Bài giảng môn Đại số lớp 11 - Bất đẳng thức – bất phương trình

BẤT ĐẲNG THỨC – BẤT PHƯƠNG TRÌNH. I. LÝ THUYẾT : 1. Bất đẳng thức Cauchy(Côsi) : . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b. +) Mở rộng Côsi cho 3 số không âm ta có : . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi : a = b = c. +) Tổng quát : BĐT Côsi cho n số không âm a1, a2, , an.Ta có : . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a1= a2= = an. 2. Bất đẳng thức Bunhiacopxki : (BĐT Svacxơ) +) Cho (a1, a2), (b1, b2) là 4 số thực tùy ý, ta luôn có : Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi : . +) Tổng quát : Cho 6 số thực (a1, a2, a3), (b1, b2, b3) tùy ý, ta luôn có : Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi : II. CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC : 1. Phương Pháp Biến Đổi Đánh Giá Thích Hợp : Bài 1 : a) Cho |a|<1, |b|<1 , CMR : |a+b|<|1+a.b|. b) . Bài 2 : . Bài 3 : a) ; b) . Bài 4: Cho a, b, c là 3 số dương , CMR : . 2. Phương Pháp Aùp dụng Các Bất Đẳng Thức Cơ Bản Để CM : Bài 1: a) CMR . b) CMR : . Bài 2 : CMR , ta luôn có : a) . b) Bài 3 : Cho x, y là 2 số thỏa mãn điều kiện 3x + 4y = 5. CMR : a) ; b) . Khi nào có đẳng thức xảy ra ? Bài 4 : a) Cho 3 số dương a, b, c và a>c; b>c. CMR : . b) Chứng minh rằng trong 1 tam giác bất kì ta luôn có : . Bài 5 : CMR với mọi số nguyên dương n>1 ta luôn có : . I. XÁC ĐỊNH GIÁ TRỊ CỦA THAM SỐ ĐỂ TAM THỨC BẬC HAI CÓ DẤU KHÔNG ĐỔI. A. Lý thuyết : Một số điều kiện tương đương: Nếu ax2 + bx + c là một tam thức bậc hai ( a # 0 ) thì 1) ax2 + bx + c = 0 cĩ nghiệm khi và chỉ khi 2) ax2 + bx + c = 0 cĩ hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi 3) ax2 + bx + c = 0 cĩ các nghiệm dương khi và chỉ khi 4) ax2 + bx + c = 0 cĩ các nghiệm âm khi và chỉ khi 5) . Chú ý : . 6) . Chú ý : . B. Bài tập : Bài 1 : Tìm m để bpt sau vô nghiệm: . 5x2 - x + m 0. mx2 - 10x - 5 0. Bài 2 : Tìm a để biểu thức có nghĩa với mọi giá trị của x. Bài 3 : Xác định a để với mọi x ta luôn có : Bài 4 : Cho hàm số . Xác định a để hàm số luôn có giá trị nhỏ nhất bằng 1 và giá trị lớn nhất bằng 6. Bài 6: Tìm m để phương trình sau cĩ hai nghiệm dương phân biệt: (m2 + m + 1)x2 + (2m - 3)x + m - 5 = 0. m2 - 6mx + 2 - 2m + 9m2 = 0. II. PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CÓ CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI. Lý thuyết : +) Dùng định nghĩa bỏ dấu giá trị tuyệt đối . +) Một số dạng PT, BPT thường gặp : *) . *) . B. Bài tập : Bài 1 : Giải các phương trình: a) ; b) x2- 5|x-1| -1 = 0. Bài 2 : Giải các BPT sau đây : a) ; b) ; c) . Bài 3 : Giải các BPT sau : a) ; b) ; c) ||2x-1|-3| > 2. II. PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CÓ CHỨA CĂN THỨC . Lý thuyết : . Bài tập : PHƯƠNG TRÌNH-BẤT PHƯƠNG TRÌNH & HỆ BPT Bài 1 : Giải các bất phương trình sau đây : a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; f) . Bài 2: Giải các bất phương trình sau đây: a) ; b) ; c) . d) e) Bài 3 : Giải các hệ bất phương trình sau đây : a) ; b) ; c) ; d) ; e) . Bài 4 : Giải các bất phương trình sau đây : a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; f) ; g) . Bài tập: Xét dấu các biểu thức sau : a) f(x) = (-2x + 3)(x - 2)(x + 4); b) f(x) = (4x - 1 )(x + 2)(3x - 5)( -2x + 7 ); c) d) Bài 5: Giải các bất phương trình sau: a) b) c) d) e) f) Bài 6: Giải các bất phương trình sau: a) b) c) . d) e) f) g) h) k) Bài 7 : Tìm tất cả các giá trị của tham số m để các hệ bpt sau đây có nghiệm : a) ; b) . Bài 8 : Giải và biện luận các hệ bpt sau theo tham số đã cho : a) ; b) (với m là tham số ) Bài 9* : Tìm m để bất phương trình : nhận làm nghiệm. Bài 10* : Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hai bất phương trình sau tương đương : và . Bài 11 : Tìm tất cả các nghiệm nguyên của các bpt sau : a) ; b) . Bài 12 : Giải các bất phương trình sau đây : a) ; b) c) ; d) . Bài 13 : Giải các phương trình: a) ; b) , c) ; d) Bài 14 : Giải các BPT sau đây : a) ; b) ; c) , d) . Bài 15 : Giải BPT sau : . Bài 16: a) Tìm GTLN của hàm số . Sử dụng kết quả đã tìm được để giải PT : . PHẦN NÂNG CAO . Bài 1 : Giải các bất phương trình sau đây : a) ; b) ; c) . Bài 2 : Giải các bất phương trình sau đây : a) ; b) ; c) . d) ; e) Bài 3: Giải và biện luận các bất phương trình sau đây : (với a là tham số) a) ; b) ; c) ; d) . e) . Bài 4 : CMR . Khi nào có dấu đẳng thức xảy ra ? Bài 5 : Tìm tất cả các giá trị của tham số a để bất phương trình sau đây nghiệm đúng với mọi x : . Bài 6 : Giải và biện luận bpt sau : . Xác định rõ giá trị của m để bất phương trình có nghiệm? Bài 7 : Giải và biện luận các bpt sau theo tham số : a) ; b) ; c) (1-m)x < 2mx + 3 ; d) ; e) . Bài 8 : Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hệ bpt sau đây : a) vô nghiệm ? b) có nghiệm ? -----------------------------------------------------------