Bài giảng môn Đại số lớp 11 - Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sinx và cosx

1/ ĐỊNH NGHĨA : Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sinx và cosx là phương trình có dạng a sin2x + b sinx cosx + c cos2x = d Trong đó x là ẩn số , a,b,c,d là các hệ số Ví dụ : a/ sin2x – 3sinx cosx + 2cos2x = 0 b/ 3cos2x + sinx cosx + 2sin2x = 2PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC HAIĐỐI VỚI SINX VÀ COSX Thế nào là phương trình đẳng cấp bậc 2 đối với sinx và cosx ? 2/ CÁCH GIẢI 1: Trường hợp 1 : a = d Phương trình có dạng : a sin2x + b sinx cosx + c cos2x = a (1)(1)a sin2x + b sinx cosx + c cos2x = a sin2x + a cos2x  b sinx cosx + (c - a) cos2x = 0  cosx [ bsinx + (c – a)cosx ] = 0  cosx = 0 v b sinx + ( c – a ) cosx = 0 Đây là 2 phương trình cơ bản đã biết cách giải Ví dụ :Giải phương trình : 3 sin2x + 5 cos2x = sin2x + 3Giải Ta có :(1) 3 sin2x + 5 cos2x = 2 sinxcosx + 3sin2x + 3cos 2x  2 cos2x – 2sinx cosx = 0  2 cosx ( cosx – sinx ) = 0  cosx = 0 v cosx – sinx = 0  cosx = 0 v tanx = 1  x = /2 + k v x = /4 + k : Trường hợp 2 : a ≠ d phương trình là : a sin2x + b sinx cosx + c cos2x = d (2) (2)  a sin2x + b sinx cosx + c cos2x = d sin2x + d cos2x  ( a – d )sin2x + b sinx cosx + ( c – d )cos2x = 0 Dễ thấy cosx = 0 không là nghiệm phương trình, chia 2 vế cho cosx ta được : ( a – d )tan2x + b tanx + c – d = 0 Đây là phương trình bậc 2 theo tanx ta đã biết giải Ví dụ : Giải phương trình : 6sin2x – 3sinx cosx + cos2x = 2 (2) (2) 6sin2x – 3 sinx cosx + cos2x = 2sin2x + 2cos2x  4sin2x – 3 sinx cosx – cos2x = 0 Dễ thấy cosx = 0 không là nghiệm phương trình . Chia 2 vế cho cosx ta được : 4 tan2x – 3 tanx – 1 = 0  tanx = 1 v tanx = - 1/4  x = π/4 + kπ v x = α + kπ ( tanα = - 1/4 ) GiảiPHƯƠNG TRÌNH: a sin2x + b sinxcosx + c cos2x = d (1) CÁCH GIẢI 2 : (1) a( 1 – cos2x )/2 + bsin2x/2 + c( 1 – cos2x )/2 = d bsin2x + ( c – a )cos2x = d – a – c Đây là phương trình bậc 1 của sinx và cosx ta đã biết giải Có cách nào khác để giải không ?