Bài giảng môn Đại số lớp 11 - Bài 3: Hàm số liên tục (Tiết 2)

Bài 3: HÀM SỐ LIÊN TỤCHàm số liên tục tại một điểm:Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng (a ; b). Hàm số f(x) được gọi là liên tục tại điểm x0  (a ; b) nếuNếu tại điểm x0 hàm số không liên tục thì nó được gọi là gián đoạn tại x0 và điểm x0 được gọi là điểm gián đoạn của hàm số f(x). Nêu điều kiện tồn tại giới hạn của hàm số?Vậy hàm số f(x) xác định trên (a ; b) liên tục tại điểm x0  (a ; b) nếu và chỉ nếu:= Lb. Ví dụ:Cho hàm sốnếu x  1nếu x = 1Xét tính liên tục của hàm số tại điểm x0 = 1GiảiTập xác định: D = RTa có f(1) = a và2Vậy:- Nếu a =2 thì 2= f(1)Do đó f(x) liên tục tại x0 = 1- Nếu a  2 thì f(1)Do đó f(x) gián đoạn tại x0 = 1c. Đặc trưng khác của tính liên tục tại một điểmCho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng K. Giả sử x0 và x (x  x0 ) là hai điểm thuộc K.Hiệu x –x0 thường đựơc kí hiệu là x được gọi là số gia của đối số tại điểm x0Ta có:x = x –x0  x = x0 + x Hiệu y – y0 = f(x) – f(x0), kí hiệu là y - được gọi là số gia tương ứng của hàm số tại x0.Ta có: y = y – y0 = f(x) – f(x0) = f(x0 + x ) - f(x0) Định lí:Hàm số y = f(x) xác định trên khoảng K là liên tục tại x0  K nếu và chỉ nếu: 2. Hàm số liên tục trên một khoảng:a. Định nghĩa:- Hàm số f(x) xác định trên khoảng (a ; b) được gọi là liên tục trên khoảng đó nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng ấy. Hàm số f(x) xác định trên đoạn [ a; b] được gọi là liên tục trên đoạn đó nếu nó liên tục trên khoảng (a ; b) và:b. Một số định lý về hàm số liên tục:Định lý 1: Tổng, hiệu, tích, thương (với mẫu khác 0) của hàm số liên tục tại một điểm là liên tục tại điểm đó. Định lí 2: Các hàm số đa thức, hàm số hữu tỉ, hàm số lượng giác là liên tục trên tập xác định của chúng.Định lý 3:Nếu hàm số f(x) là liên tục trên đoạn [ a; b], thì nó đạt được giá trị nhỏ nhất và lớn nhất và mọi giá trị trung gian giữa GTNN và GTLN tên đoạn đó.Hệ quả: Nếu hàm số f(x) là liên tục trên đoạn [ a; b] và f(a).f(b) < 0 thì tồn tại ít nhất một điểm c  (a ; b) sao cho f(c) = 0.Hay: Nếu hàm số f(x) là liên tục trên đoạn [ a; b] và f(a).f(b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trên khoảng (a ; b).Ví dụ: CMR phương trình f(x) = x5 + x – 1 = 0 có nghiệm trên khoảng (-1 ; 1).Giải: hàm số f(x) = x5 + x – 1 là liên tục trên R.Vì f(-1) = -1 - 1 –1 = -3 và f(1) = 1 + 1 – 1 = 1Nên f(-1).f(1) = -3 < 0.Vậy pt có ít nhất một nghiệm nằm trong khoảng (-1;1)Bài tập:Xác định các hàm số sau có liên tục tại mọi x không, nếu chúng không liên tục thì chỉ ra các điểm gián đoạn.a. f(x) = x3- 2x2 + 3x + 1Tập xác định: D = RHàm số liên tục tại mọi x  RTập xác định: D = R \ {0 ; 2}