Bài giảng môn Đại số lớp 11 - Hàm số liên tục (Tiết 7)

Liên tụcKhông liên tụchàm số liên tụcTiết 58hàm số liên tụcHĐ1: Cho 2 hàm số: f(x)=x2 ; g(x)=nếu xnếu -1<x<1nếu xa)Tính f(1), g(1),h(1) và so sánh với (nếu có)b)Nhận xét gì về đồ thị mỗi hàm số tại x=11;1;=1;: không tồn tại;Giải:2Vậy: = f(1);: không tồn tại;a)f(1)=g(1)=h(1)=12;1 * Đồ thị hàm số y=f(x) là một đường liền nét. * Đồ thị hàm số y= g(x) bị đứt quãng tại điểm có hoành độ x=1. * Đồ thị hàm số y= h(x) bị đứt quãng tại điểm có hoành độ x=1. hàm số liên tục= f(1);: không tồn tại;1 -11O2xyy=g(x)b) Nhận xét đồ thị:oyx2y=h(x)11 101xy=f(x)yI. Hàm số liên tục tại một điểm.K Định nghĩa 1: Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng K và x0Hàm số y=f(x) được gọi là liên tục tại x0 nếu Hàm số y=f(x) không liên tục tại x0 được gọi là gián đoạn tại điểm đó.Để kiểm tra hàm số y=f(x) có liên tục tại x0 không?+ + + x0TXĐhàm số liên tụcI. Hàm số liên tục tại một điểm.Hàm số y=f(x) liên tục tại x0 nếu: + + + x0TXĐI. Hàm số liên tục tại một điểm.Ví dụ 1: Xét tính liên tục của hàm sốtại x0=3Giải:Hàm số y=f(x) có tập xác định:x0 = 3 TXĐCó =3Vậy hàm số liên tục tại x0 = 3.hàm số liên tụcI. Hàm số liên tục tại một điểm.Hàm số y=f(x) liên tục tại x0 nếu: + + + x0TXĐR\ f(3)=3hàm số liên tụcI. Hàm số liên tục tại một điểm.Hàm số y=f(x) liên tục tại x0 nếu: + + + x0TXĐVí dụ 2: Cho hàm số:nếu x<1nếu Xét tính liên tục của hàm số tại x0=1Giải:TXĐ:x0=1TXĐ.Có f(1)=-33-3không tồn tạiVậy hàm số gián đoạn tại x0=1RVí dụ 3: Cho hàm số f(x)=x2 – 2x CMR: hàm số liên tục với x0 (0;3)CM:Suy ra hàm số xác định : ta có:Vậy hàm số liên tục với hàm số liên tụcI. Hàm số liên tục tại một điểm.Hàm số y=f(x) liên tục tại x0 nếu: + + + x0TXĐTXĐ:RII. Hàm số liên tục trên một khoảng.II. Hàm số liên tục trên một khoảng.Định nghĩa 2:Hàm số y=f(x) được gọi là liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó.Hàm số y=f(x) được gọi là liên tục trên đoạn [a;b] nếu nó liên tục trên (a;b) vàhàm số liên tụcI. Hàm số liên tục tại một điểm.Hàm số y=f(x) liên tục tại x0 nếu: + + + x0TXĐII. Hàm số liên tục trên một khoảng.Giải:TXĐ:Với ta có= f(x0)Suy ra f(x) liên tục trênLại có:= 0 = f(3)Vậy f(x) liên tục trênhàm số liên tụcI. Hàm số liên tục tại một điểm.Hàm số y=f(x) liên tục tại x0 nếu: + + + x0TXĐ[3;yOYxĐồ thị là một đường liền nột trờn khoảng liờn tục đồ thị là mụt đường liền nột trờn khoảng liờn tucđồ thi là đường liền nột trờn khoảng liờn tụcđồ thị là đường liền nột trờn RKết luận:đồ thị hàm số liờn tục trờn một khoảng là đường liền nột trờn khoảng đúOabOyxOxabLieõn tuùc treõn (a;b)Khoõng lieõn tuùc treõn (a;b)Nhận xét từ đồ thị:II. Hàm số liên tục trên một khoảng.II. Hàm số liên tục trên một khoảng.hàm số liên tụcI. Hàm số liên tục tại một điểm.Hàm số y=f(x) liên tục tại x0 nếu: + + + x0TXĐII. Hàm số liên tục trên một khoảng.hàm số liên tụcI. Hàm số liên tục tại một điểm.Hàm số y=f(x) liên tục tại x0 nếu: + + x0TXĐhàm số liên tụciii. Một số định lí cơ bản.III. Một số định lí cơ bản.x0yy=sinxTXĐ:R0yxy=cosxTXĐ:RQuan sát và đưa ra nhận xét về mối liên hệ giữa TXĐ của các hàm số vớicác khoảng hàm số liên tục ?0yxTXĐ:xTXĐ:Ry0hàm số liên tụciii. Một số định lí cơ bản.III. Một số định lí cơ bản.Định lí 1:Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực R.Hàm số phân thức hữu tỉ( thương của 2 đa thức) và các hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng.Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực R.Hàm số phân thức hữu tỉ (thương của 2 đa thức) và các hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng.Định lí 2:Giả sử y=f(x) và y=g(x) liên tục tại điểm x0. Khi đó:Các hàm số y=f(x)+g(x), y= f(x)-g(x) và y=f(x).g(x) liên tục tại x0.Hàm số f(x)/g(x) liên tục tại x0 nếu g(x0)0Định lí 1:Định lí 2:Giả sử y=f(x) và y=g(x) liên tục tại điểm x0. Khi đó:Các hàm số y=f(x)+g(x), y= f(x)-g(x) và y=f(x).g(x) liên tục tại x0.Hàm số f(x)/g(x) liên tục tại x0 nếu g(x0)hàm số liên tụciii. Một số định lí cơ bản.III. Một số định lí cơ bản.Ví dụ 5: Cho hàm sốnếu xnếu x=1Xét tính liên tục của hàm số trên tập xác định của nó.Giải:TXĐ:-Nếu xthì Đây là hàm phân thức hữu tỉ có tập xác định là:nên nó liên tục trên-Nếu x=1,có:h(1)==2VìHàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực R.Hàm số phân thức hữu tỉ( thương của 2 đa thức) và các hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng.Định lí 1:Định lí 2:Giả sử y=f(x) và y=g(x) liên tục tại điểm x0. Khi đó:Các hàm số y=f(x)+g(x), y= f(x)-g(x) và y=f(x).g(x) liên tục tại x0.Hàm số f(x)/g(x) liên tục tại x0 nếu g(x0)nên hàm số không liên tục tại x=1R5hàm số liên tụciii. Một số định lí cơ bản.III. Một số định lí cơ bản.Ví dụ 5: Cho hàm sốnếu xnếu x=1Xét tính liên tục của hàm số trên tập xác định của nó.Giải:TXĐ:-Nếu xthì Đây là hàm phân thức hữu tỉ có tập xác định là:nên nó liên tục trên-Nếu x=1,có:h(1)==2VìHàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực R.Hàm số phân thức hữu tỉ( thương của 2 đa thức) và các hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng.Định lí 1:Định lí 2:Giả sử y=f(x) và y=g(x) liên tục tại điểm x0. Khi đó:Các hàm số y=f(x)+g(x), y= f(x)-g(x) và y=f(x).g(x) liên tục tại x0.Hàm số f(x)/g(x) liên tục tại x0 nếu g(x0)nên hàm số không liên tục tại x=1R5hàm số liên tụciii. Một số định lí cơ bản.III. Một số định lí cơ bản.Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực R.Hàm số phân thức hữu tỉ( thương của 2 đa thức) và các hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng.Định lí 1:Định lí 2:Giả sử y=f(x) và y=g(x) liên tục tại điểm x0. Khi đó:Các hàm số y=f(x)+g(x), y= f(x)-g(x) và y=f(x).g(x) liên tục tại x0.Hàm số f(x)/g(x) liên tục tại x0 nếu g(x0)HĐ2: Trong ví dụ 4 cần thay số 5 bằng số nào thì hàm số h(x) mới liên tục trên R?nếu xnếu x=1Trả lời:Thay số 5 bằng số 2 thì hàm số liên tục trên R.hàm số liên tụciii. Một số định lí cơ bản.HĐ3: Cho hàm số y=f(x) liên tục trên [a;b] với f(a),f(b) trái dấu nhau. Hỏi đồ thị hàm số có cắt trục hoành tại điểm thuộc khoảng (a;b) không? Hưng trả lời: “ Đồ thị hàm số y=f(x) phải cắt trục Ox tại một điểm duy nhất nằm trong (a;b)”.Tuấn cho rằng: “ Đồ thị hàm số y=f(x) có thể không cắt trục hoành trong khoảng (a;b), chẳng hạn như đường parabol ở hình vẽ”.Câu trả lời của bạn nào đúng? vì sao? 0yxf(b)f(a)aby2=xabf(a)xf(b)y0y=x3-4xLan khẳng định: “Đồ thị hàm số y=f(x) phải cắt trục Ox ít nhất tại một điểm nằm trong (a;b)”.hàm số liên tụciii. Một số định lí cơ bản.III. Một số định lí cơ bản.Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực R.Hàm số phân thức hữu tỉ( thương của 2 đa thức) và các hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng.Định lí 1:Định lí 2: Giả sử y=f(x) và y=g(x) liên tục tại điểm x0. Khi đó:Các hàm số y=f(x)+g(x), y= f(x)-g(x) và y=f(x).g(x) liên tục tại x0.Hàm số f(x)/g(x) liên tục tại x0 nếu g(x0)Định lí 3:Nếu hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a). f(b)<0, thì tồn tại ít nhất một điểm c (a;b) sao cho f(c)=0. Nếu hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a). f(b)<0, thì tồn tại ít nhất một điểm c (a;b) sao cho f(c)=0.Định lí 3abf(b)f(a)0yxiii. Một số định lí cơ bản.hàm số liên tụciii. Một số định lí cơ bản.III. Một số định lí cơ bản.Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực R.Hàm số phân thức hữu tỉ( thương của 2 đa thức) và các hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng.Định lí 1:Định lí 2: Giả sử y=f(x) và y=g(x) liên tục tại điểm x0. Khi đó:Các hàm số y=f(x)+g(x), y= f(x)-g(x) và y=f(x).g(x) liên tục tại x0.Hàm số f(x)/g(x) liên tục tại x0 nếu g(x0) Nếu hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a). f(b)<0, thì tồn tại ít nhất một điểm c (a;b) sao cho f(c)=0.Định lí 3Định lí 3 thường được áp dụng để chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình trên một khoảng. Có thể phát biểu định lí 3 dưới một dạng khác như sau: Nếu hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a). f(b)<0, thì phương trình f(x)=0 có ít nhất một nghiệm nằm trong khoảng (a;b). hàm số liên tụcIII. Một số định lí cơ bản.Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực R.Hàm số phân thức hữu tỉ( thương của 2 đa thức) và các hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng.Định lí 1:Định lí 2: Giả sử y=f(x) và y=g(x) liên tục tại điểm x0. Khi đó:Các hàm số y=f(x)+g(x), y= f(x)-g(x) và y=f(x).g(x) liên tục tại x0.Hàm số f(x)/g(x) liên tục tại x0 nếu g(x0) Nếu hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a). f(b)<0, thì tồn tại ít nhất một điểm c (a;b) sao cho f(c)=0.Định lí 3iii. Một số định lí cơ bản.Ví dụ 6: Chứng minh rằng phương trình:x3+2x-5=0 có ít nhất một nghiệm. Giải:Xét hàm số f(x)= x3+2x-5 Có f(-1)=-8, f(2)=7.Do đó: f(-1). f(2)<0Hàm số y=f(x) liên tục trên:Suy ra pt: f(x)=0 có ít nhất một nghiệm thuộc (-1;2).R.Chú ý: f(0)=-5; f(3)=28; f(0). f(3)<0 nên pt có ít nhất 1 nghiệm thuộc (0;3). hàm số liên tụcIII. Một số định lí cơ bản.Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực R.Hàm số phân thức hữu tỉ( thương của 2 đa thức) và các hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng.Định lí 1:Định lí 2: Giả sử y=f(x) và y=g(x) liên tục tại điểm x0. Khi đó:Các hàm số y=f(x)+g(x), y= f(x)-g(x) và y=f(x).g(x) liên tục tại x0.Hàm số f(x)/g(x) liên tục tại x0 nếu g(x0) Nếu hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a). f(b)<0, thì tồn tại ít nhất một điểm c (a;b) sao cho f(c)=0.Định lí 3Ví dụ 7: Chứng minh rằng phương trình:-2x3+6x+1=0 có ít nhất hai nghiệm. iii. Một số định lí cơ bản.Giải:Xét hàm số: f(x)=2x3-6x+1Có f(-1)=-3, f(0)=1, f(2)=-3f(-1). f(0)<0; f(0). f(2)<0Hàm số liên tục trên RSuy ra pt: f(x)=0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc (-1;0), ít nhất 1 nghiệm thuộc (0;2). Vậy pt có ít nhất 2 nghiệm.hàm số liên tụcIII. Một số định lí cơ bản.Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực R.Hàm số phân thức hữu tỉ( thương của 2 đa thức) và các hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng.Định lí 1:Định lí 2: Giả sử y=f(x) và y=g(x) liên tục tại điểm x0. Khi đó:Các hàm số y=f(x)+g(x), y= f(x)-g(x) và y=f(x).g(x) liên tục tại x0.Hàm số f(x)/g(x) liên tục tại x0 nếu g(x0)Định lí 3 Nếu hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a). f(b)<0, thì tồn tại ít nhất một điểm c (a;b) sao cho f(c)=0.