Bài giảng lớp 9 môn Toán học - Phương trình – hệ phương trình (06 tiết)

Chủ đề 3: PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH (06 tiết) I. MỤC TIÊU: - HS nắm vững các dạng toán về phương trình bậc hai: dấu của các nghiệm; mối quan hệ giữa các nghiệm; về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn - Rèn luyện kỷ năng giải các bài toán có tham số m và các điều kiện của nghiệm, Giải các hệ phương trình - Biết cách chứng minh một phương trình bậc hai luôn luôn có nghiệm và biết tìm các hệ thức giữa các nghiệm độc lập đối với m II. NỘI DUNG: A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT CƠ BẢN 1) Hệ phương trình bậc nhất một ẩn: Có dạng: (I) Các cách giải: *) Phương pháp đồ thị: - Hệ (I) vô nghiệm (d) // (d’) - Hệ (I) có một nghiệm duy nhất (d) cắt (d’) - Hệ (I) có vô số nghiệm (d) (d’) *) Giải bằng đại số: - Phương pháp thế - Phương pháp cộng đại số 2) Phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a ¹ 0) Các cách giải phương trình bậc hai một ẩn: a) Công thức nghiệm: D = b2 – 4ac > 0 phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 = ; x2 = = 0 phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 = < 0 phương trình vô nghiệm b) Công thức nghiệm thu gọn: D’ = b’2 – ac ’ > 0 phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 = ; x2 = ’ = 0 phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 = ’ < 0 phương trình vô nghiệm c) Nhẩm theo hệ số a, b, c: - Nếu phưong trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a ¹ 0) có a + b + c = 0 thì x1 = 1; x2 = - Nếu phưong trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a ¹ 0) có a - b + c = 0 thì x1 = - 1; x2 = - 2. Định lý Vi ét: a) Nếu p.trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 có nghiệm x1; x2 thì tổng và tích các nghiệm đó là: S = x1 + x2 = ; P = x1.x2 = b) Nếu hai số x1; x2 có S = x1 + x2 và P = x1.x2 thì hai số đó là nghiệm của phương trình: x2 – Sx + P = 0 3. C.minh một phương trình bậc hai luôn luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m - Bước 1: Lập - Bước 2: Biến đổi về dạng: = A2 0 với mọi m hoặc = A2 + k > 0 với mọi m 4. Tìm m để phương trình có nghiệm thoả mãn một hệ thức nào đó ta tiến hành: Lập Phương trình có nghiệm khi 0. Từ đó suy ra điều kiện của m Áp dụng định lý Vi ét tính S = x1 + x2 ; P = x1.x2 Biến đổi đề bài thành một dãy các phép tính có chứa tổng và tích Thay S và P vào suy ra giá trị của m Đối chiếu điều kiện và kết luận 5. Tìm một hệ thức giữa các nghiệm độc lập đối với m Khử m từ S và P ta sẽ được hệ thức cần tìm 6. Một số hệ thức khác: Phương trình ax2 + bx + c = 0 (a 0) có: - Hai nghiệm trái dấu a.c < 0 hoặc - Hai nghiệm đều dương - Hai nghiệm đều âm - Một số công thức cần lưu ý: x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1.x2; (x1 - x2 )2 = (x1 + x2)2 – 4x1.x2; x13 + x23 = (x1 + x2)3 – 3x1.x2(x1 + x2) B. LUYỆN TẬP: Hoạt động Nội dung Bài 1: Giải các hệ phương trình sau: a) b) c) a) Giải ra ta được: (x; y) = (11; -3) b) Giải ta được (x; y) = () c) Giải ra ta được (x; y) = (2; 5) Bài 2: Cho hệ phương trình: Giải hệ phương trình khi a = -2 Tìm a để hệ phương trình có nghiệm a) khi a = -2 thay vào hệ PT đã cho ta được hệ PT: Giải ra ta được (x; y) = (-1; 3) b) Trừ hai PT theo vế, ta được: [a – 2a(1 – a)].x = -10 (2a2 – a).x = -10 (1) Phương trình 91) có nghiệm (2a2 – a) ¹ 0 Vậy với thì hệ p.trình đã cho có nghiệm Bài 3: Xác định giá trị của a, b để hệ phương trình có nghiệm x = 4; y = 3. Vì x = 4; y = 3 là nghiệm của hệ PT đã cho, nên thay vào ta được hệ PT: Giải ra ta được a = Bài 4: Giải các phương trình sau: a) 7x2 -12x + 5 = 0; b) c) x2 - 2(1+)x + 2 = 0 d) x2 - (x + = 0 a) 7x2 -12x + 5 = 0 (a = 7; b = -12; c = 5) Ta thấy a + b + c = 7 + (- 12) + 5 = 0 Vậy nghiệm phương trình x1 = 1; x2 = b) (1) ĐK: x ¹ 0; x ¹ -1 (1) x2 + (x + 1)2 = -2x(x + 1) 4x2 + 4x + 1 = 0 Giải ra ta được x1 = x2 = c) x2 - 2(1+)x + 2 = 0 (a = 1; b = - 2(1+); b’ = - (1+); c = 2 D’ = b’2 – ac = [- (1+)]2 - 2 = 4 > 0 => x1 = 3 + ; x2 = - 1 Bài 5: Giải các phương trình sau: a) ; b) (x2 – 6x + 9)2 + x2 – 6x – 3 = 0 c) d) (8x + 7)2.(4x + 3).(x + 1) = a) Đặt t = , ta có phương trình t2 – 10t + 9 = 0 Giải ra ta được t1 = 1; t2 = 9 - Với t1 = 1 thì = 1 => x = - Với t2 = 9 thì = 9 => x = 8 b) Đặt t = x2 – 6x + 9 ta có phương trình t2 + t - 12 = 0 Giải ra ta được t1 = 3; t2 = -4 - Với t1 = 3 thì x2 – 6x + 9 = 3 => x1 =.....; x2 = ..... - Với t2 = -4 thì x2 – 6x + 9 = -4 => x3 =.....; x4 = ..... Kết luận: c) (đk: x ³ -7) *) x + 7 x < -6 Do đó -7 x < -6, ta có: 0 = 2 => phương trình vô nghiệm *) ³ 0 x + 7 ³ 1 x ³ -6 ta có: x = -3 Vậy phương trình có nghiệm là x = -3. d) (8x + 7)2.(4x + 3).(x + 1) = 16.(8x + 7)2.(4x + 3).(x + 1) = 16. (8x + 7)2.(8x + 6).(8x + 8) = 72 Đặt t = 8x + 7, ta có PT: t2.(t – 1)(t + 1) = 72 t4 – t2 – 72 = 0 Giải ra ta được t = ± 3, khi đó x1 = Bài 6: Cho phương trình x2 + (2a – 5)x – 3b = 0 Xác định a; b để phương trình có hai nghiệm là x1 = 2; x2 = -3 Thay x1 = 2; x2 = -3 lần lượt vào phương trình, ta được: Bài 7: Chứng minh rằng phương trình: x2 – 2(m + 1)x + 2m – 3 luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m Ỵ R. Phương trình: x2 – 2(m + 1)x + 2m – 3 = 0 D’ = [-(m+1)]2 – 2m + 3 = m2 + 4 > 0 với mọi m Điều này chứng tỏ phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m Ỵ R. Bài 8: Cho phương trình: (m – 1)x2 – 2mx + m + 1 = 0 (m ¹ 1) a) Chứng tỏ rằng phương trình luôn luôn có hai hai nghiệm phân biệt với mọi m ¹ 1 b) Không giải phương trình, hãy xác định giá trị của m để tích hai nghiệm bằng 3. Từ đó tính tổng hai nghiệm ấy. a) Phương trình: (m – 1)x2 – 2mx + m + 1 = 0 D’ = (-m)2 – (m – 1)(m + 1) = m2 – m2 + 1 = 1 > 0 với mọi m. Điều này chứng tỏ phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m ¹ 1. b) Theo hệ thức viet, ta có: theo đề bài x1.x2 = 3 ta suy ra m = 2 Với m = 2, ta lại có x1 + x2 = 4 Bài 9: Cho phương trình x2 + (k – 1)x – k = 0 Xác định k để phương trình có nghiệm kép. Tìm nghiệm kép đó. Xác định k để phương trình có hai nghiệm đều dương a) D = (k – 1)2 + 4k =........= (k + 1)2 Phương trình có nghiệm kép D = 0 k = -1 Khi đó nghiệm kép là: x1 = x2 = 1 b) Theo hệ thức Viet, ta có: Phương trình có hai nghiệm đều dương Bài 10: Cho phương trình: 2x2 – 3mx – 2 = 0 CMR rằng với mọi giá trị của m thì phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phương trình. Tìm giá trị của m để S = x12 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó. Tính theo m a) D = (-3m)2 + 16 = 9m2 + 16 > 0 với mọi m Điều này chứng tỏ phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt b) Theo hệ thức Viet, ta có: Khi đó S = x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2 x1. x2 = + 2 ³ 2 Dấu “=” xảy ra khi = 0 m = 0 Vậy min S = 2 khi m = 0 c) Ta có: Bài 11: Cho phương trình x2 – 2(m – 1)x + m – 3 = 0 Giải phương trình với m = 4 Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi m Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m Xác định giá trị của m sao cho phương trình có hai nghiệm bằng nhau về giá trị tuyệt đối và trái dấu nhau. a) Khi m = 4, giải ra ta được nghiệm PT: x1 = ; x2 = b) D’ = (m – 1)2 – (m – 3) =.......= m2 – 3m + 4 = với mọi m Điều này chứng tỏ PT luôn có hai nghiệm với mọi m c) Theo hệ thức Viet, ta có: Hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m là: x1 + x2 - 2 x1.x2 = 2(m – 1) – 2(m – 3) = 4 d) Phương trình có hai nghiệm bằng nhau về giá trị tuyệt đối và trái dấu nhau khi và chỉ khi: Bài 12: Cho phương trình: x2 – 2(m + 1)x + m – 4 = 0 a) Giải phương trình khi m = 5 b) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu d) Chứng minh rằng biểu thức S = x1(1 – x2) + x2(1 – x1) không phụ thuộc vào m a) Giải ra ta được x1 = ; x2 = b) D’ = (m + 1)2 – (m – 4) =.......= m2 + m + 5 = với mọi m Điều này chứng tỏ PT luôn có hai nghiệm với mọi m c) phương trình có hai nghiệm trái dấu a.c < 0 m – 4 m < 4 d) Theo hệ thức Viet, ta có: Khi đó: S = x1(1 – x2) + x2(1 – x1) = x1 + x2 - 2 x1.x2 = 2m + 2 – 2m + 8 = 10 Điều này chứng tỏ biểu thức S = x1(1 – x2) + x2(1 – x1) không phụ thuộc vào m Bài 13: Cho phương trình: (2m – 1) x2 – 2(m + 4) x + 5m + 2 = 0 a) Giải phương trình khi m = - 1 b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm a) Giải ra ta được x = 1 b) Ta có: D’ = (m + 4)2 – (2m – 1).(5m + 2) =................ = -(9m2 - 9m – 18) Phương trình có hai nghiệm khi và chỉ khi: C. BÀI TẬP VỀ NHÀ: Bài 1: Cho phương trình: (m – 1)x2 – 2mx + m + 1 = 0 với m là tham số: Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m 1 Xác định giá trị của m để phương trình có tích hai nghiệm bằng 5, từ đó hãy tính tổng hai nghiệm của phương trình Tìm một hệ thức giữa hai nghiệm không phụ thuộc m Tìm m để phương trình có nghiệm x1, x2 thoả mãn hệ thức: HD: a) ’ = m2 – (m – 1)(m + 1) = 1 > 0. b) Áp dụng định lý Viét ta có: x1.x2 = = 5 m = Khi đó: x1 + x2 = = 6 c) x1 + x2 = = – 1 + 1 = x1.x2 + 1 Vậy hệ thức cần tìm là: x1.x2 – (x1 + x2) + 1 = 0 d) 2(x12 + x22) + 5x1x2 = 0 2[(x1 + x2)2 – 2x1x2] + 5x1x2 = 0 2(x1 + x2)2 + x1x2 = 0 2. = 0 9m2 = 1 m = Bài 2: Cho phương trình x2 – 2(m + 1)x + m2 – 4m + 5 = 0 a) Định m để phương trình có nghiệm b) Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phương trình. Tính x12 + x22 theo m c) Tìm m sao cho x12 + x22 = 12 HD:a) Ta có ’ = (m + 1) 2 – m2 + 4m – 5 = 6m – 4 Phương trình có nghiệm khi ’ 0 m b) Aùp dụng hệ thức Viet ta có S = x1 + x2 = 2(m + 1); P = x1. x2 = m2 – 4m + 5 x12 + x22 = (x1 + x2 )2 – 2x1x2 = 12 4(m + 1)2 – 2m2 + 8m – 10 = 12 2m2 + 16m – 6 = 12 m2 + 8m – 9 = 0 m1 = 1; m2 = -9 (loại) Bài 3: Cho phương trình x2 + mx – m2 + m – 1 = 0 a) Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m. Xác định dấu của các nghiệm b) Gọi x1; x2 là các nghiệm của phương trình. Tìm m để x12 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất HD: a) Vì phương trình có hệ số a = 1 > 0 và c = – m2 + m – 1 = -(m - )2 - < 0 nên ac < 0 với mọi m. Vậy phương trình luôn có hai nghiệm trái dấu b) Aùp dụng hệ thức Viet ta có: S = x1 + x2 = -m; P = x1.x2 = – m2 + m – 1 x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1.x2 = 2m2 + 2m2 – 2m + 2= 4m2 – 2m + 2 = (m - )2 + với mọi m.Vậy giá trị nhỏ nhất của x12 + x22 là khi m = Bài 4 : Cho phương trình: x2 - 2x - m2 - 4 = 0 Chứng tỏ phương trình luôn luôn có hai nghiệm phân biệt x1 và x2. Tìm m sao cho phương trính nghiệm x = - 2 và tính nghiệm kia. Tìm m sao cho : + ) x12 + x22 = 20 +) x1 = -2x2 +) x1 - x2 = 10 Bài 5 : Cho phương trình: x2 - 2(m+1)x + m2 + 2 = 0 Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm số . Với giá trị nào của m thì hai nghiệm số x1 và x2 của phương trình nghiệm đúng hệ thức x1 - x2 = 4 Bài 6 : Cho phương trình : x2 + 3x + 2 - m = 0 (1) Với giá trị nào của m thì phương trình (1) có một nghiệm là 3 . Giải phương trình (1) khi m = 6 . Xác định m để hai nghiệm x1 , x2 của phương trình ( 1) thỏa mãn hệ thức:x12 + x22 = 3. Với giá trị nào của m thì phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu . Bài 7 : Cho phương trình có ẩn số x ( m là tham số ). x2 - mx + m - 1 = 0 Chứng tỏ phương trình có nghiệm x1;x2 với mọi m. Tính nghiệm kép ( nếu có) của phương trình và giá trị của m tương ứng . Đặt A = x12 + x22 - 6x1x2 +) Chứng minh A = m2 - 8m + 8. +) Tìm m sao cho A = 8 +) Tìm gia trị nhỏ nhất của A và giá trị của m tương ứng . RÚT KINH NGHIỆM :