Bài giảng môn Đại số lớp 11 - Dạng 11: Nhị thức Newton và khai triển đa thức

Dạng 11Nhị thức Newton và khai triển đa thứcNội dungDạng 11. Nhị thức Newton và khai triển đa thức Dạng 11A. Tính hệ số của đa thức Dạng 11B. Tìm hệ số lớn nhất của đa thức Dạng 11C. Chứng minh hệ thức tổ hợp Dạng 11ATính hệ số của đa thứcBài tập mẫuTính số hạng không chứa x, khi khai triển biết rằng n thoả mãn GiảiÁp dụng công thức , ta có Ta được giả thiết tương đương với Bài tập mẫu (tt)Số hạng không chứa x tương ứng với Số hạng phải tìm là Lưu ý: Tính hệ số của số hạng x ( là một số hữu tỉ cho trước) trong khai triển nhị thức Newton của ,ta làm như sau:Viết số hạng chứa x tương ứng với g(k) =  ; giải phương trình ta tìm được k. Nếu k  N, k  n , hệ số phải tìm là ak; nếu k  N hoặc k > n, thì trong khai triển không có số hạng chứa x, hệ số phải tìm bằng 0. Bài tập tương tựKhi khai triển nhị thức Newton của , hãy tính hệ số của số hạng chứa x10, biết rằng n là số tự nhiên thoả mãn phần tử GiảiHệ thứcPhương trình trên có nghiệm n = -10 (loại), n = 15 (nhận).Với n = 15, có Số hạng chứa x10, tương ứng với Ta được hệ số phải tìm là Đs: -6435. Dạng 11BTìm hệ số lớn nhất của đa thứcBài tập mẫuHãy tìm hệ số có giá trị lớn nhất của đa thức.Giải Do đó BĐT an -1  an đúng với n  {1; 2; 3; 4} và dấu đẳng thức không xảy ra. Ta được a0 a5 > > a13 Lưu ý: Để tìm hệ số có giá trị lớn nhất khi khai triển (ax + b)m thành đa một thức, ta làm như sau: Tính hệ số của số hạng tổng quát; giải BPT an-1  an với ẩn số n; hệ số lớn nhất phải tìm tương ứng với số tự nhiên n lớn nhất thoả mãn BPT trên. Bài tập tương tựHãy tìm hệ số có giá trị lớn nhất của đa thức.Giải Xét BPT (với ẩn số n): Do đó BĐT an-1  an đúng với n  {1; 2; 3;; 10} và dấu đẳng thức không xảy ra. Ta được a0 a11 > a15. Dạng 11CChứng minh hệ thức tổ hợpBài tập mẫuChứng minh rằngGiảiDễ thấy hệ số của xn trong VT là: hệ số của xn trong VP = (x + 1)2n là Lưu ý Xét đẳng thức (x + 1)n(1 + x)m = (x + 1)n+m . Sử dụng nhị thức Newton để viết cả hai vế thành đa thức đối với x, đồng nhất hệ số của các số hạng cùng bậc trong hai vế, bạn có thể viết ra nhiều hệ thức về tổ hợp và đó cũng là cách chứng minh chúng.