Bài giảng lớp 9 môn Toán học - Phần I: Các bài toán về đa thức

Phần I: Các bài toán về đa thức 1. Tính giá trị của biểu thức: Bài 1: Cho đa thức P(x) = x15 -2x12 + 4x7 - 7x4 + 2x3 - 5x2 + x - 1 Tính P(1,25); P(4,327); P(-5,1289); P() H.Dẫn: - Lập công thức P(x) - Tính giá trị của đa thức tại các điểm: dùng chức năng - Kết quả: P(1,25) = ; P(4,327) = P(-5,1289) = ; P() = Bài 2: Tính giá trị của các biểu thức sau: P(x) = 1 + x + x2 + x3 +...+ x8 + x9 tại x = 0,53241 Q(x) = x2 + x3 +...+ x8 + x9 + x10 tại x = -2,1345 H.Dẫn: - áp dụng hằng đẳng thức: an - bn = (a - b)(an-1 + an-2b +...+ abn-2 + bn-1). Ta có: P(x) = 1 + x + x2 + x3 +...+ x8 + x9 = Từ đó tính P(0,53241) = Tương tự: Q(x) = x2 + x3 +...+ x8 + x9 + x10 = x2(1 + x + x2 + x3 +...+ x8) = Từ đó tính Q(-2,1345) = Bài 3: Cho đa thức P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + e. Biết P(1) = 1; P(2) = 4; P(3) = 9; P(4) = 16; P(5) = 25. Tính P(6); P(7); P(8); P(9) = ? H.Dẫn: Bước 1: Đặt Q(x) = P(x) + H(x) sao cho: + Bậc H(x) nhỏ hơn bậc của P(x) + Bậc của H(x) nhỏ hơn số giá trị đã biết của P(x), trongbài bậc H(x) nhỏ hơn 5, nghĩa là: Q(x) = P(x) + a1x4 + b1x3 + c1x2 + d1x + e Bước 2: Tìm a1, b1, c1, d1, e1 để Q(1) = Q(2) = Q(3) = Q(4) = Q(5) = 0, tức là: Þ a1 = b1 = d1 = e1 = 0; c1 = -1 Vậy ta có: Q(x) = P(x) - x2 Vì x = 1, x = 2, x = 3, x = 4, x = 5 là nghiệm của Q(x), mà bậc của Q(x) bằng 5 có hệ số của x5 bằng 1 nên: Q(x) = P(x) - x2 = (x -1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)(x - 5) Þ P(x) = (x -1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)(x - 5) + x2. Từ đó tính được: P(6) = ; P(7) = ; P(8) = ; P(9) = Bài 4: Cho đa thức P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d. Biết P(1) = 5; P(2) = 7; P(3) = 9; P(4) = 11. Tính P(5); P(6); P(7); P(8); P(9) = ? H.Dẫn: - Giải tương tự bài 3, ta có: P(x) = (x -1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) + (2x + 3). Từ đó tính được: P(5) = ; P(6) = ; P(7) = ; P(8) = ; P(9) = Bài 5: Cho đa thức P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d. Biết P(1) = 1; P(2) = 3; P(3) = 6; P(4) = 10. Tính H.Dẫn: - Giải tương tự bài 4, ta có: P(x) = (x -1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) + . Từ đó tính được: Bài 6: Cho đa thức f(x) bậc 3 với hệ số của x3 là k, k Î Z thoả mãn: f(1999) = 2000; f(2000) = 2001 Chứng minh rằng: f(2001) - f(1998) là hợp số. H.Dẫn: * Tìm đa thức phụ: đặt g(x) = f(x) + (ax + b). Tìm a, b để g(1999) = g(2000) = 0 Þ g(x) = f(x) - x - 1 * Tính giá trị của f(x): - Do bậc của f(x) là 3 nên bậc của g(x) là 3 và g(x) chia hết cho: (x - 1999), (x - 2000) nên: g(x) = k(x - 1999)(x - 2000)(x - x0) Þ f(x) = k(x - 1999)(x - 2000)(x - x0) + x + 1. Từ đó tính được: f(2001) - f(1998) = 3(2k + 1) là hợp số. Bài 7: Cho đa thức f(x) bậc 4, hệ số của bậc cao nhất là 1 và thoả mãn: f(1) = 3; P(3) = 11; f(5) = 27. Tính giá trị A = f(-2) + 7f(6) = ? H.Dẫn: - Đặt g(x) = f(x) + ax2 + bx + c. Tìm a, b, c sao cho g(1) = g(3) = g(5) = 0 Þ a, b, c là nghiệm của hệ phương trình: Þ bằng MTBT ta giải được: Þ g(x) = f(x) - x2 - 2 - Vì f(x) bậc 4 nên g(x) cũng có bậc là 4 và g(x) chia hết cho (x - 1), (x - 3), (x - 5), do vậy: g(x) = (x - 1)(x - 3)(x - 5)(x - x0) Þ f(x) = (x - 1)(x - 3)(x - 5)(x - x0) + x2 + 2. Ta tính được: A = f(-2) + 7f(6) = Bài 8: Cho đa thức f(x) bậc 3. Biết f(0) = 10; f(1) = 12; f(2) = 4; f(3) = 1. Tìm f(10) = ? (Đề thi HSG CHDC Đức) H.Dẫn: - Giả sử f(x) có dạng: f(x) = ax3 + bx2 + cx + d. Vì f(0) = 10; f(1) = 12; f(2) = 4; f(3) = 1 nên: lấy 3 phương trình cuối lần lượt trừ cho phương trình đầu và giải hệ gồm 3 phương trình ẩn a, b, c trên MTBT cho ta kết quả: Þ Þ Bài 9: Cho đa thức f(x) bậc 3 biết rằng khi chia f(x) cho (x - 1), (x - 2), (x - 3) đều được dư là 6 và f(-1) = -18. Tính f(2005) = ? H.Dẫn: - Từ giả thiết, ta có: f(1) = f(2) = f(3) = 6 và có f(-1) = -18 - Giải tương tự như bài 8, ta có f(x) = x3 - 6x2 + 11x Từ đó tính được f(2005) = Bài 10: Cho đa thức a) Tính giá trị của đa thức khi x = -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4. b) Chứng minh rằng P(x) nhận giá trị nguyên với mọi x nguyên Giải: a) Khi x = -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4 thì (tính trên máy) P(x) = 0 b) Do 630 = 2.5.7.9 và x = -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4 là nghiệm của đa thức P(x) nên Vì giữa 9 só nguyên liên tiếp luôn tìm được các số chia hết cho 2, 5, 7, 9 nên với mọi x nguyên thì tích: chia hết cho 2.5.7.9 (tích của các số nguyên tố cùng nhau). Chứng tỏ P(x) là số nguyên với mọi x nguyên. Bài 11: Cho hàm số . Hãy tính các tổng sau: H.Dẫn: * Với hàm số f(x) đã cho trước hết ta chứng minh bổ đề sau: Nếu a + b = 1 thì f(a) + f(b) = 1 * áp dụng bổ đề trên, ta có: a) b) Ta có . Do đó: 2. Tìm thương và dư trong phép chia hai đa thức: Bài toán 1: Tìm dư trong phép chia đa thức P(x) cho (ax + b) Cách giải:- Ta phân tích: P(x) = (ax + b)Q(x) + r Þ Þ r = Bài 12: Tìm dư trong phép chia P(x) = 3x3 - 5x2 + 4x - 6 cho (2x - 5) Giải: - Ta có: P(x) = (2x - 5).Q(x) + r Þ Þ r = Tính trên máy ta được: r = = Bài toán 2: Tìm thương và dư trong phép chia đa thức P(x) cho (x + a) Cách giải: - Dùng lược đồ Hoocner để tìm thương và dư trong phép chia đa thức P(x) cho (x + a) Bài 13: Tìm thương và dư trong phép chia P(x) = x7 - 2x5 - 3x4 + x - 1 cho (x + 5) H.Dẫn: - Sử dụng lược đồ Hoocner, ta có: 1 0 -2 -3 0 0 1 -1 -5 1 -5 23 -118 590 -2950 14751 -73756 * Tính trên máy tính các giá trị trên như sau: 5 1 0 (-5) : ghi ra giấy -5 2 (23) : ghi ra giấy 23 3 (-118) : ghi ra giấy -118 0 (590) : ghi ra giấy 590 0 (-2950) : ghi ra giấy -2950 1 (14751) : ghi ra giấy 14751 1 (-73756) : ghi ra giấy -73756 x7 - 2x5 - 3x4 + x - 1 = (x + 5)(x6 - 5x5 + 23x4 - 118x3 + 590x2 - 2950x + 14751) - 73756 Bài toán 3: Tìm thương và dư trong phép chia đa thức P(x) cho (ax +b) Cách giải: - Để tìm dư: ta giải như bài toán 1 - Để tìm hệ số của đa thức thương: dùng lược đồ Hoocner để tìm thương trong phép chia đa thức P(x) cho (x +) sau đó nhân vào thương đó với ta được đa thức thương cần tìm. Bài 14: Tìm thương và dư trong phép chia P(x) = x3 + 2x2 - 3x + 1 cho (2x - 1) Giải: - Thực hiện phép chia P(x) cho , ta được: P(x) = x3 + 2x2 - 3x + 1 = . Từ đó ta phân tích: P(x) = x3 + 2x2 - 3x + 1 = 2... = (2x - 1). Bài 15: Tìm các giá trị của m để đa thức P(x) = 2x3 + 3x2 - 4x + 5 + m chia hết cho Q(x) = 3x +2 H.Dẫn: - Phân tích P(x) = (2x3 + 3x2 - 4x + 5) + m = P1(x) + m. Khi đó: P(x) chia hết cho Q(x) = 3x + 2 khi và chỉ khi: P1(x) + m = (3x + 2).H(x) Ta có: Tính trên máy giá trị của đa thức P1(x) tại ta được m = Bài 16: Cho hai đa thức P(x) = 3x2 - 4x + 5 + m; Q(x) = x3 + 3x2 - 5x + 7 + n. Tìm m, n để hai đa thức trên có nghiệm chung H.Dẫn: là nghiệm của P(x) thì m = , với P1(x) = 3x2 - 4x + 5 là nghiệm của Q(x) thì n = , với Q1(x) = x3 + 3x2 - 5x + 7. Tính trên máy ta được: m = = ;n = = Bài 17: Cho hai đa thức P(x) = x4 + 5x3 - 4x2 + 3x + m; Q(x) = x4 + 4x3 - 3x2 + 2x + n. a) Tìm m, n để P(x), Q(x) chia hết cho (x - 2) b) Xét đa thức R(x) = P(x) - Q(x). Với giá trị m, n vừa tìm chứng tỏ rằng đa thức R(x) chỉ có duy nhất một nghiệm. H.Dẫn: a) Giải tương tự bài 16, ta có: m = ;n = b) P(x) (x - 2) và Q(x) (x - 2) Þ R(x) (x - 2) Ta lại có: R(x) = x3 - x2 + x - 6 = (x - 2)(x2 + x + 3), vì x2 + x + 3 > 0 với mọi x nên R(x) chỉ có một nghiệm x = 2. Bài 18: Chia x8 cho x + 0,5 được thương q1(x) dư r1. Chia q1(x) cho x + 0,5 được thương q2(x) dư r2. Tìm r2 ? H.Dẫn: - Ta phân tích: x8 = (x + 0,5).q1(x) + r1 q1(x) = (x + 0,5).q2(x) + r2 - Dùng lược đồ Hoocner, ta tính được hệ số của các đa thức q1(x), q2(x) và các số dư r1, r2: 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 -1 Vậy: V. Chia đa thức : 1)Tìm số dư trong phép chia đa thức P(x) cho (x – a) Cơ sở lý luận : P(x) = Q(x) . (x – a ) + r Khi x = a thì r = P(a) Ví dụ 1 Tìm số dư của phép chia : 3x3 – 2,5x2 + 4,5x – 15 : (x – 1,5) b) Tìm số dư của phép chia : 3x3 – 5x2 + 4x – 6 : ( 2x – 5 ) Giải : Tính P(1,5) : Ấn 3 * 1,53 – 2,5 * 1,52 + 4,5 * 1,5 – 15 = KQ : P(1,5) = - 3,75 . Vậy r = - 3,75 Tính P(2,5) : ( 2,5 là nghiệm của phương trình 2x – 5 = 0) Ấn 3 * 2,53 – 5 * 2,52 + 4 * 2,5 – 6 = KQ : P(2,5) = 9,8125 . Vậy r = 9,8125 2) Điều kiện để P(x) chia hết cho (x – a ) P(x) + m (x – a ) Ví dụ 1 : Tìm giá trị của m để sao cho đa thức P(x) = 3x3 – 4x2 + 5x + 1 +m chia hết cho (x – 2 ) Tìm giá trị của m để đa thức P(x) = 2x3 – 3x2 – 4x + 5 + m chia hết cho (2x – 3) Giải :a) Gọi P1(x) = 3x3 – 4x2 + 5x + 1 , ta có: P(x) = P1(x) + m Vậy P(x) hay P1(x) + m chia hết cho (x – 2) khi m = - P1(2) Tính P1(2) : Ấn 3 * 23 – 4 * 22 + 5 * 2 + 1 = P1(2) = 19 . Vậy m = - 19 Gọi P1(x) = 2x3 – 3x2 – 4x + 5 , ta có : P(x) = P1(x) + m Vì P(x) chia hết cho (2x +3) nên ta có P( Tính P1( Ấn 2 * - 3 * KQ : P1(= -2,5 Ví dụ 2 : Cho hai đa thức 3x2 – 4x +5 + m và x3 + 3x2 – 5x + 7 + n . Hỏi với điều kiện nào của m và n thì hai đa thức có nghiệm chung a ? Giải : Gọi P(x) = 3x2 – 4x +5 ; Q(x) = x3 + 3x2 – 5x + 7. Đa thức P(x) + m và đa thức Q(x) + n có nghiệm chung là a khi m = - P(a) và n = - Q(a) Áp dụng vào bài toán trên với nghiệm chung là a = 0,5 KQ : P(0,5) = 3,75 . Vậy m = -3,75 Q(0,5) = 5,375 . Vậy n = - 5,375. Bài tập Tìm số dư trong phép chia a) b) 2) Tìm a để x4 + 7x3 + 2x2 +13x + a chia hết cho x + 6 3) Cho P(x) = 3x3 + 17x – 625 a) Tính P(. b) Tính a để P(x) + a2 chia hết cho x + 3 4) Chứng tỏ rằng đa thức sau chia hết cho x + 3 P(x) = 3x4 – 5x3 + 7x2 – 8x – 465. 5) Cho hai đa thức P(x) = x4 +5x3 – 6x2 + 3x +m và Q(x) = 5x3 – 4x2 + 3x + 2n. a) Tìm giá trị của m và n để P(x) và Q(x) cùng chia hết cho x – 3 . b) Với m và n vừa tìm được , hãy giải phương trình P(x) - Q(x) = 0 6) Cho phương trình : 2,5x5 – 3,1x4 +2,7x3 +1,7x2 – (5m – 1,7)x + 6,5m – 2,8 có một nghiệm là x = 0,6 . Tính giá trị của m chính xác đến 4 chữ số thập phân