Bài giảng môn Đại số lớp 11 - Bài 2: Các qui tắc tính đạo hàm

Kiểm tra bài cũCÂU HỎICho hàm số f(x)= x2+2x+1. Khẳng định nào sau đây là sai?f(2) = 9 C. f(a+1)= (a+2)2.f(-m) = (m-1)2 D. f(3) = 5Cho hàm số f(x) = x5 - + 1. Khi đó f ’(1) bằng:A. 5 B. 1 C. 6 D. 7Đ 2. Các qui tắc tính đạo hàm4. Đạo hàm của hàm số hợp:a. Khái niệm hàm số hợp:Cho hai hàm số y=f(u) và u=u(x). Thay thế biến u trong biểu thức f(u) bởi biểu thức u(x), ta được biểu thức f[u(x)] với biến x. Khi đó, hàm số y= g(x) với g(x) = f[u(x)] được gọi là hàm số hợp của hai hàm số f và u; hàm số u gọi là hàm số trung gian. Cho f(u) = và u(x) = x-3 . Hãy tìm hàm số hợp y= f[u(x)] và tập xác định của nó.Giải: Hàm số y= f[u(x)] = , xác định trên nửa khoảng [3; + ).Cho f(u) = và u(x) = . Hãy tìm hàm số hợp y= f[u(x)] và tập xác định của nó.Giải: Hàm số y= f[u(x)] = , xác định trên khoảng (1; + ).b. Cách tính đạo hàm của hàm số hợpĐịnh lý 4: Nếu hàm số u =u(x) có đạo hàm tại điểm x0 và hàm số y = f(u) có đạo hàm tại u0=u(x0) thì hàm số hợp g(x) = f[u(x)] có đạo hàm tại điểm x0, và g’(x0) = f’(u0).u’(x0) .b. Nếu trong giả thiết phần a) được thỏa mãn đối với mọi điểm x thuộc J thì hàm số hợp y = g(x) có đạo hàm trên J , và g’(x) = f’[u(x)].u’(x). Công thức thứ hai được viết gọn lại là g’x = f’u.u’xVí dụ: Cho hàm số f(x) = x2-3x và hàm số g(x) = 2x+1. Tìm hàm số hợp y = g[f(x)] và tính đạo hàm của nó.Chứng minh: áp dụng công thức tính đạo hàm ở định lý 4 . Hãy tính đạo hàm của hàm số sau: g(x) = f[u(x)] = (x3+4x+5)4 .Giải: Ta có f’(u) = (u4)’=4u3 . Do u(x) = x3+4x+5 nên u’(x)= 3x2 +4. Vậy g’(x) = f’[u(x)].u’(x) = 4(x3 +4x+5)3(3x2 +4). Từ ví dụ trên hãy tổng quát hóa cho trường hợp đạo hàm của hàm số y = (u(x)n) ( với n N và n 2). Nếu hàm số u = u(x) có đạo hàm trên J thì hàm số y = un(x) ( với n tự nhiên và n>1) có đạo hàm trên J, và [ un(x)]’= n.un-1(x).u’(x).Nếu hàm u = u(x) có đạo hàm trên J và u(x)>0 với mọi x thuộc J thì hàm sốCó đạo hàm trên J, vàTìm hàm số f sao cho hàm số là hàm số hợp của hàm số f và hàm số trung gian u = u(x)Chứng minh rằng nếu hàm số u = u(x) có đạo hàm trên J và u(x)>0 với mọi x thuộc J thì hàm số cũng có đạo hàm trên J và Hệ quả 1:Hệ quả 2:Giải : là hàm số hợp của hàm số và hàm số trung gian u= u(x)Ví dụ: Tính đạo hàm của hàm số sau:Ví dụ: Tính đạo hàm của hàm số sau: Bài tập : Tính đạo hàm các hàm số sau: y = (x7+x)2Ghi nhớa) Đạo hàm của một số hàm số thường gặp ( ở đây u = u(x) ).b) Các qui tắc tính đạo hàm ( ở đây u = u(x), v = v(x) )c) Đạo hàm của hàm hợp ( ở đây g(x) = f[u(x)] )Cho hàm số khẳng định nào sau đây là đúng(A) Vì 2 là hằng số nên f’(2) = 0(B) Với x 2 thì f’(x) = (x2-3x)’= 2x-3 nên f’( 2) = 2.2 - 3 = 1(C) Với x> 2 thì f’(x) =( x+1)’=1 nên f’( 2) =1(D) Hàm số không có đạo hàm tại điểm x0= 2(C) Vì nên f’(0) = + (A) Vì f’(0)=0 nên f’(0) = 0(B) Vì hàm số f(x) không xác định khi x<0 nên không tồn tại f’(0)(D) Vì nên f’(0)= +Cho hàm số Củng cố bài họcQua bài học hôm nay các em cần nắm vững: +) Nắm được định nghĩa của hàm số hợp ( chỉ xét hàm số hợp của các hàm số cho bởi công thức). +) Quy tắc tính đạo hàm của hàm số hợp, đặc biệt là hai công thức tính đạo hàm của hàm số hợp y= un(x) và Cách 1: (Sử dụng phương pháp xấp xỉ tiếp tuyến)Giả sử cho hai hàm số f(u) và u= g(x) . Cần tính (f[g(x)])’. Xét một giá trị x0 tùy ý ( thuộc miền xác định của g), u0= g(x0). Tiếp tuyến tại điểm (u0;f(u0)) của f có phương trình y1= f’(u0)(u-u0)+f(u0)Tiếp tuyến tại điểm (x0;g(x0)) của g có phương trình y2= g’(x0)(x-x0)+ g(x0)Tiếp tuyến tại điểm ( x0; f[g(x0)] )của f[g(x)] có phương trình y= (f[g(x)] )’(x0)(x-x0)+ f[g(x0)] Suy ra y1 = f’(g(x0))[g’(x0) (x-x0)+ g(x0)-g(x0)] +f(g(x0) = f’(g(x0)) g’(x0) (x-x0) +f(g(x0)Do y1=y nên (f[g(x)])’= f’[g(x0)].g’(x0) . Điều này xảy ra với mọi giá trị của x0 nên ta có quy tắc (f(g))’= f’g.g’xCách 2: Dùng định nghĩa ( SGK Đại số & giải tích 12 - Chỉnh lý 200 )Revew Chân thành cảm ơn sự chú ý theo dõi của các thầy cô giáo và các em học sinh ! Chúc sức khoẻ các thầy cô giáo và các em !Thao Giang GVG dot 2