Bài giảng môn Đại số lớp 11 - Tiết 21: Hệ thức lượng trong tam giác

Chương II: Tích vô hướng của hai véc tơ và ứng dụng Tiết 21: Hệ thức lượng trong tam giác A. Hệ thức lượng trong tam giác vuông: I. Các định lý: II. Các hệ quả:ABCHac’b’bcB. Hệ thức lượng trong tam giác thườngI - Định lí côsin trong tam giácCho ABC vuông tại A.ABCTheo định lí Pitago, ta có:Thật vậy: do Định lí Côsin:Trong ABC, với BC = a, CA = b, AB = c, ta có: b2 = a2 + c2 – 2ac.cosB c2 = a2 + b2 – 2ab.cosCa2 = b2 + c2 - 2bc.cosACâu hỏi trắc nghiệm khách quanHãy điền dấu “>”, “=Hệ quảVD1: 600CBA4030Giải:Sau 2 giờ tàu B đi được 40 hải lí, tàu C đi được 30 hải lí. Vậy ABC có AB = 40, góc A = 600, AC = 30áp dụng định lý cosin : a2 = b2 + c2 - 2bc.cosA = 302 + 402 – 2.30.40.cos600 = 1300  BC  36 hải lí VD2 : Cho các cạnh của ABC, a=4, b=5, c=7. Tính các góc A, B của tam giác.Đáp án: A = 3403', B = 57036' , C = 88021' VD3: Chứng minh trong hình bình hành tổng bình phương hai đường chéo bằng tổng bình phương bốn cạnh. * * * Giả sử có hình bình hành ABCD như hình vẽ Theo định lý h/s Côsin ta có: mà: (đfcm) ABCDII. Định lí sin trong tam giácCho ABC như hình vẽNếu góc A vuông thì : a=2R.sinA, b=2R.sinB, c=2R.sinC. (1)ABCObc* Trường hợp A không vuôngaRADCOBaBDCAOaADCOBaADCOBaBDCAOaBDCAOBDCAOaĐịnh lí: Với mọi ABC ta có :Trong đó: R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABCVD4: Tam giác ABC có .Tính hai cạnh a; c. * * * Theo định lý hàm số Sin: và Câu hỏi trắc nghiệm khách quan Để đo khoảng cách từ điểm A trên bờ sông đến gốc cây C trên cù lao giữa sông, người ta chọn điểm B cùng ở trên bờ với A sao cho: AB = 40m, CAB = 450, CBA = 700. Khoảng cách từ A đến C gần bằng: A) 31.47 (m) 41,47 (m) C) 51,47 (m) D) 61,47 (m)ABC40450700B) VD5: Cho tam giác ABC có Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đó. * * * Theo định lý hàm số Sin ta có: Câu hỏi trắc nghiệm khách quan : Nếu đều ABC có cạnh bằng a thì bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác đó là:VD6: Chứng minh rằng trong tam giác ABC tacó:Giải: Ta có:Tương tự: ;Suy ra (đfcm)III. Công thức tính độ dài đường trung tuyến:Bài toán 1: Cho 3 điểm A,B,C trong đó BC=a. Gọi M là trung điểm của BC, biết AM=m. Hãy tính theo a và m Giải: Nếu m = a/2 thì ta có: Trường hợp m bất kỳ ta có: Vậy BCAMmCông thức đường trung tuyến: Cho tam giác ABC. Gọi là độ dài các đường trung tuyến ứng với các cạnh BC=a; CA=b; AB=c. Ta có: Câu hỏi trắc nghệm khách quan: Độ dài đường trung tuyến ứng với cạnh c của tam giác ABC bằng bao nhiêu:VD6: Cho tam giác ABC có độ dài 3 cạnh lần lượt là: 3; 4; 5. Xác định độ dài 3 đường trung tuyến của tam giác đó.Giải: Giả sử tam giác ABC có a=4; b=3; c=5 áp dụng công thức đường trung tuyến ta có: Tương tự ta có:CBA435VD7: Cho ABC có BC=12; CA=13; trung tuyến AM=8. Tính góc BGiải:Ta có: ABCM13812 VD8: Tam giác ABC có . CMR: 2cotA= cotB + cotC Giải: Từ (3) và (4) suy ra đfcm(1)(2)(2)(1)(3)(4) VD9: Cho 2 điểm phân biệt P; Q. Tìm tập hợp các điểm M sao cho trong đó k là số cho trước.Giải:Ta có:Vậy:+) Nếu thì tập hợp các điểm M là rỗng +) Nếu thì M N +) Nếu thì tập hợp các điểm M là đường tròn đường kính NMPQaNMPQaNMPQaTổng kếtQua nội dung đã học các em cần: Nắm được định lí Côsin và định lí SinBước đầu vận dụng định lí Côsin, định lí Sin trong tính toánBiết cách suy ra hệ quả từ định lí CôsinVận dụng được kiến thức về Vectơ khi học bàiBước đầu biết được toán học có ứng dụng trong thực tiễnBài tập về nhà : 15 – 22 SGK