Bài giảng môn Đại số lớp 11 - Bài 1: Phương pháp qui nạp

CHƯƠNG III : DÃY SỐ§1.PHƯƠNG PHÁP QUI NẠPĐể cm mệnh đề T(n) (1) phụ thuộc nN*, ta làmnhư sau: (ví dụ: 1+2+3++n=n(n+1)/2Bước 1: Kiểm tra T(1) đúng khi thay n = 1Bước 2: giả sử mệnh đề đúng với n=k, ta cm MĐĐúng với n = k+1Bước 3: KL mệnh đề đúng với nN*1 2 3 4 k k+1 n n+1Bài 1: cm,nN* , ta có:+)n=1=>VT=1 VP=1 =>VT=VP=>(1) đúngGiả sử (1) đúng với n=kN*,tức là:Cộng k+1 vào 2 vế:(1) Đúng với n=k+1=>(1) đúng với mọi nBài 1: cm,nN* , ta có:Với n = 1=>VT=VP=>(1) đúngVT=2VP=1.(3+1)/2=2Giả sử (1) đúng với n = k;tức là:Cộng 2 vế với 3(k+1)-1=3k+2 ta có:=>(1) đúng với n=k+1 Vậy,(1) đúng với mọi nVới n = 1=>VT=VP=>(1) đúngGiả sử (1) đúng với n = k;tức là:Cộng 2 vế với 1/2k+1; ta có:=>(1) đúng với n=k+1 Vậy,(1) đúng với nN*VT=1/2VP=1/2Với n = 1=>VT=VP=>(1) đúngVT=1VP=1Giả sử (1) đúng với n = k;tức là:Cộng 2 vế với (k+1)2,ta có:=>(1) đúng khi n = k+1Vậy: (1) đúng với nN*Với n = 1=>13+3.1+5=9 chia hết cho 3=>đúng2)cm: a)n3+3n2+5n chia hết cho 3(1)Giả sử (1) đúng với n=kN*;tức là:k3+3k2+5k chia hết cho 3(1)Với n=k+1 ta có: A=(k+1)3+3(k+1)2+5(k+1)=(k3+3k2+5k)+3k2+9k+9=(k3+3k2+5k)+3(k2+3k+3)=>A chia hết cho 3=>(1) đúng với n =k+1Vậy: (1) đúng với nN*C2:n3+3n2+5n=(n3+3n2+2n)+3n=n(n+1)(n+2)+3nDo n(n+1)(n+2)chia hết cho 3=>b)4n+15n-1 chia hết cho 9Với n = 1=>41+15-1=18 chia hết cho 9=>đúngGiả sử (1) đúng với n=kN*;tức là:4k+15k-1 chia hết cho 9(2)Với n=k+1 ta có: A=4k+1+15(k+1)-1=4.4k+15k+15-1=4(4k+15k-1)-45k+18=4(4k+15k-1)-9(5k-2)=>A chia hết cho 9=>(1) đúng với n =k+1Vậy: (1) đúng với nN*b)4n+15n-1 chia hết cho 9(1)c)n3+11n chia hết cho 6C2:n3+11n=(n3+3n2+2n)-3n2+9n=n(n+1)(n+2)-3n(n-3)Do n(n+1)(n+2)chia hết cho 6;và n(n-3) chia hết cho 2(Vì n lẻ=>n-3 chẳn;n chẵn=>n-3 lẻ); vậy, n3+11n chia hết cho 6Với n = 1=>1+11=12 chia hết cho 6=>(1) đúngGiả sử (1) đúng với n=kN*;tức là:k3+11k chia hết cho 6(2)Với n=k+1 ta có: A=(k+1)3+11(k+1)=k3+3k2+3k+1+11k+11=(k3+11k)+3k2+3k+12=>(1) đúng với n =k+1Vậy, (1) đúng với mọi nc)n3+11n chia hết cho 6(1)=(k3+11k)+3k(k+1)+12Do k(k+1) chia hết cho 2=>A chia hết cho 6 d)3n>3n+1(3);n 2Với n = 2=>VT=9;VP=7=>VT>VP(đúng)Giả sử (1) đúng với n=kN*;k>1;tức là:3k>3k+1Nhân 2 vế với 3 ta có:3.3k>3(3k+1)=>3k+1>9k+3=>(1) đúng với n =k+1Vậy, (1) đúng với mọi nd)3n>3n+1(1);n2Mà 9k+3=(3k+4)+6k-1>3k+4=3(k+1)+1=>3k+1>3(k+1)+1e)2n+1>2n+3 (1); n2Với n = 2=>VT=8;VP=7=>VT>VP(đúng)Giả sử (1) đúng với n=kN*;k>1;tức là:2k+1>2k+3(2)Nhân 2 vế với 2 ta có:2.2k+1>2(2k+3)=>2k+2>4k+6=2(k+1)+3+(2k+1)=>(1) đúng với n =k+1Vậy, (1) đúng với mọi ne)2n+1>2n+3 (1); n2Mà 2(k+1)+3+(2k+1)>2(k+1)+3=>2k+1>2(k+1)+3a)tính S1;S2;S3a)tính S1;S2;S3b)Dự đoán Sn và cm qnapDự đoán Sn =n/(n+1) (1); (1) đúng với n=1Giả sử (1) đúng với n=k;tức là:=>(1)đúng với n=k+1=>(1) đúng với mọi nVới n = 1=>VT=VP=1=>(1) đúngGiả sử (1) đúng với n = k;tức là:Cộng 2 vế với (k+1)3,ta có:(1)=>MĐ đúng khi n = k+1Vậy: (1) đúng với nN*b)1.4+2.7++n(3n+1)=n(n+1)2(1)Với n = 1=>VT=VP=4=>(1) đúngGiả sử (1) đúng với n = k;tức là:1.4+2.7++k(3k+1)=k(k+1)2(2)(1)=>MĐ đúng khi n = k+1Vậy: (1) đúng với nN*b)1.4+2.7++n(3n+1)=n(n+1)2(1)Cộng 2 vế với (k+1)(3k+4) ta có:1.4+2.7++k(3k+1)+(k+1)(3k+4)=k(k+1)2+(k+1)(3k+4)=>1.4+2.7++k(3k+1)+(k+1)(3k+4)=(k+1)(k+2)2Với n = 1=>VT=VP=3/4=>(1) đúngGiả sử (1) đúng với n = k;tức là:Cộng 2 vế với (k+3)/(k+1)(k+2)2k+1 ,ta có:(1)=>MĐ đúng khi n = k+1Vậy: (1) đúng với nN*d)n3+2n chia hết cho 3Với n = 1=>1++2=3 chia hết cho 3=>(1) đúngGiả sử (1) đúng với n=kN*;tức là:k3+2k chia hết cho 3(2)Với n=k+1 ta có: A=(k+1)3+2(k+1)=k3+3k2+3k+1+2k+2=(k3+2k)+3(k2+k+1)d)n3+2n chia hết cho 3(1)=>A chia hết cho 3Vậy, (1) đúng với mọi n=>(1) đúng với n =k+1e)32n-1+2n+1 chia hết cho 7Với n = 1=>VT(1) đúngVT=1VP=2Giả sử (1) đúng với n = k;tức là:=>(1) đúng khi n = k+1Vậy: (1) đúng với nN*Cộng 2 vế với ,ta có::Ta cm:Theo bdt cosi:(đúng)Với n = 2VT=1/(2+1)+1/4=7/12>VP=>(1) đúngGiả sử (1) đúng với n = k;tức là:=>MĐ đúng khi n = k+1Vậy: (1) đúng với nN*Với n=k+1,ta có:Vì 1/(2k+1)+1/2(k+1)>1/2(k+1)+1/2(k+1)=1/(k+1)Với n = 2VT=1/(1-14)=3/4=VP=>(1) đúngGiả sử (1) đúng với n = k>1;tức là:=>(1) đúng khi n = k+1Vậy: (1) đúng với nN*Nhân 2 vế với [1 -1/(k+1)2], ta được:VP=+)n=1=>U1=7.20+31=10 chia hết cho 5=>(1) đúngGiả sử (1) đúng với n = k;tức là:=>(1) đúng khi n = k+1Vậy: (1) đúng với nN*Chia hết cho 5Khi đó với n=k+1, ta có:Chia hết cho 5chia hết cho 5=>Un+1 chia hết cho 5Với n = 1VT=VP=1+x=>(1) đúngGiả sử (1) đúng với n = k;tức là:=>MĐ đúng khi n = k+1Vậy: (1) đúng với nN*Nhân 2 vế (2) với (1+x)>07)(1+x)n  1 + nx;x>-1 (1)(1+x)k  1 + kx (2)(1+x)k+1(1+ kx)(1+x)=1+ x+ kx+kx2 = 1+(k+1)x+kx2VT  1+(k+1)x§2.DÃY SỐDẠNG I:TÌM 1 SỐ SỐ HẠNG CỦA DÃYPP:1)Muốn tìm số hạng thứ k của dãy (un), ta thế n=k2)Dãy số là 1 hàm số với biến nN*3)Nếu dãy (un); với Un=f(n) thì Uk= f(k)4)Cũng có thể dùng PP truy hồi để tìm 1 số hạng1)Tìm 5 số hạng đầu, biết (Un) được xác định:u4= ;u5=2.(un) xđ: u1=-1;un+1=un+3(1)+)n=1=>u1=-1u2=u1+3=-1+3=2U3=u2+3=5;u4= ;u5=b)cm: un=3n-4a)Viết 5 số hạng đầu2.(un) xđ: u1=-1;un+1=un+3.b)cm: un=3n-4(1)+)n=1=>u1=-1;theo (1) ta có:u1=3-4=-1(dung) +giả sử uk=3k-4=>uk+1=uk+3=3k-4+3=3(k+1)-4=>(1)đúng với n=k+1.Vậy (1) đúng với mọi n2’)Cho dãy (un): u1 = 1;un = 2un-1+ 3; n>1 (1). cm:Un= 2n+1 – 3 (2) +)n = 2=>(1): u2= 2u1+ 3= 2.1+ 3 = 5 (2): u2= 22+1 – 3 = 5 (đúng) Giả sử (2) đúng với n = k>1; tức là :Uk=2k+1–3 (3) khi đó: uk+1 = 2uk+3 = 2(2k+1 – 3) + 3= 21.2k+1 – 3 = 2k+2 – 3 =>đúng với n = k+1Vậy: (2) đúng với mọi n>1DẠNG II: XÉT TÍNH TĂNG, GIẢM CỦA DÃYa)Viết 5 số hạng đầub)Dự đoán và cm công thức unThật vậy, giả sử=>(1) đúng với n=k+1; vậy (1) đúng với mọi nPP:a)(Un) tăng, nếu un+1> un; nN* b)giảm nếu un+1 un; nN* b)giảm nếu un+10; n thì có thế xét tỉ số;(Un) tăng nếu :(Un+1)/(un) >1MỘT SỐ DÃY THƯỜNG GẶP1.an+b: +)a>0: Tăng +)a0:Tăng +)a1 : ko tăng, ko giảm+)k>0: Giảm; k0:(un) tăng; ad-bc(un) giảm5. an+)a>1: Tăng+)0aun tăng nếu a>0;giảm nếu aun+1(un) giảm=>un+1>un=>(un) tăngTa có:u1=(-1)1(2+1)=-3;u2=(-1)2.5=5;u3=-9=>u1u3=>(un) ko tăng ko giảm=>un+1(un) giảm4)Xét tính tăng, giảm:a)Un = n3 – 3n2+ 5n - 7n=>un+1–un=(n+1)3–3(n+1)2+5(n+1)–7-(n3–3n2+5n–7)=3n2 – 3n+ 3=>un+1>un=> (un) tăngb)un= (n+1)/3n=3n(n-1)+ 3>0b)un= (n+1)/3n=>(un) giảm=>(un) giảm=>un+1> un9dc)Xét tính tăng, giảm:=>un+1>un=>(un) tăngb)un=2n-n2un+1 –un=2(n+1)-(n+1)2-(2n-n2)=1-2nun+1(un) giảm=>un+1(un) giảm=>(un) ko tăng,ko giảm=>un+1>un=> dãyDẠNG III: XÉT TÍNH BỊ CHẶN CỦA MỘT DÃY SỐPP:1)(un) bị chặn trên nếu A;unA;n2)(un) bị chặn dưới nếu  B;unB;n3)(un) vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới=>bị chặnMỘT SỐ DÃY THƯỜNG GẶP1.an+b: +)a>0: Tăng=>unu1 +)aunu12.an2+bn+c:§2.DÃY SỐ(TIẾP)2.an2+bn+c:TH1: -b/2a1 +)a>0:Tăng=>unu1 +)aun u1TH2:x0=-b/2a>1;a>0:+)Nếu x0N*=>un ux0 +)Nếu x0N*=>minun(uk,uk+1);uk1;aun ux0 +)Nếu x0N*=>maxun(uk,uk+1);uk0: Giảm=>0 -k un0:(Giảm)=>0u1u11:Tăng=>ana+)00-1 an 1+)a (un) bị chặn dướiTa có: un>0;nMặt khác, n(n+2)>1=>un0(un) bị chặnun>0;nMặt khác, 2n2-11=>un1=>0(un) bị chặnd)un=sinn+cosnn, ta có -2(un) bị chặn=>0(un) bị chặnDễ thấy: - 1un  1; n=> (un) bị chặn=>=>0 un2;mọi n=> Ta có un>0 mọi n=> (un) bị chặn dưới=> (un) ko bị chặn trên=>0(un) bị chặn=>un+1>un;nN*=>(un) tăng=>un=+1/2nBài 6: cm dãy tăng và bị chặn: un = (2n+3)/(3n+2)=>(un) tăngDễ thấy : un>0 mọi n=>0un giảmBài 7: Cho dãy (un): u1=3;un+1=un+5(1)cm: un=5n – 2(2)Bài 7: Cho dãy (un): u1=3;un+1=un+5(1)cm: un=5n – 2(2)+)n = 1=>(1):u1=3; (2): u1=5.1- 2 = 3=>đúng+)giả sử (2) đúng khi n=k; tức là: uk=5k-2+)Khi đó uk+1 = uk+ 5 = (5k-2) +5 = 5k+3=5(k+1)-2=>(2) đúng với n = k+1. Vậy: (2) đúng với mọi nBài 8: Cho dãy (un): u1=1;un+1=un+(n+1).2n(1)cm: dãy tăng và un=1 + (n – 1).2n.(2)+)un+1- un = (n+1)2n>0=>(un) tăng+)n = 1=>(1):u1=1; (2):u1=1+(1-1).2=1=>đúngBài 8: Cho dãy (un): u1=1;un+1=un+(n+1).2n(1)cm: dãy tăng và un=1 + (n – 1).2n.(2)+)giả sử (2) đúng khi n=k; tức là: uk=1+ (k-1).2k.+)Khi đó uk+1 = uk+ (n+1)2n =1+(k-1)2k +(k+1)2k= 1+ 2k(k-1+k+1)= 1+ 2k.2k =1+ k.2k+1=>(2) đúng với n = k+1. Vậy: (2) đúng với mọi n9.cm:un= 2n/(n2+1) giảm và bị chặn§3. CẤP SỐ CỘNGDẠNG I : BÀI TẬP TÍNH TOÁN VỂ CẤP SỐ CỘNGPP :  u1 ,u2 ,, un , un = un-1+ d = u1+ (n-1)d(Mỗi số hạng bằng số hạng kề ngay trước cộng 1 số k0 đổi)d = u2 –u1 =un+1–un ( công sai ) Sn=n(u1+un)/2=n[2u1+(n–1)d]/2(tổng n số hạng đầu)Bài 1: dãy nào là CSC;tìm công sai;u1a)un = 5-2nTa có:un+1–un=[5-2(n+1)]-(5-2n)=-2(ko đổi)=> (un) là một CSC công sai d = -2;u1=5-2=3+)NX: un = an+b là csc (d=a;u1=a+b)b)Un = n/2-1Ta có:un+1-un=> (un) là một CSC công sai d = 1/2;u1=-1/2c)un=3n+)u1=3;u2=9;u3=27=>u2-u1=6;u3-u2=18u2-u1=>(un) k0 phải là csc2.Tìm số hạng đầu và công sai2.Tìm số hạng đầu và công sai3.Điền vào chổ trốngu1dunnSn-25520-41512034/2771712722-5-205+)u20=u1+19dd=(55+2)/19=3-205303634.Sàn tầng 1 một ngôi nhà cao hơn sân 0,5m. Cầu thang đitừ tầng 1 lên tầng 2 :21 bậc;mỗi bậc 18cma)Viết công thức tìm độ cao của 1 bậc tùy ýhn=0,5+0,18.nb)Tìm độ cao của tầng 2:Tầng 2 tức là lầu 1: h=h21=0,5+0,18.21=4,28(m)5)Xác định u1;d của csc:Vậy:(u1;d){(1,2);(-15,2)}(1)d=2; thế vào (2):U12+14u1–15=0u1= 1; u1 = -15d)Sn= 7n2 – 2nd)Sn= 7n2 – 2n+)S1=7.12- 2.1=5Mà S1=u1=>u1=5+)S2=7.22- 2.2=24Mà S2=2(2u1+d)/2 =24d=146)Giữa 7 và 35 đặt 6 số nữa để được cscVậy : u1=5 và d=14Theo gt ta có csc có 8 số hạng: u1=7;u8=35U8= 35u1+7d=35d=4Các số cần tìm là: 11;15;19;23;27;317)3 số hạng liên tiếp của 1 csc có tổng 15;tổng bình phương 837)3 số hạng liên tiếp của 1 csc có tổng 15;tổng bình phương 83Gọi 3 số hạng là a,b,c; công sai d .Ta có:(2)125+3d2=83d2=4d=2Vậy, 3 số hạng đó là: 3,5,7 hoặc 7,5,38)Tìm 5 số hạng liên tiếp của 1 csc, tổng bằng 40,tổng bình phương 480Gọi a,b,c,d,e là 5 số cần tìm; x là công sai. Ta có:Thế c=8 từ (1) vào (2):(2)5.82+10x2=480x2=16x=4(2)5.82+10x2=480x2=16x=4+)x=4;c=8=>a=c-2x=a=0=>csc: 0,4,8,12,16+)x=-4=> csc : 16,12,8,4,09)Tìm 4 số hạng liên tiếp của 1 csc, tổng bằng 16,tổng bình phương 84Gọi a,b,c,d là 4 số hạngThế f=4 từ (1) vào (2):(2)4.42+20x2=84x2=1x=1+)x=1;2x=2;a=f-3x=1=>csc: 1,3,5,7+)x=-1=> csc : 7,5,3,1Đặt f=(b+c)/2 và 2x là công saiTổng bằng 16,Tổng bình phương 8410)csc: u2+u3+u7+u10+u14+u15=150.Tính a)u2+u1510)csc: u2+u3+u7+u10+u14+u15=150(1).Tínha)u2+u15C1:2+15=3+14=7+10 =>u2+u15=u3+u14=u7+u10=150:3=50C2 (1)6u1+45d=1502u1+15d=50+)u2+u15=2u1+15d=50b)u8+u9=2u1+15d= 50c)S16=16(2u1+15d)/2=8.50=40011)x=? Để có csc: 10 -3x, 2x2+3, 7 - 4x 11)x=? Để có csc: ycbt10 – 3x + 7 – 4x = 2.(2x2+3)4x2 + 7x – 11 = 0 x = 1; x = -11/4a)10 -3x, 2x2+3, 7 - 4xb)3x+2,x2+5x+4,x3+8x+6ycbt3x+2+x3+8x+6=2(x2+5x+4)x3 – 2x2+x = 0x=0, x = 112)3 góc của 1 tam giác vuông lập thành 1 csc.TìmGiả sử góc A C=900=>A+B = 900(1)Mặt khác: A,B,CA+C= 2BA+900=2B(2)Giải hệ (1) và (2)=>A=300;B=600.13.Tính:12-22+32-42++(2n-1)2-(2n)2Ta có: (2k-1)2 –(2k)2=[(2k-1)-2k][(2k-1)+2k]= -(4k -1)Đặt A=12-22+32-42++(2n-1)2-(2n)2=>A= -[3+7+11++(4n-1)]-A là tổng csc có:u1=3;d=4,n số hạng=>A=-n[2.3+(n-1).4]/2=-n(2n+1)14)Gpt: 1+4+7++x=92;xN*14)Gpt: 1+4+7++x=92;xN*=>Vế trái là tổng của một csc có u1=1;un=x;d=4-1=3Vậy: (3n2-n)/2=923n2- n – 184 = 0(nN*)n=8(nhận),n=-23/3(loại)Do đó: x = u8=u1+7d=1+21=22( có n số hạng)DẠNG II: CÁC BÀI TẬP CHỨNG MINHPP:1.Dùng công thức un;Sn của csc2.Dùng t.c: a,b,c  a + c = 2b13)a,b,c>0; cm:csc a2,b2,c2 là csc(a+b)(a+c)+(b+c)(c+a)=2(b+c)(a+b)a2+ac+ab+bc+bc+ab+c2+ac=2(ab+b2+ac+bc)a2+c2=2b2(a+b)(a+c)+(b+c)(c+a)=2(b+c)(a+b)a2+ac+ab+bc+bc+ab+c2+ac=2(ab+b2+ac+bc)a2+c2=2b2a2,b2,c2 là 1 csc14)Cho  a,b,c .c/m : a)a2+2bc = c2 +2ab;Gt=>a+c=2b=>a2+2bc=a2+(a+c)c==a2+ac+c2=a(a+c)+c2=2ba+c2(đpcm)b)a2+ 8bc= (2b+c)2 c) a2+ab+b2 ; a2+ac+c2; b2+bc+c2 =>a2+8bc=(2b-c)2+8bc=4b2-4bc+c2+8bcTa có:a+c = 2ba = 2b –c=>a2=(2b+c)2 a2+ab+b2 ; a2+ac+c2; b2+bc+c2 (a2+ab+b2)+(b2+bc+c2)= 2(a2+ac+c2)b(a+c+2b)= (a+c)2b.4b=(2b)2=>a2+8bc =4b2+4bc+c2 =(2b+c)2 -(đpcm)Ta có:a+c=2b=>a+c+2b=4b=>b(a+c+2b)=4b2=>b(a+c+2b)=(a+c)2=>ab+ac+2b2=a2+c2+2ac=>(a2+ab+b2)+(b2+bc+c2)=2(a2+ac+c2)=>. là csc§4.CẤP SỐ NHÂNDẠNG I : BÀI TẬP TÍNH TOÁNPP : csn u1 ,u2 ,, un , Un = un-1q = u1qn-1 (Mỗi số hạng bằng số hạng kề ngay trước nhân 1 số k0 đổi)Bài 1: cm dãy sau là csn=>(un) là csn có công bội q=2Nx: csn có dạng: a.bn có q=b=>(un) là csn có công bội q=1/2=>(un) là csn có công bội q=-1/22.Cho csna)u1=2;u6=486. Tìm qu6=486u1q5=4862q5=486q5=35q=3b)q=2/3;u4=8/21. Tính u1u1=u4/q3=8/21:(8/27)=9/7c)u1=3;q=-2;192 là số hạng thứ mấy?Ta có: un=192u1qn-1=192(-2)n-1=64=(-2)6n-1=6n=7Vậy 192 là số hạng thứ 73.Tìm csn có 5 số hạng:+)csn: 1/3;1;3;9;27+)csn:1/3;-1;3;-9;27Chia theo vế (1) cho (2);(u1(q2-1)≠0) ta có:q=1/2Chia theo vế (1) cho (2);(u1(q2-1)≠0) ta có:q=1/24.Tìm csn 6 số hạng:tổng 5 số hạng đầu là 31;tổng 5 số hạng sau là 62=>csn : 1;2;4;8;16;323.Tìm csn 5 số hạng=>q=2;thế vào (1)=>u1.31=31u1=122.(DC)Xác định số hạng thứ 6 of csn:a)3;9;27;Ta có: q=u2/u1=3=>u6=u1q5=3.35=729b)2;-8;32;Ta có: q=u2/u1=-4=>u6=u1q5=2.(-4)5=-2048c)-4;1;-1/4;Ta có: q=u2/u1=-1/4=>u6=u1q5=(-4).(-1/4)5=1/25623.Tìm u1 và Sn của csn:a)u7=192;q=2;n=7u7=192u1.26=192u1=192/64=3b)u6=32/81;q=-2/3;n=6u6=32/81u1.(-2/3)5=u1=-3a)Có 5 số hạng;u1=3;u5=243u5=2433.q4=243q=±324.Tìm u1 và q of csn:b)5 số hạng.Tích số hạng đầu và thứ 3 là 1, tích số hạng thứ 3 và cuối là 1/16;u1>0. Tìm csnChia theo vế 2 pt cho nhau ta được:q4=1/16 q =±1/2Thế vào (1):u12q2=1 u12=4u1 = 2=>csn : 2, ± 1, ½, ±¼ , 1/84+42++4n là tổng n số hạng đầu of 1 csn có u1=4;q=41/4+1/42++1/4n là of 1 csn có u1=1/4;q=1/426.Số đo 4 góc 1 tứ giác tạo 1 csn, góc lớn nhấtbằng 8 lần góc nhỏ nhất. Tìm các góc.26.Số đo 4 góc 1 tứ giác tạo 1 csn, góc lớn nhấtbằng 8 lần góc nhỏ nhất. Tìm các góc.Giả sử A là góc bé nhất=>A.q;A.q2;A.q3 là 3 góc khác(q>1)A=24;q=2Vậy 4 góc có số đo là: 240;480;960;1920.DẠNG II: CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINHPP : cấp số nhân a,b,c  ac = b27)Cho csn thỏa:q0;u1 0;. Cm: um=uk qm-k(m>k)(1)u1qm-1=(u1qk-1).qm-ku1qm-1=u1qm-1( đúng)9)Tồn tại? Csn mà u2=5;u22= -2000u22=u2q20q20=-2000:5k0 tồn tại csc như thế12(27DC)cm: nếu (a2+b2)(b2+c2)=(ab+bc)2 thì có csn:a,b,c(a2+b2)(b2+c2)=(ab+bc)2a2b2+a2c2+b4+b2c2=a2b2+2ab2c+b2c2(b2-ac)2=0b2=aca,b,c là csn( đpcm)32DC)Cho csn : a,b,c;cm: a)(bc+ca+ab)3=abc(a+b+c)3(1)VT=(bc+b2+ab)3=b.b2(a+b+c)3=abc(a+b+c)3=VPb)(a2+b2)(b2+c2)=(ab+bc)2(Giống 12DC)c)(a+b+c)(a-b+c)=a2+b2+c2(3)VT=(a+c)2-b2=a2+2ac+c2-b2=a2+c2+2b2-b2=a2+b2+c2=VP1SGKNC)csc: a,b,c và csn: b,a,c. Tìm q, biết d02)csc: a,b,c có S = 6 và là số hạng đầu,4,7của 1 csn. Tìm a,b,c.(1)c= 2b – a. Thế vào (2)(2)b(2b–a)=a2a2+ab–2b2=0(a–b)(a -2b)=0+)a=b(loại, vì d=0)+)a=2b=>d= -b=>c= 0=>q=a/b= 2Ta có:a+c=2b(1)bc= a2 (2)TỔNG HỢP Gọi q là công bội of cs:2)csc: a,b,c có S = 6 và là số hạng đầu,4,7của 1 csn. Tìm a,b,c.Gọi q là công bội of cs:Từ (1)=>a≠0 nên :=>a=b=c=6. mà a+b+c=6=>a=b=c=2(2)1+q6=2q3q3=1q=1Vậy :a=b=c=23)(un) có: u1=1;un+1=5un+ 8a)Cm (vn):vn=un+2 là 1 csn.Tìm số hạng TQ của nób)Dựa k.quả đó, tìm số hạng TQ của (un)a)v1=u1+2 = 3vn+1=un+1+2 = 5un+10=5(un+2)=5vn=>dãy vn là csn có v1=3;q=5Số hạng TQ: vn=u1.qn-1= 3.5n-1.b)Ta có: un=vn- 2 = 3.5n-1 - 2 28DC)Tìm a,b, biết b,a,3a+b là csc và b+2,a,a+b là csnGt ta có:(1)a = -2b, thế vào (2):(b+2)(b-2b)=(-2b)25b2+2b=0b=0,b=-2/5+)b=0=>a=0; b=-2/5=>a= 4/529DC)3 cạnh of 1 t.giác vuông lập 1 csn.Tính tang các góc nhọnGọi csn a,b,c (a>b>c>0).Ta có:(2)a=b2/c, thế vào (1):b4/c2=b2+c2b4 – b2c2- c4=0.Chia 2 vế cho c4.b4/c2=b2+c2b4 – b2c2- c4=0Chia 2 vế cho c4.(do góc B nhọn); tgC=c/b=30DC.x1;x2 ngh pt:x2-3x+A=0;x3;x4 là ngh pt:x2-12x+B=0Csn: x1;x2;x3;x4; có q>1.Tìm A,BĐặt x1=m;Ta có:=>mq(1+q)≠0;Chia theo vế:Ta có:q2=4q=2(q>1)=>m=1Mặt khác:A=x1x2=m2q=2B=x3x4=m2q5=32(A,B thỏa đk có ngh)31.Tính: B=1+11+111++111(n chữ số 1)Ta có:9B=9+99++999=(10-1)+(100-1)++(10n-1)=(10+100++10n ) - nC=3+33+333++333(n chữ số 3)t.Tự; 3C=9+99++99..9=>C=3B; tquat: k+kk+..=>nhân 9/k33)Tìm csn :a,b,c,d, e; biết a+c+e=21;b+d=10VP>0=>VT>0.Chia theo vế ta có:=>10q4-21q3+10q2-21q=010(q4+q2)-21(q3+q)=010q4-21q3+10q2-21q+10=0Chia 2 vế cho q2, được:Đặt t = q+1/q;đk |t|2 ta có pt: 10t2 -21t – 10=0t=5/2; t = -2/5(loại)+)q+1/q=5/2q=2 hay q=1/2+)q=2=>a=1=>csn:1;2;4;8;16+)q=1/2=>a=16=>csn:16;8;4;2;134)Tìm a,b; biết 1,a,b là csn; 1,a+8,b là cscVP>0=>VT>0.Chia theo vế ta có:q=0=>10=0,vô lí=>q010(q4+1)-21(q3+q)+10q2 =034)Tìm a,b; biết 1,a,b là csn; 1,a+8,b là cscTheo t.c cac, csn ta có:Thay b=a2 từ pt 1 vào pt 2:a2+1=2(a+8)a=3 hoặc a= -5Vậy: a=3=>b=5 hoặc a= -5=>b=2535(TDN).tìm x,y để có csn: x+2, x+14, x+50ycbt(x+2)(x+50)=(x+14)2-24x+96=0x=436.cm: csn a,b,ccsc 2/(b-a), 1/b,1/(b-c); (a,b,c phân biệt)csc :2/(b-a), 1/b, 1/(b-c)2/(b-a)+1/(b-c)=2/b2(b-c)b+b(b-a)=2(b-a)(b-c)2b2-2bc+b2-ab=2(b2-bc-ab+ac)ac=b2csn: a,b,c (đpcm)37.Tính Sn là tổng các số hạng đầu tiên of csn có u1=1;q=1/2;un=1/1024 u1qn-1=1/10242n-1=1024n=11Sn là tổng các số hạng đầu tiên of csn có u1=1;q=1/2;un=1/32u1qn-1=1/32(2)n-1=32n=1038.Cho csn (un);cm: Sn(S3n-S2n)=(S2n-Sn)2SnS3n=S2n2-S2nSn+Sn2Sn(S3n+S2n) =S2n2+Sn2(qn-1)[q3n-1)+q2n-1)]=(qn-1)2+(q2n-1)2q5n-qn-q3n+q3n-qn-q2n+2=.(đúng)39.Tìm phân số sinh ra số thập phân vô hạn tuần hoàn:A=0,191919A=0,19+0,0019+.=>A là tổng csn lùi vô hạn39.Tìm phân số sinh ra số thập phân vô hạn tuần hoàn:A=0,191919A=0,19+0,0019+.=>A là tổng csn lùi vô hạn có u1=0,19;q=0,01B=10,123123Ta có: B=10+0,123123=10+B’B’=0,123+0,000123 là tổng csn lùi vô hạn;u1=0,123;q=0,001C=5,24747=5,2+0,047+0,00047+=5,2+0,047/0,99=1039/19840.Tìm csn a,b,c thỏa tổng bằng 7 và tổng lập phương 21Gọi x là công bộiRút a từ pt 1 thế pt 2: 49(1+x3+x6)=3(1+x+x3)3(1)Ta có:(a+b+c)3=a3+b3+c3+3(a+b)(b+c)(c+a)(*)Áp dụng (*) ta có:(1)49(1+x3+x6)=3[(1+x3+x6)+3(1+x)(x+x2)(x2+1)]46(1+x3+x6)=9x(1+x)2(x2+1)1+x3+x6=(x3+1/2)2+3/4>0=>VT>0 nên VP có x>0Chia 2 vế cho x3 ta có:40.Tìm csn a,b,c thỏa tổng bằng 7 và tổng lập phương 21Gọi x là công bộiTa có:(a+b+c)3=a3+b3+c3+3(a+b)(b+c)(c+a)(*)46(1+x3+x6)=9x(1+x)2(x2+1)Chia 2 vế cho x3 ta có:Đặt t=1+1/x;theo bđt cosi:x+1/x2(2)46(t3-3t+1)=9(t+2)t(t-2)(46t2+83t+10)+66=0VT66=>pt VNCHƯƠNG IV – GIỚI HẠNGIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ DẠNG I: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ:PP:1)limun=alim(un-a)=02)Nếu limun=a thì:a)lim|un|=|a|b)limc)un0 thì a 0 và limun=a7)|un| vn và lim vn=0 thì:limun=08)|q|04)limC=C(hằng số)5)lim(u+v)=limu+limv6)lim(u.v)=limu.limv1.Biết (un) thỏa : |un-1|0, ta có: 1/n31/n>1/ vậy mọi >0,tồn tại số tự nhiên n01/sao cho kể từsố hạng thứ n>n0 ta có: |un-1|limun=12.Tính :DẠNG II:GIỚI HẠN VÔ CỰC DẠNG II:GIỚI HẠN VÔ CỰC PP:1)lim nk=+(k>0)2)nếu lim|un|=+  thì lim (1/un)=03)limun=0 mà un>0 thì lim(1/un)=+ 4)limun=0 mà un lim(un.vn)=+ 6)Nếu un+ ;vn- => lim(un.vn)=- Bài 3:tính a)lim(n3+2n2 -n+1)Bài 3:tính a)lim(n3+2n2 -n+1)=>lim(n3+2n2 -n+1)=+b)lim(-n2+5n-2)=>lim(-n2+5n-2)= -4.Cho limun=3;limvn=+. Tính:DẠNG III:TỔNG CỦA CSN LÙI VÔ HẠN+)csn lùi vô hạn nếu có vô hạn ptử và |q|nnq=u2/u1=2/3Gọi (vn) thỏa: vn=un-1;nN*a)cm:(vn) là csn lùi vô hạnTa có:u1=3u2=(u1+1)/2=2u3=(u2+1)/2=3/2+)n=1(dung)-cmt=1+ 1/20=1+ 2/2-1=1+ 1/21=>đẳng thức đúng với n=k+1=>. mọi nb)Tìm S=v1+v2++vn+=>vn là csn lùi vô hạn;v1=2;q=1/2c)Tính Sn là tổng n số hạng đầu of (un)Gọi S’n là tổng n số hạng đầu of (vn). Do un=vn+1a)cm: unun+1>un;n=>(un) tăngb)Cm dãy un tăngc)limunĐặt limun=aVậy .; và 0(un) bị chặnc)limunĐặt limun=aTa có:limun+1=limuna=(2a)a2=2aa=0 hoặc a=2Do un tăng=>unu1=2=> a=2 thỏa đk;vậy limun=2Vì n2+1A=1BAØI TAÄP VEÀ GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐGIÁO VIÊN : Hoaøng Sôn HaûiGIỚI HẠN CỦA HÀM SỐDẠNG I-TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐN:PP:f(x) có giới hạn L khi xx0 nếu mọi dãy xn x0thì dãy f(xn)L .Bài 1.Dùng đ.n, tính (xn), xn4;khi n+ khi đó :(xn), xn4; khi n+ khi đó:(xn), xn+; khi đó Tính limun;limvn;limf(un);limf(vn); KL về lim f khi x0?DẠNG II-TÍNH GIỚI HẠN BẰNG QUI TẮCPP:Nếu f(x) là hs sơ cấp xác định tại x0 thì:limf(x) = f(x0) khi xx0.2) limC=C khi xx03) lim(f+g)=limf+limg4) lim(fg)=limf.limg5) limf=L thì lim |f| = |L|Bài 3:tính DẠNG III-GIỚI HẠN VÔ ĐỊNHPP: +)Xem có Nhận dạng vô định(0/0; / ;0. ; - )?+)Nếu thế vào mà gtri hs có nghĩa thì AD Dạng II+)Nếu vô nghĩa thì AD dạng III, như sau:*)Khử vô định đưa về giới hạn xác định (dạng II)Bằng các cách như sau:DẠNG III-GIỚI HẠN VÔ ĐỊNH+)phân tích thành nhân tử chung bằng việc gpt; Horner+)dùng các hđt đại số .+Dùng tính chất liên hợp : a–b = (a2-b2)/(a+b)=(a3-b3)/?+)lim(f/g);x:Rút xn làm thừa số,dùng:1/xn0;khi x+)Xem lại PP tính lim of dãy sốBài 4:2x3- 3x2+x-6 có ngh x=22-31-6x=22x2 cộng - 3=1=>2x3-3x2+x-6=(x-2)(2x2+x+3)CÁCH CHIA ĐA THỨC BẰNG HORNERĐặt vấn đề: phân tích 2x3- 3x2+x-6 thành nhân tử2130MỘT SỐ DẠNG THƯỜNG GẶP+)Nhớ: a2=|a|(=a nếu a>0; -a nếu a0)2)Nếu |f|+ thì 1/f03)Nếu f0 mà f>0 thì 1/f+ 4)Nếu f0 mà fA=M-N=8/27-1/6==>A=B+C=an-bn=(a-b)(an-1+an-2b+an-3b2++bn-1)DẠNG IV: GIỚI HẠN MỘT BÊNPP: .Nếu mọi dãy (xn )a;xn>a thì f(xn)L.Nếu mọi dãy (xn )a;xn k0 tồn tại limf(x);x1-=>k0 +)xét x3+)xét x3 x-1 limf(x) =3(x-2)14.(31/159)15.(35/163)và x-2>0;x>2=>và x-2và x2 -4 -2 2+0 - 0 +16.(3745/166)và x+3>0;( mọi x>-3)và x+3<0;( mọi x<-3)DẠNG V: GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁCcos4a-=? cos5a=?sin2a=2sinacosa sin6a=? Sin7a=?1-cos2a=2sin2a 1+cos2a=2cos2a1-cosx= ? 1+cos3x=?Đặt t=/2-x;x/2 thì t0Đặt t=/4-x;x/4 thì t0Đặt t=1-x;x1 thì t0Đặt t=/2-x;x/2 thì t0Đặt t=1/x;x+ thì t0HD:x2+2x=(x+1)2-1; x2+x=(x+1/2)2-1/4