Bài giảng môn Đại số lớp 11 - Biểu thức tổ hợp – nhị thức newton

BIỂU THỨC TỔ HỢP – NHỊ THỨC NEWTON Bài 1: (ĐHSP TPHCM 1999) Tìm số tự nhiên k thoả mãn hệ thức: Bài giải (0 ≤ k ≤ 12, k Î N) Û Û Û (k + 1)(k + 2) + (14 – k)(13 – k) = 2(k + 2)(14 – k) Û k2 – 12k + 32 = 0 Û k = 4 hoặc k = 8 Vậy: k = 4 hoặc k = 8 Bài 2. (ĐHDL Kỹ thuật công nghệ khối D 1999) Tính tổng: trong đó là số tổ hợp chập k của n phần tử. Bài giải S = = = = 386. Bài 3. (ĐH Ngoại ngữ HN chuyên ban 1999) Tìm các số nguyên dương x thoả: Bài giải (x Î N, x ≥ 3) Û x + 3x2 – 3x + x3 – 3x2 + 2x = 9x2 – 14x Û x(x2 – 9x + 14) = 0 Û Vậy: x = 7 Bài 4. (ĐH Bách khoa HN 1999) Tính tổng: S = trong đó n là số tự nhiên lớn hơn 2. Bài giải S = (n > 2) Xét đa thức p(x) = (1 – x)n. Khai triển theo công thức Newton ta được: p(x) = (1 – x)n = Suy ra: – p¢(x) = n(1 – x)n–1 = Cho x = 1 ta được: 0 = = = S Vậy: S = 0 Bài 5. (ĐHQG HN khối A 2000) Chứng minh rằng: (trong đó k nguyên, 0 ≤ k ≤ 2000) Bài giải Ta sẽ chứng tỏ: Thật vậy, chỉ cần chứng tỏ: (1) với "k = 0, 1, 2, , 999. Ta có: (1) Û Û (k + 1) < 2001 – k Û 2k < 2000 Û k < 1000 đúng vì k = 0, 1, 2, , 999. Vì vậy: ,"k = 0, 1, , 2000 (đẳng thức Û ) và: , "k = 0, 1, , 2000 (đẳng thức Û ) Þ (đẳng thức Û k = 1000) Bài 6. (ĐHQG HN khối B 2000) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của biểu thức sau: , x ≠ 0 Bài giải Số hạng tổng quát của khai triển là: (k Î N, 0 ≤ k ≤ 17) Để số hạng không chứa x thì Þ k = 8 Vậy số hạng cần tìm là số hạng thứ 9 của khai triển và bằng . Bài 7. (ĐH Bách khoa HN khối AD 2000) Giải bất phương trình: Bài giải Điều kiện: Ta có: Û .2x(2x – 1) – x(x – 1) ≤ Û x2 ≤ x2 – 3x + 12 Û x ≤ 4 Kết hợp điều kiện, ta được: x = 3, x = 4. Bài 8. (ĐHSP HN khối A 2000) Trong khai triển nhị thức , hãy tìm số hạng không phụ thuộc vào x, biết rằng Bài giải * Xác định n: Û 1 + n + = 79 Û * Ta có: = Số hạng không phụ thuộc x Û Û k = 7. Vậy số hạng cần tìm là: = 792 Bài 9. (ĐHSP HN khối BD 2000) Biết tổng tất cả các hệ số của khai triển nhị thức (x2 + 1)n bằng 1024, hãy tìm hệ số a (a là số tự nhiên) của số hạng ax12 trong khai triển đó. Bài giải Ta có: (x2 + 1)n = (1) Số k ứng với số hạng ax12 thoả mãn pt: x12 = x2k Þ k = 6. Trong (1) cho x = 1 thì = 2n Từ giả thiết Þ = 1024 Û 2n = 1024 Û n = 10 Vậy hệ số cần tìm là: = 210. Bài 10. (ĐHSP TPHCM khối DE 2000) Tính tổng: S = Bài giải * Ta có: I = * I = = = = S Vậy: S = . Bài 11. (ĐH Kinh tế quốc dân khối A 2000) Chứng minh: Bài giải Ta có: (1 + x)n = Lấy đạo hàm hai vế: n(1 + x)n–1 = Thay x = , ta được: Þ Bài 12. (ĐH Nông nghiệp I khối A 2000) Tìm hệ số của x31 trong khai triển của f(x) = Bài giải = = Hệ số của x31 là với k thoả mãn đk: 3k – 80 = 31 Û k = 37 Vậy: hệ số của x31 là = 40.13.19 = 9880. Bài 13. (ĐH Thuỷ lợi 2000) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n ≥ 2, ta luôn có: Bài giải Chứng minh bằng phương pháp qui nạp. * Với n = 2, đpcm Û đúng * Giả sử BĐT cần chứng minh đúng với n = k (k ≥ 2), tức là ta có: Ta cần chứng minh BĐT đúng với n = k + 1. Thật vậy, = = Vậy: , "n ≥ 2 Bài 14. (ĐH Thuỷ lợi II 2000) Cho đa thức P(x) = (1 + x)9 + (1 + x)10 + (1 + x)11 + + (1 + x)14 có dạng khai triển là: P(x) = a0 + a1x + a2x2 + + a14x14. Hãy tính hệ số a9. Bài giải a9 = 1 + = 1 + = 1 + 10 + = 3003 Bài 15. (ĐH Y Dược TPHCM 2000) Với n là số nguyên dương, hãy chứng minh các hệ thức sau: 1. = 2n 2. = Bài giải 1. (1 + x)n = Cho x = 1 Þ = 2n (1 – x)2n = Cho x = 1 Þ đpcm. Bài 16. (ĐH An ninh nhân dân khối DG 2000) Tính tổng: S = Bài giải Có (x + 1)2000 = (1) Trong (1) cho x = 1 ta được = 22000 Đạo hàm 2 vế của (1) theo x, ta có: 2000.(x + 1)1999 = Cho x = 1 ta được: = 2000.21999 = 1000.22000 Do đó: S = = 1001.22000. Bài 17. (HV Kỹ thuật quân sự 2000) Khai triển đa thức: P(x) = (1 + 2x)12 thành dạng: a0 + a1x + a2x2 + + a12x12 Tìm max(a1, a2, , a12). Bài giải P(x) = (1 + 2x)12 = a0 + a1x + a2x2 + + a12x12 ak = ; ak < ak+1 Û k < Þ = 126720 Bài 18. (ĐH Cảnh sát nhân dân khối A 2000) Tính tích phân: I = (n Î N*) Từ đó chứng minh rằng: Bài giải · Tính I bằng 2 cách: * Đổi biến: t = 1 – x2 Þ dt = –2xdx Þ I = = = * Khai triển nhị thức: x(1 – x2)n = x Þ I = = Từ đó suy ra đẳng thức cần chứng minh. Bài 19. (CĐ Cảnh sát nhân dân khối A 2000) Tìm hệ số của x5 trong khai triển của biểu thức: (x + 1)4 + (x + 1)5 + (x + 1)6 + (x + 1)7 Bài giải Hệ số của x5 trong khai triển của biểu thức: (x + 1)4 + (x + 1)5 + (x + 1)6 + (x + 1)7 là: = 1 + = 28 Bài 20. (ĐH An Ninh khối A 2001) Tìm các số âm trong dãy số x1, x2, , xn, với xn = (n = 1, 2, 3, ) Bài giải Ta phải tìm các số tự nhiên n > 0 thoả mãn: xn = < 0 Û (n + 3).(n + 4) – < 0 Û 4n2 + 28n – 95 < 0 Û Vì n là số nguyên dương nên ta được n = 1, 2 Þ các số hạng âm của dãy là x1, x2. Bài 21. (ĐH An ninh nhân dân khối A 2001) Chứng minh rằng với n là số tự nhiên, n ≥ 2, ta có: = . Bài giải Ta có: = n(n – 1) Þ Thay n lần lượt bằng 2, 3, ta được: = (đpcm) Bài 22. (ĐH Bách khoa HN khối AD 2001) Giải hệ phương trình: Bài giải Đặt u = ; v = Þ Mà u = y!v Þ y! = 2 Þ y = 2 Þ Û x2 – x – 20 = 0 Û Vậy Bài 23. (ĐH Dân lập Duy Tân khối A 2001) 1. Tính tích phân: I = 2.Tínhtổng: S = Bài giải 1. I = = 2. Ta có: I = = = = = = S Vậy: S = Bài 24. (ĐH Đà Lạt khối D 2001) MRới mọi số x ta có: xn = (n ÎN) (*) Bài giải Đặt u = 2x – 1, ta được: (*) Û Û (u + 1)nnnnn = . Đẳng thức đúng. Bài 25. (ĐH Đà Nẵng khối A 2001) Với mỗi n là số tự nhiên, hãy tính tổng: S = Bài giải Có Þ S = = = = = Bài 26. (ĐH Hàng hải 2001) Chứng minh: Bài giải Ta có: (1 + 3)2n = (1 – 3)2n = Cộng vế theo vế hai đẳng thức trên, ta được: 42n + 22n = 2 Từ đó ta được: Bài 27. (ĐH Luật TPHCM khối A 2001) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 1, ta có: = n.4n–1 Bài giải Xét hàm số: f(x) = (x + 3)n = Ta có: f¢(x) = n(x + 3)n–1 = Cho x = 1, ta được: f¢(1) = n.4n–1 = (đpcm) Bài 28. (ĐHSP HN khối A 2001) Trong khai triển của thành đa thức: a0 + a1x + a2x2 + + a9x9 + a10x10 (ak Î R) hãy tìm hệ số ak lớn nhất (0 ≤ k ≤ 10). Bài giải Ta có: ak–1 ≤ ak Û Û Û k ≤ 2(11 – k) Û k ≤ Vậy hệ số a7 là lớn nhất: a7 = . Bài 29. (ĐH Vinh khối AB 2001) Cho n là một số nguyên dương cố định. Chứng minh rằng lớn nhất nếu k là số tự nhiên lớn nhất không vượt quá . Bài giải Ta có: = và = Þ . Do đó: > Û Û k < Bảng biến thiên: Þ lớn nhất nếu k là số tự nhiên lớn nhất không vượt quá . Bài 30. (ĐH Vinh khối DTM 2001) Chứng minh rằng: Bài giải Ta có: (x + 1)2001 = (–x + 1)2001 = Cộng lại ta được: (x + 1)2001 + (–x + 1)2001 = = 2 Cho x = 3 ta được: 42001 – 22001 = 2 Þ Bài 31. (ĐH Y Dược TPHCM 2001) Cho k và n là các số nguyên thoả mãn: 9 ≤ k ≤ n. Chứng minh rằng: Bài giải Đặt ak = với 0 ≤ k ≤ n. Ta chứng minh rằng: a0 > a1 > > an (1) Thật vậy, ta có BĐT ak > ak+1 với 0 ≤ k ≤ n – 1 (2) Û Û Û (2n – k)(n + k + 1) > (n – k)(2n + k + 1) Û 2nk + n > 0 Ta được BĐT đúng Þ (2) đúng Þ (1) đúng. Do đó: ak = = a0 Dấu “=” xảy ra Û k = 0. Bài 32. (ĐH khối A 2002) Cho khai triển nhị thức: (n là số nguyên dương). Biết rằng trong khai triển đó và số hạng thứ tư bằng 20. Tìm n và x. Bài giải Từ ta có n ≥ 3 và Û Û Û n2 – 3n – 28 = 0 Û Với n = 7 ta có: = 140 Û 35.22x–2.2–x = 140 Û 2x–2 = 4 Û x = 4. Vậy n = 7, x = 4. Bài 33. (ĐH khối B 2002) Cho đa giác đều A1A2A2n (n ≥ 2, n nguyên) nội tiếp đường tròn (O). Biết rằng số tam giác có các đỉnh là 3 trong 2n điểm A1, A2, , A2n nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong 2n điểm A1, A2, , A2n. Tìm n? Bài giải Số tam giác có các đỉnh là 3 trong 2n điểm A1, A2, , A2n là . Gọi đường chéo của đa giác đều A1A2A2n đi qua tâm đường tròn (O) là đường chéo lớn thì đa giác đã cho có n đường chéo lớn. Mỗi hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong 2n điểm A1, A2, , A2n có các đường chéo là hai đường chéo lớn. Ngược lại, với mỗi cặp đường chéo lớn ta có các đầu mút của chúng là 4 đỉnh của một hình chữ nhật. Vậy số hình chữ nhật nói trên bằng số cặp đường chéo lớn của đa giác A1, A2, , A2n, tức . Theo giả thiết thì: Û Û 2n – 1 = 15 Û n = 8. Bài 34. (ĐH khối D 2002) Tìm số nguyên dương n sao cho: = 243 Bài giải Ta có: (x + 1)n = Cho x = 2 ta được: 3n = Þ 3n = 243 Û n = 5. Bài 35. (ĐH dự bị 2 2002) Tìm số n nguyên dương thoả mãn bất phương trình: ≤ 9n. Bài giải BPT Û Û Û 3 ≤ n ≤ 4 Û n = 3 hoặc n = 4. Bài 36. (ĐH dự bị 4 2002) Giả sử n là số nguyên dương và: (1 + x)n = a0 + a1x + a2x2 + + akxk + + anxn Biết rằng tồn tại số k nguyên (1 ≤ k ≤ n – 1) sao cho . Hãy tính n. Bài giải Ta có: (1) (1 ≤ k ≤ n – 1) Û Û Û 2.(k – 1)!(n – k + 1)! = 9.k!(n – k)! = 24.(k + 1)!(n – k – 1)! Û 2.(n – k +1)(n – k) = 9.k(n – k) = 24.(k + 1)k Û Û Để tồn tại k thoả mãn hệ thức (1), điều kiện ắt có và đủ là: 3n – 8 = 2n + 2 Û n = 10. Bài 37. (ĐH dự bị 6 2002) Gọi a1, a2, , a11 là các hệ số trong khai triển sau: (x + 1)10.(x + 2) = x11 + a1x10 + a2x9 + + a11. Hãy tính hệ số a5. Bài giải Ta có: (x + 1)10 = x10 + Þ (x + 1)10(x + 2) = x11 + + + = x11 + + + + 2 = x11 + a1x10 + a2x9 + + a11 Vậy a5 = = 672. Bài 38. (ĐH khối A 2003) Tìm hệ số của số hạng chứa x8 trong khai triển nhị thức Newton của , biết rằng:(n nguyên dương, x > 0). Bài giải Ta có: Û Û = 7(n + 3) Û n + 2 = 7.2! = 14 Û n = 12. Số hạng tổng quát của khai triển là: Ta có: = x8 Û = 8 Û k = 4. Do đó hệ số của số hạng chứa x8 là = 495. Bài 39. (ĐH khối B 2003) Cho n là số nguyên dương. Tính tổng: Bài giải Ta có: (1 + x)n = Þ Û Û = Bài 40. (ĐH khối D 2003) Với n là số nguyên dương, gọi a3n–3 là hệ số của x3n–3 trong khai triển thành đa thức của (x2 + 1)n(x + 2)n. Tìm n để a3n–3 = 26n. Bài giải Ta có: (x2 + 1)n = (x + 2)n = Dễ dàng kiểm tra n = 1, n = 2 không thoả mãn điều kiện bài toán. Với n ≥ 3 thì x3n–3 = x2nxn–3 = x2n–2xn–1 Do đó hệ số của x3n–3 trong khai triển thành đa thức của: (x2 + 1)n(x + 2)n là: a3n–3 = Þ a3n–3 = 26n Û Û Vậy: n = 5. Bài 41. (ĐH khối D 2003 dự bị 2) Tìm số tự nhiên n thoả mãn: = 100 Bài giải Ta có: = 100 Û Û Û Û Û 3n(n – 1) + (n2 – n)(n – 2) = 60 Û (n2 – n)(n + 1) = 60 Û (n – 1)n(n + 1) = 3.4.5 Û n = 4. Bài 42. (CĐ Xây dựng số 3 – 2002) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta đều có: Bài giải Ta có khai triển: (x + 1)2n = Cho x = –1 ta được: 0 = Û Bài 43. (CĐ Sư phạm Bến Tre khối A 2002) 1. Giải phương trình: = 9x2 – 14x 2. Chứng minh rằng: = 219 Bài giải 1. Điều kiện: PT Û x + = 9x2 – 14x Û x + 3x(x – 1) + x(x – 1)(x – 2) = 9x2 – 14x Û x(x2 – 9x + 14) – 0 Û Û x = 2 2. · Cách 1: * Ta có: (1 – x)20 = Cho x = 1 ta có: = 0 Þ Đặt: A = ; B = Þ A = B (1) * Ta có: (1 + x)20 = Cho x = 1 ta có: = 220 Þ A + B = 220 (2) Từ (1) và (2) suy ra A = = 219 (đpcm). · Cách 2: Áp dụng công thức và , ta được: = = = (1 + 1)19 = 219. Bài 44. (CĐ khối AD 2003) Chứng minh rằng: P1 + 2P2 + 3P3 + + nPn = Pn+1 – 1 Bài giải · Cách 1: Ta có: Pn+1 – [nPn + (n – 1)Pn–1 + + 2P2 + P1] = = (n + 1)! – n.n! – (n – 1).(n – 1)! – – 2.2! – 1! = n![(n + 1) – n] – (n – 1).(n – 1)! – – 2.2! – 1! = n! – (n – 1).(n – 1)! – – 2.2! – 1! = (n – 1)![n – (n – 1)] – – 2.2! – 1! = (n – 1)! – (n – 2)(n – 2)! – – 2.2! – 1! = .. = 2! – 1.1! = 1 Vậy: P1 + 2P2 + 3P3 + + nPn = Pn+1 – 1. · Cách 2: Chứng minh bằng qui nạp: * Với n = 1, ta có P1 = P2 – 1 Û 1! = 2! – 1. Mệnh đề đúng. * Giả sử mệnh đề đúng với n = k (k > 1), tức là ta có: P1 + 2P2 + 3P3 + + kPk = Pk+1 – 1 * Ta cần ch. minh: P1 + 2P2 + 3P3 + + kPk + (k +1)Pk+1= Pk+2 – 1 Thật vậy, P1 + 2P2 + 3P3 + + kPk + (k +1)Pk+1 = Pk+1 – 1 + (k +1)Pk+1 = (k + 2)Pk+1 – 1 = Pk+2 – 1. (đpcm) Bài 45. (CĐ Giao thông II 2003) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ≥ 2, ta đều có: Bài giải Do nên ta có: Áp dụng BĐT Côsi ta có: Áp dụng khai triển (a + b)n = với a = b = 1, ta có: = 2n Þ = 2n – 2 Suy ra: (đpcm). Bài 46. (CĐ Giao thông III 2003) 1. Tính tổng: S = (n > 2) 2. Tính tổng: T = biết rằng n là số nguyên dương thoả điều kiện: Bài giải 1. Ta có: (1 + x)n = Đạo hàm 2 vế, ta được: n(1 + x)n–1 = Cho x = –1 0 = Vậy S = 0. 2. Ta có: (1 + x)n = Þ Þ Þ Do đó: T = Ta có: Û Û n = 12 Vậy: T = . Bài 47. (CĐ Tài chính kế toán IV 2003) Chứng minh rằng: (với n, k Î Z+;n ≥ k + 2) Bài giải Vế trái = = = . Bài 48. (CĐ Tài chính kế toán IV 2003 dự bị) Giải bất phương trình: Bài giải Điều kiện: n Î Z, n ≥ 0. BPT Û Û (3n)! ≤ 720 Ta thấy (3n)! tăng theo n và mặt khác 6! = 720 ≥ (3n)! Do đó: BPT có nghiệm . Bài 49. (CĐ Công nghiệp HN 2003) Cho đa thức: P(x) = (16x – 15)2003. Khai triển đa thức đó dưới dạng: P(x) = a0 + a1x + a2x2 + + a2003x2003 Tính tổng S = a0 + a1 + a2 + + a2003. Bài giải P(x) = (16x – 15)2003 = = Các hệ số trong khai triển đa thức là: ak = Vậy: S = = (16 – 15)2003 = 1 Bài 50. (CĐ Khí tượng thuỷ văn khối A 2003) Tìm số nguyên dương n thoả mãn đẳng thức: Bài giải Điều kiện: n Î N, n ≥ 3. PT Û Û n(n – 1)(n – 2) + n(n – 1) = 16n Û n2 – 2n – 15 = 0 Û vậy: n = 5. Bài 51. (CĐ Nông Lâm 2003) Tìm hệ số lớn nhất của đa thức trong khai triển nhị thức Newton của: . Bài giải Ta có: = Gọi ak là hệ số của xk trong khai triển: ak = ; k = 0, 1, 2, , 15. Xét sự tăng giảm của dãy ak: ak–1 < ak Û Û Û k < , k = 0, 1,.., 15 Từ đó: a0 < a1 < a2 < < a10 Đảo dấu BĐT trên ta được: ak–1 > ak Û k > Þ a10 > a11 > > a15. Vậy hệ số lớn nhất phải tìm là: a10 = Bài 52. (CĐ Cộng đồng Tiền Giang 2003) Hãy khai triển nhị thức Newton (1 – x)2n, với n là số nguyên dương. Từ đó chứng minh rằng: Bài giải Ta có: (1 – x)2n = Đạo hàm 2 vế theo x, ta có: –2n(1 – x)2n–1 = = Thế x = 1 vào đẳng thức trên, ta có: 0 = Vậy: . Bài 53. (ĐH khối A 2004) Tìm hệ số của x8 trong khai triển thành đa thức của [1 + x2(1 – x)]8. Bài giải Ta có: [1 + x2(1 – x)]8 = + + Bậc của x trong 3 số hạng đầu nhỏ hơn 8, bậc của x trong 4 số hạng cuối lớn hơn 8. Vậy x8 chỉ có trong các số hạng thư tư, thứ năm, với hệ số tương ứng là: Suy ra: a8 = 168 + 70 = 238. Bài 54. (ĐH khối D 2004) Tìm các số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Newton của: với x > 0 Bài giải Ta có: = = Số hạng không chứa x là số hạng tương ứng với k (k Î Z, 0 ≤ k ≤ 7) thoả mãn: Û k = 4 Vậy số hạng không chứa x cần tìm là: = 35. Bài 55. (ĐH khối A 2005) Tìm số nguyên dương n sao cho: = 2005 Bài giải Ta có: (1 + x)2n+1 = Đạo hàm 2 vế ta có: (2n + 1)(1 + x)2n = Thay x = –2, ta có: = 2n + 1 Theo giả thiết ta có: 2n + 1 = 2005 Þ n = 1002. Bài 56. (ĐH khối D 2005) Tính giá trị của biểu thức: M = biết = 149. Bài giải Điều kiện: n ≥ 3. Ta có: = 149 Û Û n2 + 4n – 45 = 0 Û Vậy: n = 5. Bài 57. (ĐH khối A 2005 dự bị 2) Tìm hệ số của x7 trong khai triển đa thức (2 – 3x)2n, trong đó n là số nguyên dương thoả mãn: Bài giải Ta có: (1 + x)2n+1 = Cho x = 1 ta có: 22n+1 = (1) Cho x = –1 ta có: 0 = (2) Lấy (1) – (2) Þ 22n+1 = Þ 22n = = 1024 Þ 2n = 10 Ta có: (2 – 3x)10 = Suy ra hệ số của x7 là Bài 58. (ĐH khối D 2005 dự bị 1) Tìm k Î {0; 1; 2; ; 2005} sao cho đạt giá trị lớn nhất. Bài giải lớn nhất Û Û Û Û Û 1002 ≤ k ≤ 1003, k Î N. Û k = 1002 hoặc k = 1003. Bài 59. (ĐH khối D 2005 dự bị 2) Tìm số nguyên n > 1 thoả mãn đẳng thức: 2Pn + 6 = 12. Bài giải Ta có: 2Pn + 6 = 12 (n Î N, n > 1) Û 2n! + Û Û Û Û Û Vậy: n = 2 hoặc n = 3. Bài 60. (ĐH khối A 2006) Tìm hệ số của số hạng chứa x26 trong khai triển nhị thức Newton của , biết rằng: Bài giải · Từ giả thiết suy ra: (1) Vì , "k, 0 ≤ k ≤ 2n + 1 nên: (2) Từ khai triển nhị thức Newton của (1 + 1)2n+1 suy ra: (3) từ (1), (2), (3) suy ra: 22n = 220 Û n = 10. · Ta có: Hệ số của x26 là với k thoả mãn: 11k–40 = 26 Û k = 6 Vậy hệ số của x26 là = 210. Bài 61. (ĐH khối B 2006) Cho tập A gồm n phần tử (n ≥ 4). Biết rằng số tập con gồm 4 phần tử của A bằng 20 lần số tập con gồm 2 phần tử của A. Tìm kÎ{1,2,, n} sao cho số tập con gồm k phần tử của A là lớn nhất. Bài giải Số tập con k phần tử của tập hợp A bằng . Từ giả thiết suy ra: Û n2 – 5n – 234 = 0 Û n = 18 (vì n ≥ 4) Do Û k < 9, nên: Þ Vậy số tập con gồm k phần tử của A là lớn nhất khi và chỉ khi k = 9. Bài 62. (CĐ Bán công Hoa Sen khối A 2006) Giải hệ phương trình: Bài giải ĐK: x Î N, y Î N*, x ≤ y. Từ phương trình thứ hai suy ra x = 4 Thay vào phương trình thứ nhất ta được: y2 – 9y + 8 = 0 Û . Vậy: x = 4; y = 8. Bài 63. (CĐ KT–KT Cần Thơ khối AB 2006) Tìm số tự nhiên n sao cho: Bài giải ĐK: n Î N, n ≤ 4 Û Û n2 – 17n + 30 = 0 Û Vậy: n = 2. Bài 64. (CĐ Sư phạm TPHCM khối A 2006) Tính tổng S = Biết rằng: Bài giải · Û Û Û n = 20 · (k = 1, 2, , n) Do đó: với n = 20 ta có: S = = 220. Bài 65. (CĐ Sư phạm TPHCM khối BT 2006) Khai triển biểu thức (1 – 2x)n ta được đa thức có dạng: a0 + a1x + a2x2 + + anxn Tìm hệ số của x5, biết a0 + a1 + a2 = 71. Bài giải Số hạng thứ k + 1 trong khai triển (1 – 2x)n là: Tk+1 = Từ đó ta có: a0 + a1 + a2 = 71 Û Û Û Û n = 7 Với n = 7, ta có hệ số của x5 trong khai triển (1 – 2x)n là: a5 = = – 672. Bài 66. (CĐ Điện lực TPHCM 2006) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức , biết rằng: (n là số tự nhiên lớn hơn 2, x là số thực khác 0). Bài giải Ta có: Û Û n2 – 3n – 70 Û Số hạng tổng quát của khai triển nhị thức là: Tk+1 = Tk+1 không chứa x Û 20 – 5k = 0 Û k = 4 Vậy số hạng không chứa x là: T5 = = 210. Bài 67. (CĐ Kinh tế TPHCM 2006) Tìm n Î N sao cho: Bài giải · Cách 1: Ta có: Vậy có: 24n = 256 Û n = 2 · Cách 2: Đặt Sn = Thì Sn+1 = Vì (0 ≤ k ≤ n) nên Sn+1 > Sn Þ dãy (Sn) tăng. Khi n = 2 thì S2 = = 256 Vậy Sn = 256 Û n = 2. Bài 68. (CĐ Kinh tế đối ngoại khối AD 2006) Cho A = . Sau khi khai triển và rút gọn thì biểu thức A sẽ gồm bao nhiêu số hạng? Bài giải A = = = Xét trường hợp 20 – 3k = 30 – 4n Û 10 – n = 3(n – k) Vì 0 ≤ n ≤ 10 và 10 – n phải là bội số của 3 nên n = 4 hay n= 7 hay n= 10 Þ có 3 số hạng trong hai khai triển trên có luỹ thừa của x giống nhau. Vậy sau khi khai triển và rút gọn thì biểu thức A sẽ gồm: 21 + 11 – 3 = 29 số hạng. Bài 69. (CĐ KT Y tế I 2006) Tìm số tự nhiên n thoả mãn đẳng thức sau: Bài giải Ta có: 42n = (1 + 3)2n = 22n = (1 – 3)2n = Þ 42n + 22n = Þ 42n + 22n = 2.215(216 + 1) Þ (22n – 216)(22n + 216 + 1) = 0 Þ 22n = 216 Þ n = 8. Bài 70. (CĐ Xây dựng số 2 2006) Chứng minh: Bài giải Theo khai triển nhị thức Newton ta có: (a + b)n = · Với a = 3, b = – 1 Þ 2n = (3 – 1)n = · Với a = 1, b = 1 Þ 2n = (1 + 1)n = Vậy: Bài 71. (CĐ KT Y tế 1 2005) Giải bất phương trình: Bài giải ĐK: x Î N, x ≥ 2 BPT Û Û x(x + 1) + 3x(x – 1) – 20 < 0 Û 2x2 – x – 10 < 0 Û – 2 < x < Kết hợp điều kiện Þ x = 2. Bài 72. (CĐBC Hoa Sen khối D 2006) Tìm hệ số của x29y8 trong khai triển của (x3 – xy)15. Bài giải Số hạng tổng quát: Þ Û k = 8 Vậy hệ số của x29y8 là: = 6435. Bài 73. (CĐ Sư phạm TPHCM khối DM 2006) Khai triển biểu thức (1 – 2x)n ta được đa thức có dạng: a0 + a1x + a2x2 + + anxn Tìm hệ số của x5, biết a0 + a1 + a2 = 71. Bài giải Số hạng thứ k + 1 trong khai triển (1 – 2x)n là: Tk+1 = Từ đó ta có: a0 + a1 + a2 = 71 Û = 71 Û Û Û n = 7.