Bài giảng môn Đại số lớp 11 - Bài tập giải tích tổ hợp

BÀI TẬP GIẢI TÍCH TỔ HỢP ------------------------- Bài 1:(ĐHQG TPHCM khối A đợt 1 1999) Cho tập hợp A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} 1. Có bao nhiêu tập con X của tập A thoả điều kiện X chứa 1 và không chứ? 2. Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 5 chữ số đôi một khác nhau lấy từ tập A và không bắt đầu bởi 123. Bài giải 1. . Do đó số các tập X bằng số các tập con Y của tập hợp {3,4,5,6,7,8} Mà số các tập con Y của {3,4,5,6,7,8} là: 26 = 64. Vậy có 64 tập con X của A chứa 1 và không chứa 2. 2. Gọi * m là số các số tự nhiên chẵn gồm 5 chữ số đôi một khác nhau lấy từ A. * n là số các số tự nhiên chẵn gồm 5 chữ số đôi một khác nhau lấy từ A và bắt đầu bởi 123. * p là số các số tự nhiên thoả mãn yêu cầu đề bài. Ta cần tính p. Hiển nhiên p = m – n · Tính m: Lập một số chẵn gồm 5 chữ số khác nhau a1, a2, a3, a4, a5 Î A, có nghĩa là: Lấy a1 từ {2, 4, 6, 8} ® có 4 cách Lấy a2, a3, a4, a5 từ 7 số còn lại của A ® có = 7.6.5.4 = 840 cách Do đó: m = 4.840 = 3360. · Tính n: Lập một số chẵn bắt đầu bởi 123; a1,a2Î A; a1 ≠ a2 Lấy a1 từ {4,6,8} ® có 3 cách Lấy a2 từ A \ {1,2,3,a1} ® có 4 cách Do đó: n = 3.4 = 12 Vậy: số p cần tìm là: p = 3360 – 12 = 3348. Bài 2: (ĐHQG TPHCM khối D đợt 1 1999) Một học sinh có 12 cuốn sách đôi một khác nhau, trong đó có 2 cuốn sách Toán, 4 cuốn sách Văn và 6 cuốn sách Anh. Hỏi có bao nhiêu cách xếp tất cả các cuốn sách lên một kệ sách dài, nếu các cuốn sách cùng môn được xếp kề nhau? Bài giải Bước 1: Đặt 3 nhóm sách lên kệ dài: 3! cách Bước 2: Trong mỗi nhóm ta có thể thay đổi cách xếp đặt sách: Nhóm sách Toán: 2! cách Nhóm sách Văn: 4! cách Nhóm sách Anh: 6! cách Kết luận: có 3!2!4!6! = 6.2.24.720 = 207360 cách. Bài 3: Một bàn dài có hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy có 6 ghế. Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho 6 học sinh trường A và 6 học sinh trường B vào bàn nói trên. Hỏi có bao nhiêu cách xếp trong mỗi trường hợp sau: 1. Bất cứ 2 học sinh nào ngồi cạnh nhau hoặc đối diện nhau thì khác trường với nhau. 2. Bất cứ 2 học sinh nào ngồi đối diện nhau thì khác trường với nhau. Bài giải Giai đoạn 1: Xếp chỗ ngồi cho hai nhóm học sinh, có 2 cách xếp: A B A B A B B A B A B A B A B A B A A B A B A B Giai đoạn 2: Trong nhóm học sinh của trường A, có 6! cách xếp các em vào 6 chỗ. Tượng tự, có 6! cách xếp 6 học sinh trường B vào 6 chỗ. Kết luận: có 2.6!6! = 1036800 cách 2. Học sinh thứ nhất trường A ngồi trước: có 12 cách chọn ghế để ngồi. Sau đó, chọn học sinh trường B ngồi đối diện với học sinh thứ nhất trường A: có 6 cách chọn học sinh trường B. Học sinh thứ hai của trường A còn 10 chỗ để chọn, chọn học sinh trường B ngồi đối diện với học sinh thứ hai trường A: có 5 cách chọn, v.v Vậy: có 12.6.10.5.8.4.6.3.2.1.1 = 26.6!.6! = 33177600 cách. Bài 4: (ĐHQG TPHCM khối D đợt 2 1999) Cho tập X = {0,1,2,3,4,5,6,7}. Có thể lập được bao nhiêu số n gồm 5 chữ số khác nhau đôi một từ X (chữ số đầu tiên phải khác 0) trong mỗi trường hợp sau: 1. n là số chẵn. 2. Một trong ba chữ số đầu tiên phải bằng 1. Bài giải Xem các số chắn hình thức (kể cả a = 0), có 4 cách chọn e Î {0,2,4,6}, vì là số chẵn. Sau đó chọn a, b, c, d từ X \ {e}, số cách chọn là: = 840 Vậy: có 4.840 = 3360 số chẵn hình thức. Ta loại những số có dạng . Có 3 cách chọn e, và cách chọn b, c, d từ X \ {0,e}. Vậy có 3. = 360 số chẵn có dạng . Kết luận: có 3360 – 360 = 3000 số thoả yêu cầu đề bài. 2. n = * Xem các số hình thức (kể cả a = 0). Có 3 cách chọn vị trí cho 1. Sau đó chọn chữ số khác nhau cho 3 vị trí còn lại từ X \ {1}: có cách. Như thế: có 3. = 2520 số hình thức thoả yêu cầu đề bài. * Xem các số hình thức . Có 2 cách chọn vị trí cho 1. Chọn chữ số khác nhau cho 3 vị trí còn lại từ X \ {0,1}, số cách chọn là . Như thế: có 2. = 240 số hình thức dạng . Kết luận: số các số n thoả yêu cầu đề bài là: 2520 – 240 = 2280 số. Bài 5: (ĐH Huế khối A chuyên ban 1999) Một hộp đựng 4 viên bi đỏ, 5 viên bi trắng và 6 viên bi vàng. Người ta chọn ra 4 viên bi từ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn để trong số bi lấy ra không có đủ cả 3 màu? Bài giải Số cách chọn 4 bi trong số 15 bi là: = 1365. Các trường hợp chọn 4 bi đủ cả 3 màu là: * 2 đỏ + 1 trắng + 1 vàng: có = 180 * 1 đỏ + 2 trắng + 1 vàng: có = 240 * 1 đỏ + 1 trắng + 2 vàng: có = 300 Do đó số cách chọn 4 bi đủ cả 3 màu là: 180 + 240 + 300 = 720 Vậy số cách chọn để 4 bi lấy ra không đủ 3 màu là: 1365 – 720 =645. Bài 6: (ĐH Huế khối D chuyên ban 1999) Người ta xếp ngẫu nhiên 5 lá phiếu có ghi số thứ tự từ 1 đến 5 cạnh nhau. 1. Có bao nhiêu cách xếp để các phiếu số chẵn luôn ở cạnh nhau? 2. Có bao nhiêu cách xếp để các phiếu phân thành hai nhóm chẵn lẻ riêng biệt (chẳng hạn 2, 4, 1, 3, 5)? Bài giải 1. * Xếp các phiếu số 1, 2, 3, 5 có 4! = 24 cách. * Sau đó xếp phiếu số 4 vào cạnh phiếu số 2 có 2 cách. Vậy: có 2.24 = 48 cách xếp theo yêu cầu đề bài. 2. * Khi nhóm chẵn ở bên trái, nhóm lẻ ở bên phải. Số cách xếp cho 2 số chẵn là 2! cách. Số cách xếp cho 3 số lẻ là: 3! cách. Vậy có 2.6 = 12 cách. * Tương tự cũng có 12 cách xếp mà nhóm chẵn ở bên phải, nhóm lẻ ở bên trái. Vậy: có 12 + 12 = 24 cách. Bài 7: (ĐH Huế khối RT chuyên ban 1999) Người ta viết các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 lên các tấm phiếu, sau đó xếp thứ tự ngẫu nhiên thành một hàng. 1. Có bao nhiêu số lẻ gồm 6 chữ số được sắp thành? 2. Có bao nhiêu số chẵn gồm 6 chữ số được sắp thành? Bài giải Số có 6 chữ số khác nhau có dạng: với a ≠ 0 1. Vì số tạo thành là số lẻ nên f Î {1, 3, 5}. Do đó: f có 3 cách chọn a có 4 cách chọn (trừ 0 và f) b có 4 cách chọn (trừ a và f) c có 3 cách chọn (trừ a, b, f) d có 2 cách chọn (trừ a, b, c, f) e có 1 cách chọn (trừ a, b, c, d, f) Vậy: có 3.4.4.3.2.1 = 288 số 2. Vì số tạo thành là số chẵn nên f Î {0, 2, 4}. * Khi f = 0 thì (a,b,c,d,e) là một hoán vị của (1,2,3,4,5). Do đó có 5! số * Khi f Î {2, 4} thì: f có 2 cách chọn a có 4 cách chọn b có 4 cách chọn c có 3 cách chọn d có 2 cách chọn e có 1 cách chọn Do đó có 2.4.4.3.2.1 = 192 số. Vậy: có 120 + 192 = 312 số chẵn. Bài 8: (HV Ngân hàng TPHCM 1999) Xét những số gồm 9 chữ số, trong đó có năm chữ số 1 và bốn chữ số còn là 2, 3, 4, 5. Hỏi có bao nhiêu số như thế, nếu: 1. Năm chữ số 1 được xếp kề nhau. 2. Các chữ số được xếp tuỳ ý. Bài giải 1. Gọi 11111 là số a. Vậy ta cần sắp các số a, 2, 3, 4, 5. Do đó số có 9 chữ số trong đó có 5 chữ số 1 đứng liền nhau là: 5! = 120 số. 2. Lập một số có 9 chữ số thoả mãn yêu cầu; thực chất là việc xếp các số 2, 3, 4, 5 vào 4 vị trí tuỳ ý trong 9 vị trí (5 vị trí còn lại đương nhiên dành cho chữ số 1 lặp 5 lần). Vậy: có tất cả = 6.7.8.9 = 3024 số. Bài 9: (ĐH Hàng hải 1999) Có bao nhiêu cách sắp xếp năm bạn học sinh A, B, C, D, E vào một chiếc ghế dài sao cho: 1. Bạn C ngồi chính giữa. 2. Hai bạn A và E ngồi ở hai đầu ghế. Bài giải 1. Xếp C ngồi chính giữa: có 1 cách. Xếp A, B, D, E vào 4 chỗ còn lại: có 4! = 24 cách. Vậy: có 24 cách xếp thoả yêu cầu. 2. Xếp A và E ngồi ở hai đầu ghế: có 2! = 2 cách. Xếp B, C, D vào 3 chỗ còn lại: có 3! = 6 cách. Vậy: có 2.6 = 12 cách xếp thoả yêu cầu. Bài 10: (HV BCVT 1999) Hỏi từ 10 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau, sao cho trong các chữ số đó có mặt số 0 và 1. Bài giải * Số các số có 6 chữ số khác nhau là: = 9.9.8.7.6.5 = 136080 * Số các số có 6 chữ số khác nhau và đều khác 0 là: = 9.8.7.6.5.4 = 60480 * Số các số có 6 chữ số khác nhau và đều khác 1 là: = 8.8.7.6.5.4 = 53760 Vậy số các số có 6 chữ số khác nhau trong đó đều có mặt 0 và 1 là: 136080 – 60480 – 53760 = 21840 số. Bài 11: (ĐHQG HN khối B 2000) Từ 5 chữ số 0, 1, 3, 5, 7 có thể lập được bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau và không chia hết cho 5. Bài giải * Trước hết ta tìm số các số gồm 4 chữ số khác nhau: Có 4 khả năng chọn chữ số hàng ngàn (không chọn chữ số 0) Có khả năng chọn 3 chữ số cuối. Þ Có 4. = 4.4! = 96 số. * Tìm số các số gồm 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 5: Nếu chữ số tận cùng là 0: có = 24 số Nếu chữ số tận cùng là 5: có 3 khả năng chọn chữ số hàng nghìn, có = 6 khả năng chọn 2 chữ số cuối. Vậy có 3.6 = 18 số Do đó có 24 + 18 = 42 số gồm 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 5. Vậy có: 96 – 42 = 54 số gồm 4 chữ số khác nhau và không chia hết cho 5. Bài 12: (ĐHQG TPHCM khối A 2000) Một thầy giáo có 12 cuốn sách đôi một khác nhau trong đó có 5 cuốn sách Văn, 4 cuốn sách Nhạc và 3 cuốn sách Hoạ. Ông muốn lấy ra 6 cuốn và tặng cho 6 học sinh A, B, C, D, E, F mỗi em một cuốn. 1. Giả sử thầy giáo chỉ muốn tặng cho các học sinh trên những cuốn sách thuộc 2 thể loại Văn và Nhạc. Hỏi có bao nhiêu cách tặng? 2. Giả sử thầy giáo muốn rằng sau khi tặng sách xong, mỗi một trong ba loại sách trên đều còn lại ít nhất một cuốn. Hỏi có bao nhiêu cách chọn? Bài giải 1. Số cách tặng là số cách chọn 6 cuốn sách từ 9 cuốn có kể thứ tự. Vậy số cách tặng là = 60480 2. Nhận xét: không thể chọn sao cho cùng hết 2 loại sách. Số cách chọn 6 cuốn sách từ 12 cuốn sách là: = 665280 Số cách chọn sao cho không còn sách Văn là: = 5040 Số cách chọn sao cho không còn sách Nhạc là: = 20160 Số cách chọn sao cho không còn sách Hoạ là: = 60480 Số cách chọn cần tìm là: 665280 – (5040 + 20160 + 60480) = 579600 Bài 13: (ĐH Huế khối A chuyên ban 2000) Một lớp có 30 học sinh nam và 15 học sinh nữ. Có 6 học sinh được chọn ra để lập một tốp ca. Hỏi có bao nhiêu cách chọn khác nhau nếu: 1) phải có ít nhất là 2 nữ. 2) chọn tuỳ ý. Bài giải 1. Để có ít nhất là 2 nữ thì ta phải chọn: * 2 nữ, 4 nam ® có cách hoặc * 3 nữ, 3 nam ® có cách hoặc * 4 nữ, 2 nam ® có cách hoặc * 5 nữ, 1 nam ® có cách hoặc * 6 nữ ® có cách Vậy: có + + + + cách 2. Nếu chọn tuỳ ý thì số cách chọn là: . Bài 14: (ĐH Huế khối DRT chuyên ban 2000) Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5. Từ các chữ số đã cho ta có thể lập được: 1. Bao nhiêu số chẵn có bốn chữ số và bốn chữ số đó khác nhau từng đôi một. 2. Bao nhiêu số chia hết cho 5, có ba chữ số và ba chữ số đó khác nhau từng đôi một. 3. Bao nhiêu số chia hết cho 9, có ba chữ số và ba chữ số đó khác nhau từng đôi một. Bài giải 1. Số chẵn gồm bốn chữ số khác nhau có dạng: hoặc hoặc * Với số ta có: 5 cách chọn a, 4 cách chọn b, 3 cách chọn c. Þ Có 5.4.3 = 60 số * Với số hoặc ta có: 4 cách chọn a, 4 cách chọn b, 3 cách chọn c. Þ Có 4.4.3 = 48 số và 48 số Vậy có: 60 + 48 + 48 = 156 số chẵn. 2. Số chia hết cho 5 và gồm ba chữ số có dạng hoặc . * Với số ta có: 5 cách chọn a, 4 cách chọn b. Þ Có 5.4 = 20 số * Với số ta có: 4 cách chọn a, 4 cách chọn b. Þ Có 4.4 = 16 số Vậy có: 20 + 16 số cần tìm. 3. Gọi là số chia hết cho 9 gồm ba chữ số khác nhau. Khi đó {a,b,c} có thể là: {0,4,5}, {1,3,5}, {2,3,4}. * Khi {a,b,c} = {0,4,5} thì các số phải tìm là: 405, 450, 504, 540 ® có 4 số * Khi {a,b,c} = {1,3,5} hay {2,3,4} thì số phải tìm là hoán vị của 3 phần tử ® có 3! = 6 số. Vậy có: 4 + 6 + 6 = 16 số cần tìm. Bài 15: (ĐH Y HN 2000) Có 5 nhà toán học nam, 3 nhà toán học nữ và 4 nhà vật lí nam. Lập một đoàn công tác 3 người cần có cả nam và nữ, cần có cả nhà toán học và nhà vật lí. Hỏi có bao nhiêu cách? Bài giải Số cách chọn 1 nhà toán học nam, 1 nhà toán học nữ, 1 nhà vật lí nam là: = 5.3.4 = 60 Số cách chọn 1 nhà toán học nữ, 2 nhà vật lí nam là: = 18 Số cách chọn 2 nhà toán học nữ, 1 nhà vật lí nam là: = 12 Vậy: có 60 + 18 + 12 = 90 cách chọn Bài 16: (ĐH Cần Thơ khối D 2000). Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 ta lập các số mà mỗi số có năm chữ số trong đó các chữ số khác nhau từng đôi một. Hỏi 1. Có bao nhiêu số trong đó phải có mặt chữ số 2. 2. Có bao nhiêu số trong đó phải có mặt hai chữ số 1 và 6. Bài giải Xét số năm chữ số 1. Xếp chữ số 2 vào một trong năm vị trí: có 5 cách xếp Sau đó xếp 5 chữ số còn lại vào 4 vị trí còn lại: có = 120 cách. Vậy có 5.120 = 600 số. 2. Xếp các chữ số 1 và 6 vào 5 vị trí: có cách. Xếp 4 chữ số còn lại vào 3 vị trí còn lại: có = 24 cách. Vậy có . = 480 số. Bài 17: (ĐH Thái Nguyên khối AB 2000) Một đội văn nghệ có 20 người, trong đó có 10 nam và 10 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 5 người sao cho: 1. Có đúng 2 nam trong 5 người đó. 2. Có ít nhất 2 nam và ít nhất 1 nữ trong 5 người đó. Bài giải 1. Chọn 2 nam và 3 nữ: có = 5400 cách. 2. Có ít nhất 2 nam và 1 nữ, có các kiểu chọn sau: * 2 nam và 3 nữ: có 5400 cách * 3 nam và 2 nữ: có = 5400 cách * 4 nam và 1 nữ: có = 2100 cách Vậy có: 5400 + 5400 + 2100 = 12900 cách. Bài 18: (ĐH Thái Nguyên khối D 2000) Từ 3 chữ số 2, 3, 4 có thể tạo ra được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số, trong đó có mặt đủ 3 chữ số trên. Bài giải Tất cả có 9.10.10.10.10 = 90000 số tự nhiên có 5 chữ số. Trong các số có 5 chữ số này, xét các số không có mặt các chữ số 2, 3, 4. Loại này có: 6 cách chọn chữ số hàng vạn 7 cách chọn chữ số hàng nghìn 7 cách chọn chữ số hàng trăm 7 cách chọn chữ số hàng chục 7 cách chọn chữ số hàng đơn vị Do đó có 6.7.7.7.7 = 14406 số. Vậy tất cả có: 90000 – 14406 = 75594 số có 5 chữ số, trong đó có mặt đủ các chữ số 2, 3, 4. Bài 19: (ĐH Thái Nguyên khối G 2000) Có bao nhiêu số gồm 5 chữ số sao cho tổng các chữ số của mỗi số là một số lẻ. Bài giải Xét một số có 4 chữ số tuỳ ý đã cho . Có hai khả năng: 1. Nếu a1 + a2 + a3 + a4 là số chẵn thì có thể lấy a5 Î {1, 3, 5, 7, 9} và lập được 5 số có 5 chữ số với tổng các chữ số là một số lẻ. 2. . Nếu a1 + a2 + a3 + a4 là số lẻ thì có thể lấy a5 Î {0, 2, 4, 6, 8} và lập được 5 số có 5 chữ số với tổng các chữ số là một số lẻ. Vì có tất ca 9.10.10.10 = 9000 số có 4 chữ số, mỗi số có 4 chữ số này lại sinh ra 5 số có 5 chữ số có tổng các chữ số là một số lẻ, nên có tất cả 9000.5 = 45000 số có 5 chữ số mà tổng các chữ số là một số lẻ. Bài 20: (ĐH Cần Thơ khối AB 2000) Có 9 viên bi xanh, 5 viên bi đỏ, 4 viên bi vàng có kích thước đôi một khác nhau. 1. Có bao nhiêu cách chọn ra 6 viên bi, trong đó có đúng 2 viên bi đỏ. 2. Có bao nhiêu cách chọn ra 6 viên bi, trong đó số bi xanh bằng số bi đỏ. Bài giải 1. Có: cách chọn ra 2 viện bi đỏ. cách chọn ra 4 viên bi còn lại. Vậy có: . = 7150 cách chọn 2. Có các trường hợp xảy ra: * 3 xanh, 3 đỏ, 0 vàng ® có cách * 2 xanh, 2 đỏ, 2 vàng ® có cách * 1 xanh, 1 đỏ, 4 vàng ® có cách Vậy có tất cả: + + = 3045 cách. Bài 21: (ĐH Đà Lạt khối ADV 2000) Có 5 thẻ trắng và 5 thẻ đen, đánh dấu mỗi loại theo các số 1, 2, 3, 4, 5. Có bao nhiêu cách sắp xếp tất cả các thẻ này thành một hàng sao cho hai thẻ cùng màu không nằm liền nhau. Bài giải Có 2 khả năng: 1. Các thẻ trắng ở vị trí lẻ, các thẻ đen ở vị trí chẵn ® có 5!5! cách 2. Các thẻ trắng ở vị trí chẵn, các thẻ đen ở vị trí lẻ ® có 5!5! cách Vậy tất cả có: 5!5! + 5!5! cách. Bài 22: (ĐH Sư phạm HN 2 khối A 2000) Có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số từ các chữ số: 1, 2, 3, 4, 5, 6 trong đó các chữ số 1 và 6 đều có mặt 2 lần, các chữ số khác có mặt 1 lần. Bài giải Có 8 ô trống, cần chọn ra 1 ô điền chữ số 2, 1 ô điền chữ số 3, 1 ô điền chữ số 4, 1 ô điền chữ số 5. Sau đó trong 4 ô còn lại, cần chọn 2 ô điền chữ số 1, cuối cùng còn lại 2 ô điền chữ số 6. Vậy có tất cả có: 8.7.6.5..1 = 10080 số thoả yêu cầu đề bài. Bài 23: (ĐH Sư phạm Vinh khối ABE 2000) Có bao nhiêu số khác nhau gồm 7 chữ số sao cho tổng các chữ số của mỗi số là một số chẵn. Bài giải Số các số có 6 chữ số là 9.105 số Với mỗi số có 6 chữ số ta lập được 5 số có 7 chữ số mà tổng các chữ số là một số chẵn. Vậy có tất cả: 9.105.5 = 45.105 số. Bài 24: (ĐH Sư phạm Vinh khối DGM 2000) Tìm tất cả các số tự nhiên có đúng 5 chữ số sao cho trong mỗi số đó chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng liền trước. Bài giải Theo yêu cầu của bài toán và số 0 không đứng trước bất kì số nào nên các số có 5 chữ số chỉ có thể tạo thành từ các số {1, 2, 3, 4, , 8, 9} = T. Ứng với mỗi bộ 5 chữ số phân biệt bất kì trong T chỉ có 1 cách sắp xếp duy nhất thoả mãn đứng sau lớn hơn chữ số liền trước. Vậy số các số cần tìm là: = 126. Bài 25: (HV Kỹ thuật quân sự 2000) Một đồn cảnh sát khu vực có 9 người. Trong ngày, cần cử 3 người làm nhiệm vụ ở địa điểm A, 2 người ở địa điểm B, còn 4 người thường trực tại đồn. Hỏi có bao nhiêu cách phân công? Bài giải Có tất cả: = 1260 cách Bài 26: (ĐH GTVT 2000) Một lớp học có 20 học sinh, trong đó có 2 cán bộ lớp. Hỏi có bao nhiêu cách cử 3 người đi dự hội nghị Hội sinh viên của trường sao cho trong 3 người đó có ít nhất một cán bộ lớp. Bài giải Có 2 khả năng: * 1 cán bộ lớp và 2 học sinh thường: có * 2 cán bộ lớp và 1 học sinh thường: có Vậy số chọn là: + = 324 cách. Bài 27: (HV Quân y 2000) Xếp 3 viên bi đỏ có bán kính khác nhau và 3 viên bi xanh giống nhau vào một dãy 7 ô trống. Hỏi: 1. Có bao nhiêu cách xếp khác nhau? 2. Có bao nhiêu cách xếp khác nhau sao cho 3 viên bi đỏ xếp cạnh nhau và 3 viên bi xanh xếp cạnh nhau? Bài giải 1. Trước hết xếp 3 viên bi đỏ vào 7 ô trống. Do các viên bi đỏ khác nhau nên số cách xếp là . Sau đó xếp 3 viên bi xanh vào 4 ô còn lại. Do các viên bi xanh giống nhau nên số cách xếp là . Vậy số cách xếp khác nhau là: . = 840 cách. 2. Trước hết ta cần chú ý về màu, để đỏ đứng cạnh nhau và xanh đứng cạnh nhau chỉ có 6 cách xếp. Sau đó, do các viên bi đỏ khác nhau, nên ta hoán vị các viên bi đỏ với nhau. Số các hoán vị là 3! Vậy số cách xếp khác nhau để các viên bi đỏ đứng cạnh nhau và các viên bi xanh đứng cạnh nhau là: 6.3! = 36 cách. Bài 28: (ĐH Cảnh sát nhân dân khối G CPB 2000) Có bao nhiêu số lẻ gồm 6 chữ số, chia hết cho 9? Bài giải Các số có 6 chữ số, chia hết cho 9, viết theo thứ tự tăng là: 100008, 100017, 100035, , 999999 Các số lẻ có 6 chữ số, chia hết cho 9, lập thành một cấp số cộng: u1 = 100017, 100035, , un = 999999 với công sai d = 18. Do đó: un = u1 + (n – 1)d Û 999999 = 100017 + (n – 1).18 Û n = 50000 Vậy tất cả có 50000 số lẻ gồm 6 chữ số, chia hết cho 9. Bài 29: (ĐH Cảnh sát nhân dân khối G CB 2000) Có bao nhiêu số lẻ gồm 6 chữ số khác nhau lớn hơn 500000? Bài giải Xét số lẻ có 6 chữ số khác nhau, lớn hơn 500000: x = Từ giả thiết Þ a1 Î {5,6,7,8,9}, a6 Î {1,3,5,7,9} Có 2 khả năng: 1. a1 lẻ: * a1 có 6 cách chọn * a6 có 4 cách chọn * sau khi chọn a1, a6, cần chọn , mỗi cách chọn ứng với một chỉnh hợp chập 4 của 8 phần tử. Vậy khả năng thứ nhất có: 6.4. = 40320 số 2. a1 chẵn: * a1 có 2 cách chọn * a6 có 5 cách chọn * có cách chọn Vậy khả năng thứ hai có: 2.5. = 16800 số Kết luận: Tất cả có: 40320 + 16800 = 57120 số cần tìm. Bài 30: (CĐSP Nha Trang 2000) Với các số: 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể thành lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau và trong đó phải có mặt chữ số 0. Bài giải Số các số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau được viết từ 6 chữ số: 0, 1, 2, 3, 4, 5 là: 5. = 300 Trong các số nói trên, số các số tự nhiên không có mặt chữ số 0 là: = 120 Vậy số các số tự nhiên thoả mãn yêu cầu là: 300 – 120 = 180 số. Bài 31: (CĐSP Nhà trẻ – Mẫu giáo TƯ I 2000) Một lớp học sinh mẫu giáo gồm 15 em, trong đó có 9 em nam, 6 em nữ. Cô giáo chủ nhiệm muốn chọn một nhóm 5 em để tham dự trò chơi gồm 3 em nam và 2 em nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn? Bài giải Chọn 3 em nam: có cách Chọn 2 em nữ: có cách Vậy có: . = 1260 cách. Bài 32: (ĐH An ninh khối D 2001) Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 4. Hỏi có thể thành lập được bao nhiêu số có bảy chữ số từ những chữ số trên, trong đó chữ số 4 có mặt đúng 3 lần, còn các chữ số khác có mạt đúng 1 lần. Bài giải Giả sử số có 7 chữ số lập được viết trong 7 ô của hình sau: Thế thì: * Có 6 cách chọn vị trí cho chữ số 0 (trừ ô số 1) * Sau khi đã chọn vị trí cho số chữ 0 ta còn = 20 cách chọn vị trí cho 3 chữ số 4. * Sau khi đã chọn vị trí cho chữ số 0 và chữ số 4, ta còn 3! = 6 cách chọn cho 3 chữ số còn lại. Vậy số các số lập được là: 6.20.6 = 720 số. Bài 33: (ĐH Cần Thơ 2001) Một nhóm gồm 10 học sinh, trong đó có 7 nam và 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp 10 học sinh trên thành một hàng dài sao cho 7 học sinh nam phải đứng liền nhau. Bài giải Coi 7 học sinh nam đứng liền nhau như một vị trí mà thôi thì số cách để bố trí 7 học sinh đứng liền nhau xen kẽ với 3 học sinh nữ bằng 4!. Nhưng để xếp 7 học sinh nam đứng liền nhau thì lại có 7! cách. Vậy tất cả có: 4!7! = 120960 cách. Bài 34: (HV Chính trị quốc gia 2001) Một đội văn nghệ có 10 người, trong đó có 6 nữ và 4 nam. 1. Có bao nhiêu cách chia đội văn nghệ thành hai nhóm có số người bằng nhau và mỗi nhóm có số nữ như nhau. 2. Có bao nhiêu cách chọn ra 5 người mà trong đó không có quá 1 nam. Bài giải 1. Chia đội văn nghệ thành hai nhóm có số người bằng nhau và mỗi nhóm có số nữ như nhau tức là chia mỗi nhóm có 5 người mà trong đó có 3 nữ và 2 nam Þ số cách chia là: = 120 2. * Số cách chọn ra 5 người mà không có nam là: = 6 * Số cách chọn ra 5 người mà có 1 nam (và 4 nữ) là: = 60 Vậy số cách chọn ra 5 người mà có không quá 1 nam là: 6 + 60 = 66. Bài 35: (ĐH Giao thông vận tải 2001) Cho 8 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Hỏi có thể lập được bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau, trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 4. Bài giải Giả sử số cần tìm có dạng: A = . + Nếu a1 = 4 thì các chữ số còn lại của A là một trong 7 chữ số 0, 1, 2, 3, 5, 6, 7. Vậy có = 2520 số. + Nếu a1 ≠ 4 thì vì a1 ≠ 0 nên chỉ có 6 cách chọn a1. Vì số 4 phải có đúng một trong 5 vị trí còn lại là a2, a3, a4, a5, a6. Khi đó các vị trí khác (không có chữ số 4) sẽ chỉ còn số khác nhau. Vậy trường hợp này có 6.5. = 10800 số. Vậy tất cả có: 2520 + 10800 = 13320 số. Bài 36: (ĐH Huế khối ABV 2001) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số sao cho không có chữ số nào lặp lại đúng 3 lần? Bài giải · Số các số tự nhiên có 4 chữ số là: 9.10.10.10 = 9000 số · Ta tìm số các số tự nhiên có 1 chữ số lặp lại đúng 3 lần: + Số 0 lặp lại đúng 3 lần ứng với số tự nhiên với a Î {1,2,3,..,9} Þ có 9 số + Số 1 lặp lại đúng 3 lần ứng với các số: * với a Î {2,3,4, ,9} Þ có 8 số * với b Î {0,2,3,, 9} Þ có 9 số * với c Î {0,2,3,, 9} Þ có 9 số * với d Î {0,2,3,, 9} Þ có 9 số Þ có 8 + 9 + 9 + 9 = 35 số + Tương tự với mỗi số từ 2 đến 9 ta cũng tìm được 35 số tự nhiên sao cho mỗi chữ số trên lặp lại đúng 3 lần. Do đó số các số tự nhiên có một chữ số lặp lại đúng 3 lần là: 9 + 9.35 = 324 số · Vậy số các số tự nhiên gồm 4 chữ số mà trong đó không có chữ số nào lặp lại đúng 3 lần là: 9000 – 324 = 8676 số. Bài 37: (ĐH Huế khối DHT 2001) Từ một nhóm học sinh gồm 7 nam và 6 nữ, thầy giáo cần chọn ra 5 em tham dự lễ mittinh tại trường với yêu cầu có cả nam và nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn? Bài giải * Số cách chọn 5 em từ 13 em là: = 1287 * Số cách chọn 5 em toàn nam là: = 21 * Số cách chọn 5 em toàn nữ là: = 6 Vậy số cách chọn 5 em có cả nam và nữ là: 1287 – (21 + 6) = 1260 Bài 38: (HV Kỹ thuật quân sự 2001) Trong số 16 học sinh có 3 học sinh giỏi, 5 khá, 8 trung bình. Có bao nhiêu cách chia số học sinh đó thành 2 tổ, mỗi tổ có 8 người sao cho ở mỗi tổ đều có học sinh giỏi và mỗi tổ có ít nhất 2 học sinh khá. Bài giải Mỗi tổ có 1 hoặc 2 học sinh giỏi. Vì không phân biệt thứ tự của 2 tổ nên số cách chia phải tìm là số cách tạo thành một tổ có 8 học sinh trong đó phải có 1 học sinh giỏi và ít nhất 2 học sinh khá. Các học sinh còn lại tạo thành tổ thứ hai. · Trường hợp 1: Có 2 học sinh khá: * Có 3 cách chọn 1 học sinh giỏi. * Có = 10 cách chọn 2 học sinh khá. * Có = 56 cách chọn 5 học sinh trung bình. Þ Có: 3.10.56 = 1680 cách. · Trường hợp 2: Có 3 học sinh khá: * Có 3 cách chọn 1 học sinh giỏi. * Có = 10 cách chọn 3 học sinh khá. * Có = 70 cách chọn 4 học sinh trung bình. Þ Có: 3.10.70 = 2100 cách. Vậy có tất cả: 1680 + 2100 = 3780 cách. Bài 39: (ĐH Kinh tế quốc dân 2001) Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên mà mỗi số có 5 chữ số khác nhau và trong đó phải có chữ số 5. Bài giải Ta sử dụng 5 ô sau để viết số có 5 chữ số: · Trường hợp 1: Số tạo thành chứa chữ số 0: Có 4 cách chọn vị trí cho chữ số 0. Sau đó còn 4 cách chọn vị trí cho chữ số 5. Số cách chọn 3 chữ số cọn lại là: Þ Số các số thu được là: 4.4. = 960 số · Trường hợp 2: Số tạo thành không chứa số 0: Có 5 cách chọn vị trí cho chữ số 5. Số cách chọn 4 chữ số còn lại là: Þ Số các số thu được là: 5. = 600 số. Vậy có tất cả: 960 + 600 = 1560 số. Bài 40.(HV Ngân hàng TPHCM khối A 2001) 1. Có thể tìm được bao nhiêu số gồm 3 chữ số khác nhau đôi một? 2. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số chẵn có 5 chữ số đôi một khác nhau? Bài giải 1. Có 9 cách chọn chữ số hàng trăm, 9 cách chọn chữ số hàng chục, 8 cách chọn chữ số hàng đơn vị. Vậy có 9.9.8 = 648 số. 2. · Trường hợp 1: Chữ số tận cùng bằng 0. Bốn chữ số đứng đầu được chọn tuỳ ý trong 7 chữ số còn lại nên số các số tạo thành là: = 840 · Trường hợp 2: Chữ số tận cùng khác 0. * Chữ số tận cùng có 3 cách chọn (từ 2, 4, 6) * Chữ số đứng đầu có 6 cách chọn * 3 chữ số còn lại được chọn tuỳ ý trong 6 chữ số còn lại. Þ Số các số tạo thành: 3.6. = 2160 Vậy có tất cả: 840 + 2160 = 3000 số. Bài 41.(ĐH Ngo