Bài giảng môn Đại số lớp 11 - Bài 8: Hàm số liên tục (Tiết 1)

KIỂM TRA BÀI CŨTính giới hạn:Bài giải:Ta có:HÀM SỐ LIÊN TỤCTính chất và Ứng dụngTrên một khoảng, một đoạnTại một điểmBài 8:HÀM SỐ LIÊN TỤC1. Hàm số liên tục tại một điểm:Giả sử hàm số f xác định trên khoảng (a;b) và .Hàm số f được gọi là liên tục tại điểm x0 nếu:Định nghĩaHàm số không liên tục tại điểm x0 được gọi là gián đoạn tại điểm x0 và x0 gọi là điểm gián đoạn của hàm số f (x)Do đó, hàm số f(x) xác định trên (a ; b) liên tục tại điểm x0  (a ; b) nếu và chỉ nếu:= LNêu điều kiện tồn tại giới hạn hàm số?Ví dụ 1:a) Hàm số liên tục tại mọi điểm x0 > - 1 vìb) Hàm số bị gián đoạn tại điểm x0 = - 3 và x0 = 1 vì:không tồn tại.Ví dụ 2:Xét tính liên tục của hàm số:tại điểm x = 0Ta có: và Bài giảiVì nên hàm số f bị gián đoạn tại điểm x = 0Tìm điểm gián đoạn của hàm số:Ví dụ 3:Bài giảiTa có x0 là điểm gián đoạn của hàm số2. Hàm số liên tục trên một khoảng, trên một đoạn: Định nghĩa: a) Giả sử hàm số f xác định trên tập hợp J, trong đó J là một khoảng hoặc hợp chủa nhiều khoảng. Ta nói rằng hàm số f liên tục trên J nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc tập hợp đó.b) Hàm số f xác định trên đoạn [a;b] được gọi là liên tục trên đoạn [a;b] nếu nó liên tục trên khoảng (a;b) vàChứng minh rằng: Hàm số liên tục trên đoạn [-4;1]Ví dụ 4:Bài giải:-Tập xác định D = [-4;1] Hàm số đã cho xác định trên đoạn [-4;1](1)Từ (1) (2) và (3) suy ra đpcm.(2)(3)Với mọi xo (-4;1), ta có:Tìm a, b để hàm số liên tục tại điểm x = 1Ví dụ 5:Bài giải:Hàm số đã cho liên tục tại điểm x = 1Điều đó xảy ra khi và chỉ khiVậy: (a;b)= (3;-1) là cặp số duy nhất thỏa bài toána) Tổng, hiệu, tích, thương của hai hàm số liên tục tại một điểm là những hàm số liên tục tại điểm đó.(trong trường hợp thương, giá trị mẫu tại điểm đó phải khác 0)b)Hàm đa thức và hàm phân thức hữu tỉ liên tục trên tập xác định của chúng.c) Hàm số liên tục trên một khoảng hay một đoạn có đồ thị là một đường liền nét.Nhận xét:Các hàm số lượng giác liên tục trên tập xác định của chúng. Định lí 1Chú ýDo đó, các hàm số sơ cấp liên tục trên tập xác định của chúng.- Các hàm số c, x, sinx, cosx, tanx, cotx được gọi là các hàm số sơ cấp cơ bản. - Các hàm số thu được từ các hàm sơ cấp cơ bản bằng cách lấy tổng hiệu, tích, thương và phép lấy hàm hợp được gọi là hàm số sơ cấp.3. Tính chất của hàm số liên tục:Định lí 2:Giả sử hàm số f liên tục trên đoạn [a;b]. Nếu thì với mỗi số thực M nằm giữa f(a) và f(b), tồn tại ít nhất một điểm sao cho f(x) = MÝ nghĩa hình học Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a;b] và M là một số thực nằm giữa f(a) và f(b) thì đường thẳng y = M cắt đồ thị hàm số y = f(x) ít nhất tại một điểm có hoành độ Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b) < 0 thì tồn tại ít nhất một điểm sao cho f(c) =0 . HỆ QUẢÝ nghĩa hình học Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a;b] và f(a). f(b)<0 thì đồ thị hàm số y = f(x) cắt trục hoành ít nhất tại một điểm có hoành độ Ví dụ 6:Chứng minh rằng phương trình có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng (0;1)Bài giảiXét hàm số liên tục trên đoạn [0;1].Ta có: f(0) = -1 và f(1) = 1.Vì f(0).f(1) <0 nên ta suy ra tồn tại ít nhất một điểm sao cho f(c) = 0, tức là phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0;1)Chỉ ra một khoảng có nghiệm của phương trình: Ví dụ 7Phương trình có nghiệm trong khoảng (0;1)Bài giảiChú ý:Nếu không có điều kiện hàm số f liên tục trên đoạn [a;b] thì không thể kết luận sự tồn tại nghiệm của phương trình f(x) =0 trên khoảng (a;b)Ví dụHàm số có f(1).f(-1) < 0 nhưng phương trình   vô nghiệmTính giới hạnvà sinx là hàm số liên tục trên R nênBài giảiNếu f là một hàm số liên tục vàthì ta có Bài tậpGọi  Xét tính liên tục của hàm số: GiảiCẢM ƠN CÁC BẠN