Bài giảng môn Đại số lớp 11 - Tiết 37 - Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học (Tiếp)

Lớp 11A4Chào mừng quý thầy, cô giáo đến dự giờ thăm lớp TRƯỜNG THPT HỒNG ĐỨCGv: NGUYỄN THANH SƠN Dãy sốCấp số cộng Cấp số nhân§2.§3.§4. CHƯƠNG III Dãy số - Cấp số cộng - Cấp số nhân §1. Phương pháp quy nạp Toán học Chương III§1. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌCTiết 37 CÁI RIÊNG CỤ THỂ CÁI CHUNG TỔNG QUÁTPHÉP QUY NẠPPHÉP SUY DIỄNPHƯƠNG PHÁP SUY LUẬNPHÉP SUY DIỄNPHÉP QUY NẠP“Quy nạp và suy diễn gắn chặt với nhau như phân tích và tổng hợp”PHÉP QUY NẠP LÀ GÌ ?Hãy cùng tìm hiểu về phương pháp quy nạp Toán học Có hai cách suy luận:“Suy diễn” và “Quy Nạp”Mối quan hệ giữa hai cách suy luận đó như thế nào ?Ph. Ăng-ghen (1820-1895) Hoạt động 1: Với n = 1,2,3,4,5 thì P(n), Q(n) đúng hay sai ? b) nN* thì P(n) , Q (n) đúng hay sai ?P(n): “ >3n +1 ” và Q(n): “  n ” với nN* Xét hai mệnh đề chứa biến: ? ?Nhóm 1: Nhóm 2: P(n) : “ 3n > 3n+1 ”Q(n) : “ 2n > n ” Xét 2 mệnh đề chứa biến P(n) : “ 3n > 3n+1 ” và Q(n) : “ 2n > n ” a. Với n = 1, 2, 3, 4, 5 thì P(n), Q(n) đúng hay sai?b. Với mọi nN* thì P(n), Q(n) đúng hay sai?Trả lời:P(n) : “ 3n > 3n+1 ” Q(n): “ 2n > n ” n?3n+112345n?n12345b. Với mọi nN* P(n) sai; Q(n) chưa thể khẳng định chắc chắn là đúng hay sai. vì ta không thể kiểm tra hết với mọi nN* 39278124347101316281632543214ĐĐĐĐĐĐĐĐĐSVới n =1;2;3;4;5P(n) SaiVới n =1;2;3;4;5Q(n) ĐúngNhận xét: Muốn chứng tỏ một mệnh đề là SAI, ta chỉ cần chỉ ra một trường hợp sai là đủ Muốn chứng tỏ một mệnh đề là ĐÚNG, ta phải chứng minh nó đúng với mọi trường hợp Với nN* thì việc làm phép thử với một số giá trị của n ( cho dù làm được với một số lượng lớn) cũng không thể coi đó là chứng minh. Do đó, Phương pháp quy nạp toán học là phương pháp hữu hiệu để giải các bài toán dạng này§1. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC Bước 1:Bước 2:Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n = 1. Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kỳ n = k  1 (gọi là giả thiết quy nạp). I. Phương pháp quy nạp Toán học:Chứng minh mệnh đề cũng đúng với n = k + 1.Bước3 :Chứng minh rằng với nN* thì: 1 + 3 + 5 + . . . + (2n – 1) = n2Giải: 1) Khi n = 1: VT = 1, VP = 12 = 1. 2) Đặt VT = Sn. Sk = 1 + 3 + 5 + . . . + (2k –1) = k2 3) Ta cần chứng minh (1)cũng đúng với n = k+1: Ví dụ 1:II. Ví dụ áp dụng :Sk+1=1 + 3 + 5 + + (2k – 1) + [2(k + 1) – 1]Thật vậy: Sk+1= Sk+ [2(k + 1) – 1] Vậy: (1) đúng với mọi nN*.(1 )Vậy (1) đúng. Giả sử (1) đúng với n = k  1 ta có:(gt quy nạp)= (k +1)2= k2 + 2k + 1 = ( k + 1)21 1 + 3 =1 + 3 + 5 =1 + 3 + 5 + 7 =1 + 3 + 5 + 7 + 9 =14= 229 = 3216= 4225 = 52 = 12+ 3+ 5+ 7+ 9n+...+(2n – 1)= n22.21.13.34.45.5.nMệnh đề đúng với mọi số tự nhiên nN*Minh họa mệnh đề : 1 + 3 + 5 + 7+ + (2n – 1) = n2Chứng minh rằng với nN* thì n3 – n chia hết cho 3. (1)Giải :Đặt An = n3 – n1) Với n = 1, ta có : A1= 03 2) Giả sử với(1) đúng với n = k  1, ta có:Ak = (k3 – k)3 (giả thiết quy nạp)3) Ta chứng minh Ak+1...3Thật vậy: Ak+1 = (k+1)3- (k+1)= (k3- k) +3(k2+k)= Ak+ 3(k2+k)(Vì: Ak3 và 3(k2+k) 3 ...nên Ak+13 )Vậy: An = n3 – n chia hết cho 3 với mọi nN*. Ví dụ 2 = k3 +3k2 +3k +1- k -1Nhóm 2: I. Phương pháp quy nạp toán họcĐể chứng minh mệnh đề đúng với mọi nN* ta thực hiện theo các bước sau:B1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n=1B2: Giả sử mệnh đề đúng với n = k  1 (Giả thiết qui nạp-GTQN)B3: Ta c/minh mệnh đề cũng đúng với n=k+1II. Ví dụ áp dụng:HOẠT ĐỘNG NHÓMa. CMR : Với mọi nN* có un = (13n –1) 6Nhóm 1: b. CMR : Với mọi nN* có un = (10n – 4) 3Hoạt động 2: HOẠT ĐỘNG NHÓM Thật vậy:a. CMR : Với mọi nN* có un = (13n – 1) 6 (2)uk+1 = 13k+1 – 1 = 13k .13 –1= 13k.(12+1) – 1-Với n = 1 ta có: u1 = 131 –1 =12 6uk = (13k – 1) 6 uk+1= (13k+1 – 1) 6 = 12.13k +13k – 1Vậy với mọi nN*, ta có un = (13n – 1) 6 (2)= (12.13k + uk) 6 Nhóm 1: (Vì : 12.13k 6 và uk 6)(M.đề (2) đúng)- Giả sử mệnh đề (2) đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là: -Ta phải chứng minh (2) đúng với n = k + 1, tức là : Thật vậy:b. CMR : Với mọi nN* có un = (10n – 4) 3 (3)uk+1 = 10k+1– 4= 10k(1+9) – 4Với n = 1 ta có: u1 = 101 –4 = 6 3(MĐ (3) đúng) uk = (10k – 4) 3 uk+1= (10k+1 – 4) 3 = 10k – 4 + 9.10kVậy với mọi nN*, ta có un = (10n – 4) 3 (3)= (uk+ 9.10k ) 3 Nhóm 2: (Vì: 9.10k 3 và uk 3)Giả sử mệnh đề (3) đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là: Ta phải chứng minh (3) đúng với n = k + 1, tức là : = 10k .10 – 4 Nếu phải chứng minh mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên n  p ( p là một số tự nhiên ) thì :Ở bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n = p .Ở bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên bất kỳ n = k  p (giả thiết quy nạp)Ở bước 3: Chứng minh mệnh đề cũng đúng với n = k+1 .CHÚ Ý:Nắm vững các bước thực hiện một bài toán chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học.Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n =1 (hoặc n = p ).Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với n = k  1 (hoặc với số tự nhiên bất kỳ n = k  p) (giả thiết quy nạp)Bước 3: Chứng minh mệnh đề cũng đúng với n = k+1 .Cần chú ý vào giả thiết quy nạp và dựa vào yêu cầu của bài toán để kết luận.CỦNG CỐ:1/ Làm lại các bài tập vừa tiếp thu tại lớp2/ Làm các bài tập 1, 2 &3 trang 82-83 SGK.3/ Xem bài : “ BẠN CÓ BIẾT ? ”trang 83 SGKNHẬN XÉT- DẶN DÒ: Bài tập số 3 (trang 82 – sgk Đại số & Giải tích 11)Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n  2, ta có các bất đẳng thức : a) 3n > 3n + 1 b) 2n+1 > 2n + 3Ở bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n = 2Ở bước 2: giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên bất kỳ n = k  2 (giả thiết quy nạp)Ở bước 3: Chứng minh mệnh đề cũng đúng với n = k+1 .Bài tập này các em sẽ được hướng dẫn trong tiết luyện tập.HƯỚNG DẪN BTVN :Cảm ơn quý thầy, cô giáo đã về dự giờ thăm lớp