Bài giảng môn Đại số lớp 11 - Tiết 46: Cấp số cộng

1. Định nghĩa cấp số cộng.2. Số hạng tổng quát của một cấp số cộng.3. Tính chất các số hạng của cấp số cộng.4. Tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng.Tiết 46. Cấp số cộng1. Định nghĩaCho u1= -1, u2= 3, u3=7, u4= 11, . . .Hãy viết tiếp các số u5, u6, u7 của dãy?u2 = u1 + 4; u3 = u2 + 4; u4 = u3 + 4; u5 = 15; u6 = 19; u7 = 23. Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tổng của số hạng đứng ngay trước nó và một số không đổi gọi là công sai. (un) là một cấp số cộng với công sai dun+1 = un + d,  n  N*Kí hiệu:  (un) Ví dụ 1: 1, 2, 3, 4, 5, là một cấp số cộng vô hạn công sai 1.Ví dụ 2: -2, 0, 2, 4, 6, 8, 10 là một cấp số cộng hữu hạn công sai 2.Cho cấp số cộng -2, x, 6, y. Chọn kết quả đúng?A x = -6, y = - 2B x = 2, y = 8C x = 1, y = 7D x = 2, y =10 u1, u2, u3, . . ., un, . . .?2. Số hạng tổng quátMai và Hùng chơi trò xếp diêm thành hình tháp trên mặt sân. Cách xếp được thể hiện như hình vẽ.2 tầng 3 tầng 1 tầng Nếu tháp có 100 tầng thì cần bao nhiêu diêm để xếp tầng một của tháp?u1 = 3; u2 = 7; u3 = 11; u100 = ?u3 = u2 + 4 = u1 + 2.4 =11;Ta có u1 = 3;u2 = u1 + 4 = 7; . . .u100 = u1 + 99.4 = 399.2. Số hạng tổng quát Số hạng tổng quát un của một cấp số cộng có số hạng đầu u1 và công sai d được cho bởi công thức. un = u1 + (n-1)d, n ≥ 1Chứng minh: Giả sử (I) đúng với n = k ≥ 1, tức là uk = u1 + (k-1)d.Ta cm (I) cũng đúng với n = k +1. Hay uk+1 = u1 + kd. (I) Ví dụ 1: Cho  (un) với u1 = -5, d =3.a) Tìm u15?b) Số 100 là số hạng thứ bao nhiêu?c) Biểu diễn các số hạng u1, u2, u3, u4, u5 trên trục số bằng các điểm tương ứng. Nhận xét vị trí mỗi điểm so với hai điểm liền kề?Giải:a) Ta có u15= -5 + (15-1).3 = 37b) Giả sử số 100 là un. Ta có un= -5+(n-1)3. Vì un= 100nên -5 + (n-1)3 = 100  n =36. Với n = 1 thì (I) đúng. Thật vậy uk+1= uk+d = u1+(k-1)d+d = u1+ kd. Quy nạp Định lí:-5-21074u4u5u3u2u1c) Ta có u1=-5, u2=-2, u3=1, u4=4, u5=7. u2 là trung điểm của u1, u3, hay u2= (u1+u3) / 2.Biểu diễn trên trụcu3 là trung điểm của u2, u4, hay u3= (u2+u4) / 2.u4 là trung điểm của u3, u5, hay u4= (u3+u5) / 2.Nhận xét:3. Tính chất các số hạng của cấp số cộng Trong một cấp số cộng, mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối ) đều là trung bình cộng của hai số hạng kề với nó. uk-1 + uk+1uk = 2, k ≥ 2uk-1 = uk - duk+1 = uk + d(II)Định lí:Chứng minh:Giả sử (un) là một cấp số cộng với cộng sai d.Ta cóHay uk = (uk-1+ uk+1)/ 2.uk-1 + uk+1 = 2uk4. Tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng Cho cấp số cộng (un) có công sai d. Đặt Sn = u1+ u2 + . . . + un. n(u1+ un ) Sn = 2 Ta có Sn = u1 + u2 + . . . + un Sn = un + un-1 +. . . + u1(III)Chú ý: n [2u1+ (n-1)d]Sn = 2(IV)Định lí:Ta cóChứng minh:Cộng từng vế của 2 đẳng thức trên được: 2Sn= (u1+ un) + (u2+ un-1) + . . . + (un+ u1)Nhận xét: u1+ un = u2 - d + un-1 + d = u2 + un-1 = = un+ u1.Nên 2Sn = n(u1+ un) Vì un= u1+ (n-1)d nên (III) có thể viết là: Tính tổng S = 1 + 2 + 3 + + 100 = ?S = 100(100+1)/2 = 5050Gauss (1777 - 1855)Nhà Toán học người ĐứcNếu tháp có 100 tầng thì cần bao nhiêu que diêm để xếp tháp?u1 = 3; u2 = 7; u3 = 11; u100 = 399. S100 = u1+ u2 + . . . + u100 = 100 (3 +399)/2 = 20100. Ví dụ: Cho dãy (un) với un = 3n-1a) CMR: dãy (un) là cấp số cộng. Tìm u1và d?b) Tính tổng của 50 số hạng đầu tiên?c) Biết Sn = 260. Tìm n?Giải:a) Vì un = 3n – 1 nên u1 = 2. Với n ≥ 1 xét un+1 – un = 3(n+1) – 1 – (3n - 1) = 3. Hay un+1 = un + 3 với  n ≥ 1. Vậy un là 1 cấp số cộng với u1 = 2 và d = 3b) S50 = 50[ 2.2 + (50 - 1)3]/2 = 3775c) Ta có n[2.2 + (n-1)3]/2 = 260 hay 3n2 + n – 520 = 0 Do n  N* nên n = 13. 4. Tổng n số hạng đầu của một cấp số cộngBài tập1) Bài tập sách giáo khoa.2) Điền vào ô trống trong bảng các giá trị thích hợp u1 d un n Sn -2 55 20 -4 15 120 3 4/27 7 17 12 72 2 -5 -2053 53036 -2028140 -5 2 -4310