Bài giảng lớp 9 môn Toán học - Phần II: Các bài toán về dãy số

PHẦN II: CÁC BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ Máy tính điện tử Casio fx - 570 MS có nhiều đặc điểm ưu việt hơn các MTBT khác. Sử dụng MTĐT Casio fx - 570 MS lập trình tính các số hạng của một dãy số là một ví dụ. Nếu biết cách sử dụng đúng, hợp lý một quy trình bấm phím sẽ cho kết quả nhanh, chính xác. Ngoài việc MTBT giúp cho việc giảm đáng kể thời gian tính toán trong một giờ học mà từ kết quả tính toán đó ta có thể dự đoán, ước đoán về các tính chất của dãy số (tính đơn điệu, bị chặn...), dự đoán công thức số hạng tổng quát của dãy số, tính hội tụ, giới hạn của dãy...từ đó giúp cho việc phát hiện, tìm kiếm cách giải bài toán một cách sáng tạo. Việc biết cách lập ra quy trình để tính các số hạng của dãy số còn hình thành cho học sinh những kỹ năng, tư duy thuật toán rất gần với lập trình trong tin học. Sau đây là một số quy trình tính số hạng của một số dạng dãy số thường gặp trong chương trình, trong ngoại khoá và thi giải Toán bằng MTBT: I/ Lập quy trình tính số hạng của dãy số: 1) Dãy số cho bởi công thức số hạng tổng quát: un = f(n), n Î N* trong đó f(n) là biểu thức của n cho trước. Cách lập quy trình: - Ghi giá trị n = 1 vào ô nhớ : 1 - Lập công thức tính f(A) và gán giá trị ô nhớ 1 - Lặp dấu bằng: ... ... Giải thích: 1 : ghi giá trị n = 1 vào ô nhớ 1 : tính un = f(n) tại giá trị (khi bấm dấu bằng thứ lần nhất) và thực hiện gán giá trị ô nhớ thêm 1 đơn vị:1 (khi bấm dấu bằng lần thứ hai). * Công thức được lặp lại mỗi khi ấn dấu Ví dụ 1: Tính 10 số hạng đầu của dãy số (un) cho bởi: Giải: - Ta lập quy trình tính un như sau: 1 1 5 1 5 2 1 5 2 1 - Lặp lại phím: ... ... Ta được kết quả: u1 = 1, u2 = 1, u3 = 2, u4 = 3, u5 = 5, u6 = 8, u7 = 13, u8 = 21, u9 = 34, u10 = 55. 2) Dãy số cho bởi hệ thức truy hồi dạng: trong đó f(un) là biểu thức của un cho trước. Cách lập quy trình: - Nhập giá trị của số hạng u1: a - Nhập biểu thức của un+1 = f(un) : ( trong biểu thức của un+1 chỗ nào có un ta nhập bằng ) - Lặp dấu bằng: Giải thích: - Khi bấm: a màn hình hiện u1 = a và lưu kết quả này - Khi nhập biểu thức f(un) bởi phím , bấm dấu lần thứ nhất máy sẽ thực hiện tính u2 = f(u1) và lại lưu kết quả này. - Tiếp tục bấm dấu ta lần lượt được các số hạng của dãy số u3, u4... Ví dụ 1: Tìm 20 số hạng đầu của dãy số (un) cho bởi: Giải: - Lập quy trình bấm phím tính các số hạng của dãy số như sau: 1 (u1) 2 1 (u2) ... - Ta được các giá trị gần đúng với 9 chữ số thập phân sau dấu phảy: u1 = 1 u8 = 1,414215686 u2 = 1,5 u9 = 1,414213198 u3 = 1,4 u10 = 1,414213625 u4 = 1,416666667 u11 = 1,414213552 u5 = 1,413793103 u12 = 1,414213564 u6 = 1,414285714 u13 = 1,414213562 u7 = 1,414201183 u14 =...= u20 = 1,414213562 Ví dụ 2: Cho dãy số được xác định bởi: Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất để un là số nguyên. Giải: - Lập quy trình bấm phím tính các số hạng của dãy số như sau: 3 (u1) 3 (u2) (u4 = 3) Vậy n = 4 là số tự nhiên nhỏ nhất để u4 = 3 là số nguyên. 3) Dãy số cho bởi hệ thức truy hồi dạng: Cách lập quy trình: * Cách 1: Bấm phím: b A B a C Và lặp lại dãy phím: A B C A B C Giải thích: Sau khi thực hiện b A B a C trong ô nhớ là u2 = b, máy tính tổng u3 := Ab + Ba + C = Au2 + Bu1 + C và đẩy vào trong ô nhớ , trên màn hình là: u3 : = Au2 + Bu1 + C Sau khi thực hiện: A B C máy tính tổng u4 := Au3 + Bu2 + C và đưa vào ô nhớ . Như vậy khi đó ta có u4 trên màn hình và trong ô nhớ (trong ô nhớ vẫn là u3). Sau khi thực hiện: A B C máy tính tổng u5 := Au4 + Bu3 + C và đưa vào ô nhớ . Như vậy khi đó ta có u5 trên màn hình và trong ô nhớ (trong ô nhớ vẫn là u4). Tiếp tục vòng lặp ta được dãy số un+2 = Aun+1 + Bun + C *Nhận xét: Trong cách lập quy trình trên, ta có thể sử dụng chức năng để lập lại dãy lặp bởi quy trình sau (giảm được 10 lần bấm phím mỗi khi tìm một số hạng của dãy số), thực hiện quy trình sau: Bấm phím: b A B a C A B C A B C Lặp dấu bằng: ... ... * Cách 2: Sử dụng cách lập công thức Bấm phím: a b A B C Lặp dấu bằng: ... ... Ví dụ : Cho dãy số được xác định bởi: Hãy lập quy trình tính un. Giải: - Thực hiện quy trình: 2 3 4 1 5 3 4 5 3 4 5 ... ... ta được dãy: 15, 58, 239, 954, 3823, 15290, 61167, 244666, 978671... Hoặc có thể thực hiện quy trình: 1 2 3 4 5 ... ... ta cũng được kết quả như trên. 4) Dãy số cho bởi hệ thức truy hồi với hệ số biến thiên dạng: Trong đó là kí hiệu của biểu thức un+1 tính theo un và n. * Thuật toán để lập quy trình tính số hạng của dãy: - Sử dụng 3 ô nhớ: : chứa giá trị của n : chứa giá trị của un : chứa giá trị của un+1 - Lập công thức tính un+1 thực hiện gán : = + 1 và := để tính số hạng tiếp theo của dãy - Lặp phím : Ví dụ : Cho dãy số được xác định bởi: Hãy lập quy trình tính un. Giải: - Thực hiện quy trình: 1 0 1 1 1 ... ... ta được dãy: II/ Sử dụng MTBT trong việc giải một số dạng toán về dãy số: 1). Lập công thức số hạng tổng quát: Phương pháp giải: - Lập quy trình trên MTBT để tính một số số hạng của dãy số - Tìm quy luật cho dãy số, dự đoán công thức số hạng tổng quát - Chứng minh công thức tìm được bằng quy nạp Ví dụ 1: Tìm a2004 biết: Giải: - Trước hết ta tính một số số hạng đầu của dãy (an), quy trình sau: 1 0 1 2 3 1 1 - Ta được dãy: - Từ đó phân tích các số hạng để tìm quy luật cho dãy trên: a1 = 0 a2 = Þ dự đoán công thức số hạng tổng quát: (1) a3 = với mọi n Î N* bằng quy nạp. a4 = * Dễ dàng chứng minh công thức (1) đúng ... Þ Ví dụ 2: Xét dãy số: Chứng minh rằng số A = 4an.an+2 + 1 là số chính phương. Giải: - Tính một số số hạng đầu của dãy (an) bằng quy trình: 3 2 1 1 2 1 2 1 ... ... - Ta được dãy: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55,... - Tìm quy luật cho dãy số: Þ dự đoán công thức số hạng tổng quát: (1) đúng với mọi n Î N* * Ta hoàn toàn chứng minh công thức (1) ... Từ đó: A = 4an.an+2 + 1 = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) +1 = (n2 + 3n + 1)2. Þ A là một số chính phương. Cách giải khác: Từ kết quả tìm được một số số hạng đầu của dãy,ta thấy: - Với n = 1 thì A = 4a1.a3 + 1 = 4.1.6 + 1 = 25 = (2a2 - 1)2 - Với n = 2 thì A = 4a2.a4 + 1 = 4.3.10 + 1 = 121 = (2a3 - 1)2 - Với n = 3 thì A = 4a3.a5 + 1 = 4.6.15 + 1 = 361 = (2a4 - 1)2 Từ đó ta chứng minh A = 4an.an+2 + 1 = (2an+1 - 1)2 (*) Bằng phương pháp quy nạp ta cũng dễ dàng chứng minh được (*). 2). Dự đoán giới hạn của dãy số: 2.1. Xét tính hội tụ của dãy số: Bằng cách sử dung MTBT cho phép ta tính được nhiều số hạng của dãy số một cách nhanh chóng. Biểu diễn dãy điểm các số hạng của dãy số sẽ giúp cho ta trực quan tốt về sự hội tụ của dãy số, từ đó hình thành nên cách giải của bài toán. Ví dụ 1: Xét sự hội tụ của dãy số (an): Giải: - Thực hiện quy trình: 1 1 1 ... ... ta được kết quả sau (độ chính xác 10-9): n an n an n an n an 1 0,420735492 13 0,030011931 25 -0,005090451 37 -0,016935214 2 0,303099142 14 0,06604049 26 0,028242905 38 0,007599194 3 0,035280002 15 0,04064299 27 0,034156283 39 0,024094884 4 -0,151360499 16 -0,016935489 28 0,009341578 40 0,018173491 5 -0,159820712 17 -0,053410971 29 -0,022121129 41 -0,00377673 6 -0,039916499 18 -0,039525644 30 -0,031871987 42 -0,021314454 7 0,082123324 19 0,00749386 31 -0,012626176 43 -0,018903971 8 0,109928694 20 0,043473583 32 0,016709899 44 0,000393376 9 0,041211848 21 0,038029801 33 0,029409172 45 0,018497902 10 -0,049456464 22 -0,000384839 34 0,015116648 46 0,019186986 11 -0,083332517 23 -0,035259183 35 -0,011893963 47 0,00257444 12 -0,041274839 24 -0,036223134 36 -0,026804833 48 -0,015678666 n an - Biểu diễn điểm trên mặt phẳng toạ độ (n ; an): Dựa vào sự biểu diễn trên giúp cho ta rút ra nhận xét khi n càng lớn thì an càng gần 0 (an® 0) và đó chính là bản chất của dãy hội tụ đến số 0. 2.2. Dự đoán giới hạn của dãy số: Ví dụ 1: Chứng minh rằng dãy số (un), (n = 1, 2, 3...) xác định bởi: có giới hạn. Tìm giới hạn đó. Giải: - Thực hiện quy trình: 2 2 ... ... ta được kết quả sau (độ chính xác 10-9): n un n un 1 1,414213562 11 1,999999412 2 1,847759065 12 1,999999853 3 1,961570561 13 1,999999963 4 1,990369453 14 1,999999991 5 1,997590912 15 1,999999998 6 1,999397637 16 1,999999999 7 1,999849404 17 2,000000000 8 1,999962351 18 2,000000000 9 1,999990588 19 2,000000000 10 1,999997647 20 2,000000000 Dựa vào kết quả trên ta nhận xét được: 1) Dãy số (un) là dãy tăng 2) Dự đoán giới hạn của dãy số bằng 2 Chứng minh nhận định trên: + Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được dãy số (un) tăng và bị chặn Þ dãy (un) có giới hạn. + Gọi giới hạn đó là a: limun = a. Lấy giới hạn hai vế của công thức truy hồi xác định dãy số (un) ta được: limun = lim() hay a = Vậy: lim un = 2 Ví dụ 2: Cho dãy số (xn), (n = 1, 2, 3...) xác định bởi: Chứng minh rằng dãy (xn) có giới hạn và tìm giới hạn của nó. Giải: - Thực hiện quy trình: 1 2 5 2 5 1 2 5 2 5 2 5 2 5 ... ... ta tính các số hạng đầu của dãy số (xn) và rút ra những nhận xét sau: 1) Dãy số (xn) là dãy không giảm 2) x50 = x51 =... = 1,570796327 (với độ chính xác 10-9). 3) Nếu lấy xi (i = 50, 51,...) trừ cho ta đều nhận được kết quả là 0. Þ dự đoán giới hạn của dãy số bằng . Chứng minh nhận định trên: + Bằng phương pháp quy nạp ta dễ dàng chứng minh được xnÎ (0 ; ) và dãy (xn) không giảm Þ dãy (xn) có giới hạn. + Gọi giới hạn đó bằng a, ta có: + Bằng phương pháp giải tích (xét hàm số ) ta có (1) có nghiệm là a = . Vậy: lim xn = . 3). Một số dạng bài tập sử dụng trong ngoại khoá và thi giải Toán bằng MTBT: Bài 1: Cho dãy số (un), (n = 0, 1, 2,...): a) Chứng minh un nguyên với mọi n tự nhiên. b) Tìm tất cả n nguyên để un chia hết cho 3. Bài 2: Cho dãy số (an) được xác định bởi: a) Xác định công thức số hạng tổng quát an. b) Chứng minh rằng số: biểu diễn được dưới dạng tổng bình phương của 3 số nguyên liên tiếp với mọi n ³ 1. Bài 3: Cho dãy số (un) xác định bởi: Tìm tất cả số tự nhiên n sao cho un là số nguyên tố. Bài 4: Cho dãy số (an) xác định bởi: Chứng minh rằng: a) Dãy số trên có vô số số dương, số âm. b) a2002 chia hết cho 11. Bài 5: Cho dãy số (an) xác định bởi: Chứng minh an nguyên với mọi n tự nhiên. Bài 6: Dãy số (an) được xác định theo công thức: ; (kí hiệu là phần nguyên của số). Chứng minh rằng dãy (an) là dãy các số nguyên lẻ. CHUYÊN ĐỀ VỀ : Dãy Số Tìm số hạng thứ n của dãy số? VD1: Cho U1 = 8; U2 = 13; Un+2 = Un+1+Un (n2) a) Lập quy trình bấm phím liên tục để tính Un? b) Áp dụng quy trình trên để tính U13, U17? Cách làm: 8 → A 13 → B B+A → A A +B→ B Gán 8 vào ô nhớ A (U1) Gán 13 vào ô nhớ B (U2) Dòng lệnh 1 (U3) Dòng lệnh 2 (U4) ... Đưa 2 DL vào quy trình lặp rồi ấn dấu n – 4 lần và đọc kết quả. (U13 = 2 584; U17 = 17 711) VD2: Cho U1 = 1; U2 = 2; Un+2 = 2Un+1- 4Un (n2) a) Lập quy trình bấm phím liên tục để tính Un? b) Áp dụng quy trình trên để tính U15,U16, U17? Cách làm: 1 → A 2 → B 2B - 4A → A 2A - 4B → B Gán 1 vào ô nhớ A (U1) Gán 2 vào ô nhớ B (U2) Dòng lệnh 1 (U3) Dòng lệnh 2 (U4) ... Đưa 2 DL vào quy trình lặp rồi ấn dấu n – 4 lần và đọc kết quả. (U15 = 0; U16 = -32 768; U17 = - 65 536) VD3: Cho U1 = 1; U2 = 2; U3 = 3; Un+3 = 2Un+2 - 3Un+1 +2Un (n2) a) Lập quy trình bấm phím liên tục để tính Un? b) Áp dụng quy trình trên để tính U19,U20, U66, U67, U68? c) Tính tổng 20 số hạng đầu tiên của dãy (S20)? Cách làm:Câua+b) 1 → A 2 → B 3 → C 2C – 3B + 2A → A 2A – 3C + 2B → B 2B – 3A + 2C → C Gán 1 vào ô nhớ A (U1) Gán 2 vào ô nhớ B (U2) Gán 3 vào ô nhớ C (U3) DL1:U4 = 2U3 - 3U2 +2U1 DL2:U5 = 2U4 - 3U3 +2U2 DL3:U6 = 2U5 - 3U4 +2U3 ... Đưa 3 DL vào quy trình lặp rồi ấn dấu n – 6 lần và đọc kết quả. (U19 = 315; U20 = -142; U66 = 2 777 450 630; U67 = -3 447965 925; U68 = -9 002 867 128 ) Bài 1: Cho dãy số a1 = 3; an + 1 = . Lập quy trình bấm phím tính an + 1 Tính an với n = 2, 3, 4, ..., 10 Bài 2: Cho dãy số x1 = ; . Hãy lập quy trình bấm phím tính xn + 1 Tính x30 ; x31 ; x32 Bài 3: Cho dãy số (n ³ 1) Lập quy trình bấm phím tính xn + 1 với x1 = 1 và tính x100. Lập quy trình bấm phím tính xn + 1 với x1 = -2 và tính x100. Bài 4: Cho dãy số (n ³ 1) Cho x1 = 0,25. Viết quy trình ấn phím liên tục để tính các giá trị của xn + 1 Tính x100 Bài 5: Cho dãy số với n = 0; 1; 2; 3; ... Tính 5 số hạng đầu tiên U0, U1, U2, U3, U4 Chứng minh rằng Un + 2 = 10Un + 1 – 18Un . Lập quy trình bấm phím liên tục tính Un + 2 theo Un + 1 và Un. HD giải: Thay n = 0; 1; 2; 3; 4 vào công thức ta được U0 = 0, U1 = 1, U2 = 10, U3 = 82, U4 = 640 Chứng minh: Giả sử Un + 2 = aUn + 1 + bUn + c. Thay n = 0; 1; 2 và công thức ta được hệ phương trình: Giải hệ này ta được a = 10, b = -18, c = 0 c) Quy trình bấm phím liên tục tính Un + 2 trên máy Casio 570MS , Casio 570ES Đưa U1 vào A, tính U2 rồi đưa U2 vào B 1 SHIFT STO A x 10 – 18 x 0 SHIFT STO B, lặp lại dãy phím sau để tính liên tiếp Un + 2 với n = 2, 3, ... x 10 – 18 ALPHA A SHFT STO A (được U3) x 10 – 18 ALPHA B SHFT STO B (được U4) Bài 6: Cho dãy số với n = 1; 2; 3; ... Tính 5 số hạng đầu tiên U1, U2, U3, U4 , U5 Lập công thức truy hồi tính Un + 1 theo Un và Un – 1. Lập quy trình bấm phím liên tục tính Un + 1 trên máy Casio Bài 7: Cho dãy số với số hạng tổng quát được cho bởi công thức với n = 1 , 2 , 3 , . . . k , . . . a) Tính b) Lập công thức truy hồi tính theo và c) Lập quy trình ấn phím liên tục tính theo và Bài 8: Cho dãy số được tạo thành theo quy tắc sau: Mỗi số sau bằng tích của hai số trước cộng với 1, bắt đầu từ U0 = U1 = 1. Lập một quy trình tính un. Tính các giá trị của Un với n = 1; 2; 3; ...; 9 Có hay không số hạng của dãy chia hết cho 4? Nếu có cho ví dụ. Nếu không hãy chứng minh. Hướng dẫn giải: a) Dãy số có dạng: U0 = U1 = 1, Un + 2 = Un + 1 . Un + 1, (n =1; 2; ...) Quy trình tính Un trên máy tính Casio 500MS trở lên: 1 SHIFT STO A x 1 + 1 SIHFT STO B. Lặp lại dãy phím x ALPHA A + 1 SHIFT STO A x ALPHA B + 1 SHIFT STO B b) Ta có các giá trị của Un với n = 1; 2; 3; ...; 9 trong bảng sau: U0 = 1 U1 = 1 U2 = 2 U3 = 3 U4 = 7 U5 = 22 U6 = 155 U7 = 3411 U8 = 528706 U9 = 1803416167 Bài 9: Cho dãy số U1 = 1, U2 = 2, Un + 1 = 3Un + Un – 1. (n ³ 2) Hãy lập một quy trình tính Un + 1 bằng máy tính Casio Tính các giá trị của Un với n = 18, 19, 20 Bài 10: Cho dãy số U1 = 1, U2 = 1, Un + 1 = Un + Un – 1. (n ³ 2) Hãy lập một quy trình tính Un + 1 bằng máy tính Casio Tính các giá trị của Un với n = 12, 48, 49, 50 ĐS câu b) U12 = 144, U48 = 4807526976, U49 = 7778742049 , U49 = 12586269025 Bài 11: Cho dãy số sắp thứ tự với U1 = 2, U2 = 20 và từ U3 trở đi được tính theo công thức Un + 1 = 2Un + Un + 1 (n ³ 2). Tính giá trị của U3 , U4 , U5 , U6 , U7 , U8 Viết quy trình bấm phím liên tục tính Un Sử dụng quy trình trên tính giá trị của Un với n = 22; 23, 24, 25 Bài 13/Cho dãy u1 = 8, u2 = 13, un+1 = un + un-1 (n 2). a. Lập qui trình bấm phím liên tục để tính un+1? b. Sử dụng qui trình trên tính u13, u17? 14 /Cho dãy u1 = 8, u2 = 13, un+1 = 3un + 2un-1 (n 2). Lập qui trình bấm phím liên tục để tính un+1? 15 /Cho dãy u1 = 1, u2 = 2, (n 2). a. Lập qui trình bấm phím liên tục để tính un+1? b. Tính u7? c /Cho dãy u1 = 1, u2 = 2, (n 2). Lập qui trình bấm phím liên tục để tính un+1? d/ Cho u1 = u2 = 1; u3 = 2; un+1 = un + un-1 + un-2 (với n 3). 14 / Cho u1 = 4; u2 = 5, . Lập qui trình ấn phím tính un+1? Bài 16: (Thi khu vực, 2001, lớp 9) Cho dãy u1 = 144; u2 = 233; un+1 = un + un-1. a. Lập một qui trình bấm phím để tính un+1. b. Tính chính xác đến 5 chữ số sau dấu phẩy các tỉ số Bài 17: (Thi khu vực, 2003, lớp 9) Cho dãy u1 = 2; u2 = 20; un+1 = 2un + un-1. a. Tính u3; u4; u5; u6; u7. b. Viết qui trình bấm phím để tính un. c. Tính giá trị của u22; u23; u24; u25. Bài 18: (Thi khu vực, 2003, lớp 9 dự bị) Cho dãy số a. Tính 8 số hạng đầu tiên của dãy. b. Lập công thức truy hồi để tính un+2 theo un+1 và un. c. Lập một qui trình tính un. d. Tìm các số n để un chia hết cho 3. Bài 19: (Thi khu vực, 2003, lớp 9 dự bị) Cho u0 = 2; u1 = 10; un+1 = 10un – un-1. a. Lập một quy trình tính un+1 b. Tính u2; u3; u4; u5, u6 c. Tìm công thức tổng quát của un. Bài 20: (Thi vô địch toán Lêningrat, 1967) Cho dãy u1 = u2 = 1; . Tìm số dư của un chia cho 7. Bài 21: (Tạp chí toán học & tuổi trẻ, tháng 1.1999) Cho u1 = 1; u2 = 3, un+2 = 2un+1 – un+1. Chứng minh: A=4un.un+2 + 1 là số chính phương. Bài 22: (Olympic toán Singapore, 2001) Cho a1 = 2000, a2 = 2001 và an+2 = 2an+1 – an + 3 với n = 1,2,3 Tìm giá trị a100? Bài 23: (Tạp chí toán học & tuổi trẻ, tháng 7.2001) Cho dãy số un được xác định bởi: u1 = 5; u2 = 11 và un+1 = 2un – 3un-1 với mọi n = 2, 3,. Chứng minh rằng: a. Dãy số trên có vô số số dương và số âm. b. u2002 chia hết cho 11. Bài 24(Thi giỏi toán, 1995)Dãy un được xác định bởi: u0 = 1, u1 = 2 và un+2 = với mọi n = 0, 1, 2, 3, . Chứng minh rằng: a. chia hết cho 20 b. u2n+1 không phải là số chính phương với mọi n. Bài 25: (Sở GD Lâm Đồng, 2005) Cho u1 = u2 = 7; un+1 = u12 + un-12. Tính u7=? Bài 26: (Trường THCS Đồng Nai – Cát Tiên 2005) Cho dãy u1 = u2 = 11; u3 = 15; un+1 = với n3 a. Lập quy trình bấm phím để tìm số hạng thứ un của dãy? b. Tìm số hạng u8 của dãy? Bài 27: (Trường THCS Đồng Nai – Cát Tiên 2005) Cho dãy u1 = 5; u2 = 9; un +1 = 5un + 4un-1 (n2). a. Lập quy trình bấm phím để tìm số hạng thứ un của dãy? b. Tìm số hạng u14 của dãy? Bài 28: (Phòng GD Bảo Lâm, 2005) a.Cho . Tính ? b. Cho . Tính ? c. Cho u0=3 ; u1= 4 ; un = 3un-1 + 5un-2 (n2). Tính u12 ? Bài 29: (Thi khu vực 2002, lớp 9)Cho dãy số xác định bởi công thức, n là số tự nhiên, n >= 1. Biết x 1 = 0,25. Viết qui trình ấn phím tính xn? Tính x100? Bài 30 /Cho dãy số Un xác định bởi: U1=1 Un+1=5Un-2n Tính U20 và tổng của 20 số hạng đầu tiên. Bài 31. (5 điểm)Cho dóy số với số hạng tổng quỏt được cho bởi cụng thức : với n = 1, 2, 3, , k, .. Tớnh U1, U2,U3,U4,U5,U6,U7,U8 Lập cụng thức truy hồi tớnh Un+1 theo Un và Un-1 Lập quy trỡnh ấn phớm liờn tục tớnh Un+1 theo Un và Un-1 Bài 32 Cho dãy số ( ) được xác định như sau: ; ; với mọi . Tính ? Bài 33 Dãy số un được xác định như sau: u0 = 1; u1 = 1; un+1= 2un - un-1 + 2, với n = 1, 2, Lập một qui trình bấm phím để tính un; Tính các giá trị của un , khi n = 1, 2, ,20. Câu 34 Cho u1=a; u2=b; un+1=Mun+Nun-1. Lập quy trình bấm phím tính un và tính u13; u14; u15 với a=2; b=3; M=4; N=5. Câu 35): Cho Un+1 = Un + Un-1 , U1 = U2 = 1. Tính U25 Bài 36 Cho u0=1; u1=3; un+1=un+un-1. Tính un với n = 1;2;3;; 10. Bài 37 Cho dãy số sắp xếp thứ tự U1 , U2 , U3 , ,Un ,Un+1, biết U5 = 588 ; U6 = 1084 ; Un+1 = 3Un - 2 Un-1 . Tính U1 ; U2 ; U25 Bài 38 Cho dãy số với n = 0 , 1 , 2 Tính 5 số hạng đầu tiên của dãy . = = = = = Lập một công thức truy hồi để tính theo và Lập quy trình ấn phím liên tục tính trên máy tính Casio Tìm tất cả các số nguyên n để chia hết cho 3 Bài 39: Cho a) Viết quy trình tính b) Tính Hãy điền các kết quả tính được vào ô vuông . u6 = u7 = u8 = u9 = 23) Cho và . Tính ? Số 196603 là số hạng thứ mấy ? Bài 40: Cho với n = 1; 2; 3; ... a) Tính b) Lập công thức truy hồi để tính theo và c) Lập quy trình ấn phím liên tục tính theo và và tính Bài 41: Cho với n = 0; 1; 2; ... a) Lập công thức truy hồi để tính theo và b) Lập quy trình ấn phím liên tục tính ( n = 5; 6; ...) c) Tính u5 , u6 , u7 , u8 , u9 ? Bài 42: Cho với n = 0; 1; 2; ... a) Tính b) Lập công thức truy hồi để tính theo và c) Tính từ u10 đến u15 ? Bài 43 :Cho dãy số , biết a)Lập quy trình ấn phím b)Tính Bài 44 Cho với n = 1; 2; 3; ... a) Tính b) Lập công thức truy hồi để tính theo và c) Lập quy trình ấn phím liên tục tính theo và d) Tính từ u10 đến u15 ? Bài 45 Cho với n = 0;1; 2; 3; ... a) Tính b) Viết công thức truy hồi để tính theo và c) Tính từ u11 đến u13 ? u0 = u1 = u2 = u3 = u4 = = u13 = u14 = u15 = Bài 46: Cho dãy số , biết . Tính tổng của 5 số hạng đầu của dãy số đó ? Ghi kết quả vào ô vuông : Bµi 47: Cho d·y sè: u1=21, u2=34 vµ un+1=un+un-1 a/ViÕt quy tr×nh bÊm phÝm tÝnh un+1? b/Áp dông tÝnh u10, u15, u20 Bµi 48: Cho d·y sè : Un = , víi n = 0, 1, 2, 3, TÝnh 5 sè h¹ng ®Çu cña d·y sè U1, U2, U3, U4, U5. LËp c«ng thøc truy håi tÝnh Un+1 theo Un vµ Un-1 . LËp quy tr×nh bÊm phÝm liªn tôc tÝnh Un+2 trªn m¸y Casio . Bài 49: (5 điểm) Cho dãy số được xác định theo công thức: x1 = 1; xn-1 = Lập quy trình bấm phím liên tục để tính xn: Tính x50 Bài 50 a ) Cho dãy số x1 = 1; xn+1 = Với n 1 x100 = a.1) Tính x100 a.2) Lập quy trình ấn phím liên tục tính xn+1 Bài 51 Cho dãy số với số hạng tổng quát đựoc cho bởi công thức: U= + với n=1,2,3, Tính U;U;U;U;U;U. Lập công thức truy hồi tính U Theo U và U. Lập quy trình ấn phím liên tục để tính U Theo U và U. Câu 52: Cho dãy số với n = 0,1,2, Lập quy trình bấm phím tính trên máy tính cầm tay Tính ‘Câu 53: Cho dãy số với n =1,2,,k,. Chứng minh rằng: với Lập quy trình bấm phím liên tục tính theo và với Tính các giá trị từ đến Bài 54: Cho dãy số xác định bởi công thức : với , n = 1,2,3,, k, Viết quy trình bấm phím liên tục tính theo . Tính ( với đủ 10 chữ số trên màn hình ) Tính ( với đủ 10 chữ số trên màn hình ) Bài 56 : Cho với n= 0, 1, 2 Lập công thức tính theo và . Lập quy trình bấm phím liên tục tính theo và . Bài 57: Cho dãy số có: U1 = 60; U2 = 40; U3 = ; U4 = ; không thoả mãn: từ số hạng thứ hai trở đi mỗi số hạng bằng tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi. 1) Tìm các số hạng U5; U7; U10. Tính tổng S10 của 10 số hạng đầu tiên của dãy số và tích P6 của 6 số hạng đầu tiên của dãy số. U5 = U7 = U10 = S10 P6 2) ViÕt quy tr×nh nhÊn phÝm ®Ó t×m liªn tiÕp theo tr×nh tù: sè h¹ng thø n, tæng Sn, tÝch Pn cña n sè h¹ng ®Çu tiªn cña d·y sè. Bài 58: Cho dãy số (un), (n = 0, 1, 2,...): a) Chứng minh un nguyên với mọi n tự nhiên. b) Tìm tất cả n nguyên để un chia hết cho 3. Bài 59: Cho dãy số (an) được xác định bởi: a) Xác định công thức số hạng tổng quát an. b) Chứng minh rằng số: biểu diễn được dưới dạng tổng bình phương của 3 số nguyên liên tiếp với mọi n ³ 1. Chứng minh an nguyên với mọi n tự nhiên. Bài 61: Cho dãy số Un = với n = 0 , 1 , 2 , Tính U0 , U1 , U2 , U3 , U4 Lập công thức để tính Un+2 theo Un+1 và Un Tính U13 , U14 Bài 62: Cho dãy số sắp xếp thứ tự U1 , U2 , U3 , ,Un ,Un+1, biết U5 = 588 ; U6 = 1084 ; Un+1 = 3Un - 2 Un-1 . Tính U1 ; U2 ; U25 TOÁN VỀ DÃY SỐ: I. MỘT SỐ VẤN ĐỀ LÍ THUYẾT VÀ VÍ DỤ MINH HOẠ: Ví dụ 1: Cho dãy số sắp xếp thứ tự U1 ; U2 ; U3 ;. . . ; Un ; Un+1; . . . biết U5 = 588 ; U6 = 1084 ; . Tính U1 ; U2 ; U25 Giải: Ta có nên U4 = 340 ; U3 = 216; U2 = 154; U1 = 123; Và từ U5 = 588 ; U6 = 1084 ; U25 = 520093788 Ví dụ 2: Cho ; và , n = 0; 1; 2; 3; . . . 1. Lập quy trình tính . 2. Tìm công thức tổng quát của. 3. Tính ; ; ; ; . Giải: 1. 10 SHIFT STO A x 10 – 2 SHIFT STO B Lặp lại dãy phím : x 10 – ALPHA A SHIFT STO A x 10 – ALPHA B SHIFT STO B 2. Công thức tổng quát của un là : 3. Thay ; vào công thức ta tính đước các giá trị ; ; ; ; Ví dụ 3: Cho dãy số : 13; 25; 43; ; 3(n2 + n) + 7 a. Gọi Sn là tổng của n số hạng đầu tiên của dãy. Tính S15; S19; S20 b. Lập quy trình bấm phím liên tục để tính Sn c. CMR trong dãy đã cho không có số hạng nào là lập phương của số tự nhiên Giải: Ví dụ 4: Cho các số a1 , a2 , a3 ,,a2003. Biết ak = với k = 1 , 2 , 3 ,.., 2002, 2003. Tính S = a1 + a2 + a3 + . . . . + a2003 Giải: Ta có: ak = Do đó: a1 + a2 + a3 + . . . + a2003 = Ví dụ 5: Giải: II. BÀI TẬP ÁP DỤNG: 1. Bài 1: Giải: 2. Bài 2: Cho dãy số n = 1; 2; 3; . . . 1. Tính U1; U2; U3; U4; U5 2. Chứng minh : 3. Lập quy trình bấm phím liên tục tính Un+2 trên máy tính Giải: 3. Bài 3: Cho dãy số u1 = 2; u2 = 20, 1. Tính ; ; ; ; ; 2. Viết quy trình bấm phím liên tục để tính giá trị của un với u1 = 2; u2 = 20 3. Sử dụng quy trình trên để tính giá trị của ; ; ; . Giải: 1. Tính được: ; ; ; ; ; 2. bấm phím 20 SHIFT STO A x 2 + 2 SHIFT STO B Rồi lặp lại dãy phím x 2 + ALPHA A SHIFT STO A x 2 + ALPHA B SHIFT STO B +) Sử dụng máy tính Casio FX 570MS 2 SHIFT STO A 20 SHIFT STO B Khai báo công thức un+1 = 2un + un-1 ALPHA C ALPHA = 2 ALPHA B + ALPHA A ALPHA : ALPHA A ALPHA = ALPHA B ALPHA : ALPHA B ALPHA C Rồi lặp lại dãy phím = 4. Bài 4: Cho dãy số , n = 0, 1, 2 1. Tính 8 số hạng đầu tiên của dãy 2. Lập công thức truy hồi để tính un+2 theo un+1 và un 3. Lập một quy trình tính un 4. Tìm tất cả các số n nguyên để un chia hết cho 3 Giải: 2. Ta sẽ chứng minh un+2 = 4un+1 – un thật vậy, đặt : ; Khi đó Un = an – bn un+1 = 3. 1 SHIFT STO A x 4 – 0 SHIFT STO B Lặp lại dãy phím x 4 – ALPHA A SHIFT STO A x 4 – ALPHA B SHIFT STO B 4. un chia hết cho 3 khi và chỉ khi n chia hết cho 3 5. Bài 5: Cho dãy số : , n = 1, 2, . . . 1. Tính 5 số hạng đầu tiên của dãy số 2. Lập công thức truy hồi để tính un+1 theo un và un-1 3. Lập một quy trình tính un+1 4. Chứng minh rằng un