Bài giảng môn Đại số lớp 12 - Bài 3: Cấp số cộng (Tiếp)

KIỂM TRA BÀI CŨ:Cho dãy số vớiViết 5 số hạng đầu của dãy.GiảiTa có: u1 =2.1 +3 = 5u2 =2.2 +3 = 7u3 =2.3 +3 = 9 u4 = 2.4 + 3 = 11u5 =2.5+3= 13Vậy 5 số hạng đầu của dãy là: 5, 7 , 9, 11, 13Từ đó em hãy chỉ ra một quy luật rồi viết năm số hạng tiếp theo của dãy theo quy luật đó.+ 5 số hạng tiếp theo của dãy: 15, 17 , 19, 21, 23Dãy số như trên gọi là cấp số cộng+ Quy luật đó là mỗi số hạng kể từ số hạng thứ hai trở đi đều bằng số hạng đứng ngay trước nó với 2 đơn vị.Trả lời:§3. CẤP SỐ CỘNGI. Định nghĩaII. Số hạng tổng quátIII. Tính chất các số hạng của CSCIV. Tổng n số hạng đầu của CSC- §oµn kÕt - Ch¨m ngoan - Häc giáiI. ĐỊNH NGHĨA§3. CẤP SỐ CỘNGEm hiểu thế nào là cấp số cộng?Suy nghĩ của em trùng phương án nào sau đây?Phương án 1: Nếu em nghĩ: Cấp số cộng là một dãy số tăng.Phương án 2: Nếu em nghĩ: Cấp số cộng là một dãy số, trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với 4.Phương án 3: Nếu em nghĩ: Cấp số cộng là một dãy số, trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi.Phương án 4: Nếu em có suy nghĩ khác.Phương án 1 Nếu em nghĩ: Cấp số cộng là một dãy số tăng. Thì em đã hiểu sai về cấp số cộng Em hãy xem lại quy luật của dãy số trong ví dụ và chọn phương án khác. Nếu em nghĩ: Cấp số cộng là một dãy số, trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với 4. Thì em đã hiểu sai về cấp số cộng Có lẽ em chưa tổng quát hoá từ ví dụ. Hãy suy nghĩ lại và và chọn phương án khác.Phương án 2Nếu em nghĩ: Cấp số cộng là một dãy số, trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi.Xin chúc mừng em đã hiểu đúng về cấp số cộng và đây chính là khái niệm cấp số cộng.Phương án 3Em hãy xem lại ví dụ và chọn phương án khác, trong ba phương án trên chắc chắn có một phương án đúng.Hãy cho biết em hiểu thế nào là cấp số cộng? Em đã hiểu sai về cấp số cộng.Phương án 4I. ĐỊNH NGHĨACấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d.Số d gọi là công saiKhi d = 0VD : 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5 với u1 = 5 và d = 0Nếu (un) là cấp số cộng với công sai d, ta có công thức truy hồi :§3. CẤP SỐ CỘNGthì cấp số cộng là một dãy số không đổi§3. CẤP SỐ CỘNGVí dụ 1: Chứng minh rằng dãy số hữu hạn sau là cấp số cộng: 13, 10, 7, 4, 1Ta có:u1 =13u2 =10 = 13 +(-3) =u1 +(-3) u3 =7 = 10 +(-3) =u2 +(-3) u4 =4 = 7 +(-3) =u3 +(-3) u5 =1 = 4 +(-3) =u4 +(-3) GiảiVậy dãy số trên là 1 cấp số cộng với công sai d= - 3§3. CẤP SỐ CỘNGVí dụ 2: Cho dãy số (un), với un= 3n – 1.Chứng minh rằng (un) là cấp số cộng.Giải+ Tìm un+1(thay n trong công thức un bởi n + 1) Hướng dẫn: + Chứng minh: un+1 – un = hằng số ( hằng số đó là công sai d)Ta có:un+ 1 = 3(n+1) -1 = 3n+3-1=3n+2Khi đó: un+1- un=3n +2 –(3n – 1)=3n +2 -3n +1= 3 Vậy dãy số (un) là cấp số cộng (đpcm)§3. CẤP SỐ CỘNGDãy số (un), với un= n2 có là cấp số cộng không?Trả lời:Ta xét: un+1- un=(n+1)2 –n2 =n2 +2n +1 – n2 = 2n +1Do đó dãy số trên không phải là cấp số cộng.Để chứng minh một dãy số vô hạn là cấp số cộng ta xét hiệu: H = un+1 – un+ Nếu H là hằng số thì dãy số là cấp số cộng+ Nếu H = f(n) thì dãy số không là cấp số cộng§3. CẤP SỐ CỘNGVí dụ 3: Cho (un )là một CSC có 5 số hạng biết u1=-2 và d = 3. Viết dạng khai triển của CSC trên.Nếu (un ) là CSC có công sai d thì un+1 = un + dGiảiu2 =u1 +d = -2 +3 = 1u3=u2 +d = 1+3 =4u4 =u3+d = 4+3 =7u5 = u4 +d = 7 +3 = 10Ta có:Dạng khai triển của csc trên là: -2; 1; 4; 7; 10= u1 + 1.d = u1 +(2-1)d=u1+d+d= u1+ 2.d= u1 +(3-1)dTổng quát un== u1 + 3.d = u1 +(4-1)d= u1 + 4.d = u1 +(5-1)d?u1 + (n-1).du51=?148§3. CẤP SỐ CỘNGII. SỐ HẠNG TỔNG QUÁTĐỊNH LÍ 1 Nếu cấp số cộng (un) có số hạng đầu u1 và công sai d thì số hạng tổng quát được xác định bởi công thức:un = u1 + (n – 1)d, n  2Ví dụ 4: Cho cấp số cộng (un) biết u1= -5, d = 3.a. Tính u15.b. Số 100 là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số cộng?§3. CẤP SỐ CỘNGGiải: u15 = u1 +(15-1).d= -5 +(15-1).3 a. Ta có: un = u1 +(n-1).d=-5 + 14.3= -5 +42 = 37b. Ta có: un = u1 +(n-1).d100 = u1 +(n-1).dn =35+ 1 = 36Vậy số 100 là số hạng thứ 36 của cấp số cộng§3. CẤP SỐ CỘNG 1. Cho cấp số cộng: 3, 6, x, 12. Khi đó:a. x = 18b. x = 9c. x = 7d. x = 212.Cho (un ) là csc có công sai d, khi đó:a. u15 = u1 + 14db. u15 = u2 + 13dc. u15 = u14 + dd. Cả ba cầu đều đúng