Bài giảng môn Đại số lớp 11 - Bài 1: Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng

CHƯƠNG II: ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN QUAN HỆ SONG SONGBÀI 1: ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNGKHÁI NIỆM MỞ ĐẦU 1. Mặt phẳng :*Để biểu diễn mặt phẳng ta thường dùng hình bình hành hay một miền góc P QĐể kí hiệu mặt phẳng , ta thường dùng chữ cái in hoa hoặt chữ cái hy lạp đặt trong dấu ngoặt ( )2. Điểm thuộc mặt phẳngCho điểm A và mặt phẳng (P)Khi điểm A thuộc mặt phẳng (P) ta nói A nằm trên (P) hay (P) chứa AKí hiệu : A(P)Khi điểm A không thuộc mặt phẳng (P) ta nói A nằm ngoài (P) hay (P) không chứa AKí hiệu : A(P) PA PA3. Hình biểu diễn của một hình không gianĐể nghiên cứu hình học không gian người ta thường vẽ các hình không gian lên bảng , lên giấy . Ta gọi hình vẽ đó là hình biểu diễn của một hình không gian Để vẽ hình biểu diễn của một hình trong không gian người ta dựa vào những quy tắc sau :Hình biểu diễn của đường thẳng là đường thẳng , của đoạn thẳng là đoạn thẳng .Hình biểu diễn của hai đường thẳng song song là hai đường thẳng song song , của hai đường thẳng cắt nhau là hai đường thẳng cắt nhau . Hình biểu diễn phải giữ nguyên quan hệ thuộc giữa điểm và đường thẳng . Dùng nét vẽ liền để biểu diễn cho đường nhìn thấy và nét đức đoạn biểu diễn cho đường bị che khuất .II. CÁC TÍNH CHẤT THỪA NHẬNTính chất 1: Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệtTính chất 2:Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàngABCTính chất 3: Nếu một đường thẳng có hai điểm phân biệt thuộc một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng2? Tại sao người thợ mộc kiểm tra độ phẳng mặt bàn bằng cách rê thước thẳng lên mặt bàn ?Đáp án ( T/c 3)Nếu mọi điểm của đường thẳng d đều thuộc mp () thì ta nói đt d nằm trong () . Kí hiệu d() hay () dαABd3? Cho ABC , M là điểm thuộc phần kéo dài của BC . Hãy cho biết M có thuộc mp(ABC) không và đt AM có nằm trong mp(ABC) không ?ABCMĐáp án :M(ABC) , AM(ABC)Tính chất 4: Tồn tại bốn điểm không cùng thuộc một mặt phẳng .Tính chất 5: Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng còn có một điểm chung khác nữa .AB 4? Trong (P) cho hbh ABCD . Lấy điểm S nằm ngoài mp (P) . Hãy chỉ ra một điểm chung của hai mp (SAC) và (SBD) khác điểm SPSBADCIĐáp án :I=ACBDI là điểm chung thứ hai của (SAC) và (SBD)5? Cho hình sau đúng hay sai ? Tại sao ?Đáp án :Sai , vì giao tuyến của hai mp (ABC) và (P) là một đường thẳngABCMLKPTính chất 6: Trên mỗi mặt phẳng , các kết quả đã biết trong hình học phẳng đều đúng .αIII. CÁCH XÁC ĐỊNH MỘT MẶT PHẲNG1. Ba cách xác định một mặt phẳngMột mp được hoàn toàn xác định khi biết nó đi qua ba điểm không thẳng hàng .Một mp được hoàn toàn xác định khi biết nó đi qua một điểm và chứa một đường thẳng không qua điểm đó .Một mp được hoàn toàn xác định khi biết nó chứa hai đường thẳng cắt nhau .ABCαAd αabI2.Các ví dụVí dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là tứ giác lồi . Xác định giao tuyến của hai mp (SAC) và (SBD)SABCDOGiảiXét hai mp (SAC) và (SBD)Ta có : S là điểm chungAC  BD = O ( vì AC,BD  mp( ABCD) )Suy ra SO= (SAC)  (SBD)Ví dụ 2: Cho bốn điểm không đồng phẳng A,B,C,D. Trên hai đoạn AB và AC lấy hai điểm M và N sao cho . Hãy xác định giao tuyến của mp (DMN) với các mp (ABD) , (ACD) , (ABC), (BCD)ABCEDMN*(DMN) và (ABD) có điểm D chungVà MAB (DMN)(ABD)=DM*(DMN) và (ACD) có điểm D chungVà NAC (DMN)(ABD)=DN*(DMN) và (ABC) có NAC , MAB (DMN)(ABD)=MN*(DMN) và (BDC) có điểm D chungVà (ABC) có nên NM  BC={E} (DMN)(BDC)=DEGiảiVí dụ 3: Cho hai đường thẳng cắt nhau Ox , Oy và hai điểm A,B không nằm trong mp(Ox,Oy) . Biết rằng đường thẳng AB và mp(Ox,Oy) có điểm chung . Một mp (α) thay đổi luôn luôn chứa AB và cắt Ox,Oy lần lượt tại M, N . Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn luôn đi qua một điểm cố định khi (α) thay đổi . GiảiI=AB(Ox,Oy)I cố định vì AB và (Ox,Oy) cố địnhDo () cắt (Ox,Oy) theo giao tuyến chứa M,N,I . Nên MN luôn đi qua điểm I cố định khi () thay đổi ABIOMNyxVí dụ 4:Cho bốn điểm không đồng phẳng A,B,C,D . Trên ba cạnh AB, AC,AD lần lược lấy các điểm M,N và K sao cho đường thẳng MN cắt đường thẳng BC tại H , đường thẳng NK cắt đường thẳng CD tại I , đường thẳng KM cắt đường thẳng BD tại J . Chứng minh ba điểm H,I,J thẳng hàng Ta có JMK(MNK) và JBD(BDC)J=(MNK)(BCD)Tương tự INK(MNK) và ICD(BDC)I=(MNK)(BCD)IJ=(MNK)(BCD) (1)* Tương tự : HMN(MNK) và HBC(BDC)H=(MNK)(BCD)IH=(MNK)(BCD) (2)Từ (1),(2) H,I,J thẳng hàngABCDJMKNIHGiảiVí dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông . Gọi M là trung điểm của SC . Xác định giao điểm của AM với mp (SBD).GiảiChọn AM (SAC)Xét (SAC) và (SBD) ta có :S là đình chungAC  BD = I ( vì AC,BD  mp( ABCD) )Suy ra SI= (SAC)  (SBD)Mà SI  AM = KSuy ra : (SBD)  AM = K SABCD MIKVí dụ 6: Cho BCD và điểm A không thuộc mp (BCD) . Gọi K là trung điểm của đoạn AD và G là trọng tâm của ABC . Tìm giao điểm của đường thẳng GK và mp(BCD)DLABCGKJGọi {J}=AGBCXét (AJD) ta có :GKJD={L}Ta có :LJD(BCD)L=GK(BCD)GiảiIV. HÌNH CHÓP VÀ HÌNH TỨ DIỆNTrong mp () cho đa giác lồi A1A2..An. Lấy điểm S nằm ngoài (). Lần lượt nối S với các đỉnh A1,A2, ..An , ta được n tam giác SA1A2 , SA2A3,SAnA1. Hình gồm đa giác A1A2An ,và n tam giác SA1A2, SA2A3 SAnA1 gọi là hình chóp.Kí hiệu : -S.A1A2An , S: là đỉnh; -A1A2An: là mặt đáy; -Các tam giác SA1A2, SA2A3 SAnA1: là mặt bên ; -các đoạn SA1,SA2..SAn : là các cạnh bên .Ví dụ 7: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hbh ABCD . Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của AB,AD,SC. Tìm giao điểm của mp(MNP) với các mặt của hình chóp và giao tuyến của mp (MNP) với các mặt của hình chópGiảiMN cắt đường thẳng BC ,CD tại K,LE=PKSB ; F=SD PLTa có : E== SB(MNP); P=SC (MNP)F=SD (MNP)Đo đó :MN=(MNP) (ABCD)EM=(MNP) (SAB)PE=(MNP) (SBC)PF=(MNP) (SCD)FN= (MNP) (SAD)*Chú ý: (sgk)SLEKMBACDFNP