương pháp đối lập: Xét phương trình: Nếu ta chứng minh được thì Thí dụ 1. Giải phương trình (đưa về phương trình tích số) 1/ 2/ 3/ 4/ Bài giải tham khảo 1/ Giải phương trình: 2/ Giải phương trình: 3/ Giải phương trình: 4/ Giải phương trình: Thí dụ 2. Giải các phương trình mũ sau (đưa về phương trình tích hoặc nghiệm của phương trình bậc 2) 1/ 2/ Bài giải tham khảo 1/ Giải phương trình: Cách 1: Nghiệm của phương trình bậc 2 (theo ) Ta có: là một nghiệm của phương trình là nghiệm duy nhất của phương trình Hàm số đồng biến Hàm số nghịch biến Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm: Cách 2: Đưa về phương trình tích loại phân tích thành nhân tử . Tương tự cách 1. 2/ Giải phương trình: Cách 1: Nghiệm của phương trình bậc 2 (theo ) Phương trình có một nghiệm là là nghiệm duy nhất của phương trình Hàm số nghịch biến Hàm số đồng biến Vậy nghiệm của phương trìnhlà Cách 2: Đưa về phương trình tích loại phân tích thành nhân tử Tương tự như cách 1. Thí dụ 3. Giải phương trình (dùng phương pháp đối lập) 1/ 2/ Bài giải tham khảo 1/ Giải phương trình: Ta có: 2/ Giải phương trình: Xét hàm số: Ta có: Xét hàm số: Đặt Khi đó, được viết lại là . Hay Lúc đó: PHƯƠNG TRÌNH MŨ CHỨA THAM SỐ Dựa vào kiến thức phương trình bậc 2, bậc 3, bậc 4 trùng phương và định lí Viét. Nếu yêu cầu bài toán thuộc loại: tìm tham số m để phương trìnhcó n nghiệm trên khoảnghoặc đoạn. Ta làm theo phương pháp đồ thị hàm số như sau: Biến đổi về phương trình đại số dạng. Tách tham số m ra khỏi biến số và đặt vế còn lại là. Tínhvà lập bảng xét dấu trên . Dựa vào bảng biến thiên, biện luận hay tìm tìm tham số m để phương trình có n nghiệm. Thí dụ 1. Giải và biện luận phương trình: Bài giải tham khảo Nhận xét: . Đặt . . Xét hàm số xác định và liên tục trên. Ta có: . Cho . Bảng biến thiên: Dựa vào bảng biến thiên: Nếu thì phương trình vô nghiệmvô nghiệm. Nếu thì phương trình có đúng một nghiệmcó đúng một nghiệm . Nếu thì phương trình có hai nghiệm phân biệtcó hai nghiệm phân biệt. 2. Bài tập rèn luyện Bài 1. Giải các phương trình mũ sau (đưa về cùng cơ số hoặc logarit hóa) 1/ 2/ 3/ 4/ 5/ 6/ 7/ 8/ 9/ 10/ 11/ 12/ 13/ 14/ 15/ 16/ 17/ 18/ 19/ 20/ 21/ Bài 2. Giải các phương trình mũ sau (đưa về cùng cơ số hoặc logarit hóa) 1/ 2/ 3/ 4/ 5/ 6/ 7/ 8/ 9/ 10/ 11/ 12/ 13/ 14/ 15/ 16/ 17/ 18/ 19/ 20/ 21/ 22/ 23/ 24/ 25/ 26/ 27/ 28/ 29/ 30/ 31/ 32/ 33/ Bài 3. Giải các phương trình mũ sau (đưa về cùng cơ số hoặc logarit hóa). 1/ 2/ 3/ 4/ 5/ 6/ 7/ 8/ 9/ 10/ 11/ 12/ 13/ 14/ 15/ 16/ 17/ 18/ 19/ 20/ 21/ 22/ 23/ 24/ 25/ 26/ Bài 4. Giải các phương trình mũ sau (đặt ẩn phụ dạng 1, loại đặt ẩn phụ hoàn toàn). 1/ 2/ 3/ 4/ 5/ 6/ 7/ 8/ 9/ 10/ 11/ 12/ 13/ 14/ 15/ 16/ Bài 5. Giải các phương trình mũ sau (đặt ẩn phụ dạng 1, loại đặt ẩn phụ hoàn toàn). 1/ 2/ 3/ 4/ 5/ 6/ 7/ 8/ 9/ 10/ 11/ 12/ 13/ 14/ 15/ 16/ 17/ 18/ 19/ 20/ 21/ 22/ 23/ 24/ 25/ 26/ 27/ 28/ 29/ 30/ 31/ 32/ 33/ 34/ 35/ 36/ 37/ 38/ 39/ 40/ 41/ 42/ Bài 6. Giải các phương trình mũ sau (đặt ẩn số dạng 1, loại đặt ẩn phụ không hoàn toàn). 1/ 2/ 3/ 4/ 5/ 6/ 7/ 8/ 9/ 10/ 11/ 12/ 13/ 14/ 15/ 16/ Bài 7. Giải các phương trình mũ sau (đặt ẩn phụ dạng 2: chia hai vế cho cơ số lớn nhất hoặc nhỏ nhất). 1/ 2/ 3/ 4/ 5/ 6/ 7/ 8/ 9/ 10/ 11/ 12/ 13/ 14/ 15/ 16/ 17/ 18/ Bài 8. Giải các phương trình mũ sau (đặt ẩn phụ dạng 3). 1/ 2/ 3/ 4/ 5/ 6/ 7/ 8/ 9/ 10/ 11/ 12/ 13/ 14/ 15/ 16/ 17/ 18/ Bài 9. Giải các phương trình mũ sau (đưa về phương trình tích hoặc phương pháp đánh giá). 1/ 2/ 3/ 4/ 5/ 6/ 7/ 8/ 9/ 10/ 11/ 12/ 15/ 14/ 15/ 16/ 17/ 18/ 19/ 20/ 21/ 22/ 23/ 24/ 25/ 26/ 27/ 28/ Bài 10. Giải các phương trình mũ sau (sử dụng tính đồng biến và nghịch biến) 1/ 2/ 3/ 4/ 5/ 6/ 7/ 8/ 9/ 10/ 11/ 12/ 13/ 14/ 15/ 16/ 17/ 18/ 19/ 20/ 21/ 22/ 23/ 24/ 25/ 26/ 27/ 28/ 29/ 30/ 31/ 32/ Bài 11. Tìm tham số để các phương trình sau có nghiệm: 1/ 2/ 3/ 4/ 5/ 6/ 7/ 8/ 9/ 10/ 11/ 12/ Bài 12. Tìm tham số để các phương trình sau có nghiệm duy nhất. 1/ 2/ 3/ 4/ 5/ 6/ Bài 13. Tìm tham sốđể các phương trình mũ sau có hai nghiệm phân biệt trái dấu. 1/ 2/ 3/ 4/ 5/ 6/ Bài 14. Tìm tham sốđể các phương trình. 1/ có hai nghiệm dương phân biệt. 2/ có ba nghiệm phân biệt. 3/ có ba nghiệm phân biệt. 4/ có ba nghiệm phân biệt. Bài 15. Giải phương trình và tìm tham số. Cho phương trình: Giải phương trình khi . Tìm sao cho phương trình có 2 nghiệm phân biệt. Cho phương trình: Giải phương trình khi . Tìmđể phương trình có nghiệm. Cho phương trình: Giải phương trình khi . Tìmđể phương trình có 2 nghiệm trái dấu. Cho phương trình: Giải phương trình khi Tìmđể phương trình có duy nhất một nghiệm. Cho phương trình: Giải phương trình khi Tìmđể phương trình có 4 nghiệm phân biệt. Cho phương trình: Giải phương trình khi. Giải và biện luận phương trình theo tham số. Cho phương trình: Giải phương trình khi . Biện luận theosố nghiệm của phương trình. Tìm tham sốđể phương trình có 4 nghiệm phân biệt. Cho phương trình: Giải phương trình khi và . Tìm tham sốđể phương trình có nghiệm. Giải và biện luận phương trình đã cho. Cho phương trình: Giải phương trìnhkhi và . Tìm tham sốđể phương trìnhcó nghiệm. Tìm tham sốđể phương trìnhcó nghiệm . Cho phương trình: Giải phương trình khi . Tìm tham sốđể phương trìnhcó hai nghiệm phân biệtvà thỏa mãn.