Bài giảng môn Đại số lớp 11 - Bài 2: Dãy số

BÀI 2: DÃY SỐHÌNH THÀNH KHÁI NIỆMCho hàm số u(n) = 2n +1 xác địnhn N*Hãy tính u(1); u(2); u(3); u(4); u(5),Thay lần lượt thứ tự n = 1, 2, 3, 4, 5,k. vào u(n) = 2n +1 ta được: n = 1: u(1) = 3 n = 2: u(2) = 5 n = 3: u(3) = 7 n = 4: u(4) = 9 n = 5: u(5) = 11 . n = k: u(k)= 2k + 1Nhận xét: Khi thay n theo thứ tự 1,2,3,4,5,k, thì ta được các giá trị tương ứng của u(n) lập thành một dãy số: 3, 5, 7, 9,11,, 2k+1,..I/ DÃY SỐ1/ Định nghĩa: * Hàm số u(n) xác định n N* được gọi là một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số).* Kí hiệu dãy số là (un)Thay thứ tự n = 1, 2, 3,.ta được các số hạng tương ứng cuả dãy số là u1, u2, u3,Dạng khai triển của dãy số (un) là: u1, u2, ........,un,..........Trong đó: u1 : số hạng thứ nhất u2 : số hạng thứ hai ................... un : số hạng thứ n hay được gọi là số hạng tổng quát của dãy số (un)* Nếu dãy số xác định trên tập M = {1,2,3,.....m} thì ta gọi dãy số là dãy số hữu hạn.2/ VÍ DỤ:a) Cho dãy số u(n) = n2 . Hãy viết dạng khai triển của nó: 1, 4, 9, 16, 25..........b) Dãy số 1, 3, 5, 7,.....Hãy viết công thức cho số hạng tổng quát un : un=2n – 1II/ CÁCH CHO DÃY SỐ:1/ Cho dãy số bằng công thức của số hạng tổng quát:Cho dãy số (un) với un = 3n +1 Dạng khai triển là: 4, 7, 10, 13,........2/ Dãy số cho bằng công thức truy hồi:Cho dãy số (n  2)Dạng khai triển là: 2, 5, 8, 11, 14III/ BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CỦA DÃY SỐBiểu diễn hình học của dãy số như sau: u5 u4 u3 u2 u1 un 0 1/5 ¼ 1/3 ½ 1IV/ DÃY SỐ TĂNG, DÃY SỐ GIẢM VÀ DÃY SỐ BỊ CHẶN1/ Dãy số tăng- dãy số giảm:* Dãy số (un) gọi là tăng nếu  nN* : un un+1 (u1 > u2 > ......... > un > un+1>......)Ví dụ: Dãy (un) với un = 2n- n2 là dãy giảm 1, 0, -3, -8,........ * Phương pháp xét tính tăng - giảm của một dãy số:a) Dãy số (un) tăng  nN* , un+1 – un > 0b) Nếu các số hạng của dãy số (un) đều dương thì : Dãy số (un) tăng  n N* , Ta có điều ngược lại cho dãy số giảm.VÍ DỤ  Xét tính đơn điệu của các dãy số sau : a) Dãy số (un) với un = n – 2n Ta có un+1= n+1 – 2n+1Xét: un+1 – un = (n+1 – 2n+1) – (n – 2n) = 1 – 2n+1 + 2n = 1- 2.2n + 2n = 1 – 2n.(2-1) = 1 – 2n 0  N* nên ta xét tỉ số ( Vì và a  1) Vậy dãy (un) tăng* Chú ý : Không phải mọi dãy số đều tăng hay giảmVí dụ: Dãy số (un) với un = (-3)n là dãy số không tăng không giảm: -3, 9, - 27, 81....2/ DÃY SỐ BỊ CHẶN 1/ Định nghĩa : - Dãy số (un) gọi là bị chặn trên nếu  M sao cho:  n N* , un  M Ví dụ: Dãy số (un) với un Bị chặn trên bởi chặn trên bởi số 2vì - Dãy số (un) gọi là bị chặn dưới nếu  m sao cho:  n N* , un  mVí dụ: Dãy số (un) với un=1 + n2 bị chặn dưới bởi số 1 - Dãy số (un) gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức  m, M sao cho:  n N* , m  un  MVí dụ: Dãy số (un) với un bị chặn dưới bởi 1 và chặn trên bởi 2 Ví dụ : Hãy chứng minh dãy số (un) với un = bị chặn.Giải:* Ta có > 0 n  N*- Mặt khác: 2n -1 < 2nSuy ra 0 < tức 0 < < 2 Vậy dãy số (un) bị chặn BÀI THU HOẠCHCho dãy số (un) với un = , nN*a) Viết 5 số hạng đầu.b) Số là số hạng thứ mấy?c) Chứng minh dãy số giảm và bị chặn.