Bài giảng lớp 9 môn Toán học - Dạng toán: các bài toán về đa thức

DẠNG TOÁN: CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐA THỨC Một số kiến thức cần nhớ: Định lý Bezout Số dư trong phép chia f(x) cho nhị thức x – a chính là f(a) Hệ quả: Nếu a là nghiệm của f(x) thì f(x) chia hết cho x – a Sơ đồ Hor nơ Ta có thể dùng sơ đồ Hor nơ để thìm kết quả của phép chia đa thức f(x) cho nhị thức x – a. Ví dụ: Thực hiện phép chia (x3 – 5x2 + 8x – 4) cho x – 2 bằng cách dùng sơ đồ Hor nơ. Bước 1: Đặt các hệ số của đa thức bị chia theo thứ tự vào các cột của dòng trên. a = 2 -5 8 -4 1 Bước 2: Trong 4 cột để trống ở dòng dưới, ba cột đầu cho ta các hệ số của đa thức thương, cột cuối cùng cho ta số dư. Số thứ nhất của dòng dưới = số tương ứng ở dòng trên Kể từ cột thứ hai, mỗi số ở dòng dưới được xác định bằng cách lấy a nhân với số cùng dòng liền trước rồi cộng với số cùng cột ở dòng trên a = 2 -5 8 -4 1 1 -3 2 0 Vậy (x3 – 5x2 + 8x – 4) = (x – 2)(x2 – 3x + 2) + 0 * Nếu đa thức bị chia là a0x3 + a1x2 + a2x + a3 , đa thức chia là x – a, ta được thương là b0x2 + b1x + b2 dư là r. Theo sơ đồ Hor nơ ta có: a1 a3 a2 a0 r b2 b1 a b0 ab2 + a3 ab1 + a2 ab0 + a1 a0 I. TÝnh gi¸ trÞ cña ®a thøc Bµi to¸n: TÝnh gi¸ trÞ cña ®a thøc P(x,y,) khi x = x0, y = y0; Ph­¬ng ph¸p 1: (TÝnh trùc tiÕp) ThÕ trùc tiÕp c¸c gi¸ trÞ cña x, y vµo ®a thøc ®Ó tÝnh. Ph­¬ng ph¸p 2: (S¬ ®å Horner, ®èi víi ®a thøc mét biÕn) ViÕt d­íi d¹ng VËy . §Æt b0 = a0; b1 = b0x0 + a1; b2 = b1x0 + a2; ; bn = bn-1x0 + an. Suy ra: P(x0) = bn. Tõ ®©y ta cã c«ng thøc truy håi: bk = bk-1x0 + ak víi k # 1. Gi¶i trªn m¸y: - G¸n gi¸ x0 vµo biÕn nhím M. - Thùc hiÖn d·y lÆp: bk-1+ ak VÝ dô 1: (Së GD TP HCM, 1996) TÝnh khi x = 1,8165 C¸ch 1: TÝnh nhê vµo biÕn nhí An phÝm: 1 8165 KÕt qu¶: 1.498465582 C¸ch 2: TÝnh nhê vµo biÕn nhí An phÝm: 18165 KÕt qu¶: 1.498465582 NhËn xÐt: @ Ph­¬ng ph¸p dïng s¬ ®å Horner chØ ¸p dông hiÖu qu¶ ®èi víi m¸y fx-220 vµ fx-500A, cßn ®èi víi m¸y fx-500 MS vµ fx-570 MS chØ nªn dïng ph­¬ng ph¸p tÝnh trùc tiÕp cã sö dông biÓu thøc chøa biÕn nhí, riªng fx-570 MS cã thÓ thÕ c¸c gi¸ trÞ cña biÕn x nhanh b»ng c¸ch bÊm , m¸y hái X? khi ®ã khai b¸o c¸c gi¸ trÞ cña biÕn x Ên phÝm lµ xong. §Ó cã thÓ kiÓm tra l¹i kÕt qu¶ sau khi tÝnh nªn g¸n gi¸ trÞ x0 vµo mét biÕn nhí nµo ®ã kh¸c biÕn Ans ®Ó tiÖn kiÓm tra vµ ®æi c¸c gi¸ trÞ. VÝ dô: TÝnh khi x = 1,8165; x = - 0,235678; x = 865,321 Khi ®ã ta chØ cÇn g¸n gi¸ trÞ x1 = - 0,235678 vµo biÕn nhí X: 235678 Dïng phÝm mòi tªn lªn mét lÇn (mµn h×nh hiÖn l¹i biÓu thøc cò) råi Ên phÝm lµ xong. @ Trong c¸c kú thi d¹ng to¸n nµy lu«n cã, chiÕm 1 ®Õn 5 ®iÓm trong bµi thi. Kh¶ n¨ng tÝnh to¸n dÉn ®Õn sai sè th­êng th× kh«ng nhiÒu nh­ng nÕu biÓu thøc qu¸ phøc t¹p nªn t×m c¸ch chia nhá bµi to¸n tr¸nh v­ît qu¸ giíi h¹n bé nhí cña m¸y tÝnh sÏ dÉn ®Õn sai kÕt qu¶ (m¸y tÝnh vÉn tÝnh nh­ng kÕt qu¶ thu ®­îc lµ kÕt qu¶ gÇn ®óng, cã tr­êng hîp sai h¼n). Bµi tËp Bµi 1: (Së GD Hµ Néi, 1996) TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc: a. TÝnh khi x = 1,35627 b. TÝnh khi x = 2,18567 II/ Tìm thương và dư của phép chia đa thức f(x) cho (x-a). Cơ sở: Giả sử f(x) = g(x).(x-a) + r [g(x) là thương và r là số dư] Thế thì f(a) = g(a).(a-a) + r Suy ra f(a) = o + r hay Nghĩa là: Để tìm số dư của phép chia đa thức f(x) cho đa thức bậc nhất (x-a) ta chỉ việc tính giá trị của đa thức tại a. Còn muốn tìm thương ta sử dụng sơ đồ hoocner với quy trình ấn như VD2 sau. VD1: Tím số dư của phép chia đa thức f(x) = x14-x9-x5+x4+x2+x-723 cho (x-1,624) Cách làm: 1,624 → X Nhập biểu thức x14-x9-x5+x4+x2+x-723 (chữ là X) rồi ấn Kết quả: 85,921 VD2: Tìm thương và dư của phép chia đa thức f(x) = x3 -5x2+11x-19 cho (x-2)?. Mô hình sơ đồ Hoocner: Quy trình: 1 → A 1 x A + (-5) = (Ghi kết quả -3) x A + 11 = (Ghi kết quả 5) x A +(-19)= (Ghi kết quả -9) Vậy thương là 1x2 – 3x + 5, dư là -9 Bài 1: Tìm số dư trong các phép chia sau: x3 – 9x2 – 35x + 7 cho x – 12. x3 – 3,256 x + 7,321 cho x – 1,1617. Tính a để x4 + 7x3 + 2x2 + 13x + a chia hết cho x + 6 Cho P(x) = 3x3 + 17x – 625 + Tính P(2) + Tính a để P(x) + a2 chia hết cho x + 3 Bài 2 : Cho P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + f . Biết P(1) = 1 , P(2) = 4 , P(3) = 9 , P(4) = 16 , P(5) = 15 . Tính P(6) , P(7) , P(8) , P(9) Giải: Ta có P(1) = 1 = 12; P(2) = 4 = 22 ; P(3) = 9 = 32 ; P(4) = 16 = 42 ; P(5) = 25 = 52 Xét đa thức Q(x) = P(x) – x2. Dễ thấy Q(1) = Q(2) = Q(3) = Q(4) = Q(5) = 0. Suy ra 1; 2; 3; 4; 5 là nghiệm của đa thức Q(x). Vì hệ số của x5 bằng 1 nên Q(x) có dạng: Q(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4)(x – 5). Vậy ta có Q(6) = (6 – 1)(6 – 2)(6 – 3)(6 – 4)(6 – 5) = P(6) - 62 Hay P(6) = 5! + 62 = 156. Q(7) = (7 – 1)(7 – 2)(7 – 3)(7 – 4)(7 – 5) = P(7) – 72 Hay P(7) = 6! + 72 = 769 Bài 3: Cho Q(x) = x4 + mx3 + nx2 + px + q . Biết Q(1) = 5 , Q(2) = 7 , Q(3) = 9 , Q(4) = 11 . Tính các giá trị của Q(10) , Q(11) , Q(12) , Q(13) Hướng dẫn Q(1) = 5 = 2.1 + 3; Q(2) = 7 = 2.2 + 3; Q(3) = 9 = 2.3 + 3 ; Q(4) = 11 = 2.4 + 3 Xét đa thức Q1(x) = Q(x) – (2x + 3) Bài 4 : Cho P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + e . Biết P(1) = 3 , P(2) = 9 , P(3) = 19 , P(4) = 33 , P(5) = 51 . Tính P(6) , P(7) , P(8) , P(9) , P(10) , P(11) . Bài 5: Cho P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d. Có P(1) = 0,5 ; P(2) = 2 ; P(3) = 4,5 ; P(4) = 8. Tính P(2002), P(2003) Bài 6: Cho P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d. Biết P(1) = 5; P(2) = 14; P(3) = 29; P(4) = 50. Hãy tính P(5) , P(6) , P(7) , P(8) Bài 7: Cho P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d. Biết P(1) = 0; P(2) = 4 ; P(3) = 18 ; P(4) = 48. Tính P(2007) Bài 8 : Cho P(x) = x5 + 2x4 – 3x3 + 4x2 – 5x + m . Tìm số dư trong phép chia P(x) cho x – 2,5 khi m = 2003 . Tìm giá trị của m để P(x) chia hết cho x – 2,5 P(x) có nghiệm x = 2 . Tìm m . Bài 9: Cho P(x) = . Tìm biểu thức thương Q(x) khi chia P(x) cho x – 5. Tìm số dư của phép chia P(x) cho x – 5 chính xác đến 3 chữ số thập phân. Bài 10: Tìm số dư trong phép chia đa thức x5 – 7,834x3 + 7,581x2 – 4,568x + 3,194 cho x – 2,652. Tìm hệ số của x2 trong đ thức thương của phép chia trên. Bài 11: Khi chia đa thức 2x4 + 8x3 – 7x2 + 8x – 12 cho x – 2 ta được thương là đa thức Q(x) có bậc là 3. Hãy tìm hệ số của x2 trong Q(x) Bài 12: Cho đa thức P(x) = 6x3 – 7x2 – 16x + m . Tìm m để P(x) chia hết cho 2x + 3 Với m tìm được ở câu a ) , hãy tìm số dư r khi chia P(x) cho 3x – 2 và phân tích P(x) thành tích của các thừa số bậc nhất Tìm m và n để Q(x) = 2x3 – 5x2 – 13x + n và P(x) cùng chia hết cho x – 2 . Với n tìm được ở trên , hãy phân tích Q(x) ra tích của các thừa số bậc nhất. Bài 13: Cho P(x) = x4 + 5x3 – 4x2 + 3x + m và Q(x) = x4 + 4x3 - 3x2 + 2x + n . Tìm các giá trị của m và n để P(x) và Q(x) cùng chia hết cho x – 2 . Với giá trị của m và n tìm được , chứng tỏ rằng R(x) = P(x) – Q(x) chỉ có một nghiệm duy nhất Bài 14 : Cho f(x) = x3 + ax2 + bx + c . Biết : f = ; f = ; f = . Tính giá trị đúng và gần đúng của f . Bài 15: Xác định các hệ số a, b, c của đa thức: P(x) = ax3 + bx2 + cx – 2007 để sao cho P(x) chia cho (x – 13) có số dư là 1, chia cho (x – 3) có số dư là là 2, và chia cho (x – 14) có số dư là 3 (Kết quả lấy với hai chữ số ở hàng thập phân) Bài 16: Xác định các hệ số a, b, c, d và tính giá trị của đa thức Q(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx – 2007 tại các giá trị của x = 1,15; 1,25; 1,35; 1,45 III/ Phân tích đa thức f(x) thành nhân tử. Cơ sở: “Nếu tam thức bậc hai ax2 + bx + c có 2 nghiệm là x1, x2 thì nó viết được dưới dạng ax2 + bx + c = a(x-x1)(x-x2)”. “Nếu đa thức f(x) = anxn + an-1xn-1+... + a1x + a0 có nghiệm hữu tỷ thì p là ước của a0, q là ước của a0”. Đặc biệt: “Nếu đa thức f(x) = anxn + an-1xn-1+... + a1x + a0 có a1=1 thì nghiệm hữu tỷ là ước của a0”. Nếu đa thức f(x) có nghiệm là a thì đa thức f(x) chia hết cho (x-a). VD1: Phân tích đa thức f(x) = x2 + x - 6 thành nhân tử? Dùng chức năng giải phương trình bậc hai cài sẵn trong máy để tìm nghiệm của f(x) ta thấy có 2 nghiệm là x1 = 2; x2 = -3. Khi đó ta viết được: x2 + x - 6 = 1.(x-2)(x+3) VD2: Phân tích đa thức f(x) = x3+3x2 -13 x -15 thành nhân tử? Dùng chức năng giải phương trình bậc 3 cài sẵn trong máy để tìm nghiệm của f(x) ta thấy có 3 nghiệm là x1 = 3; x2 = -5; x3 = -1. Khi đó ta viết được: x3+3x2 -13 x -15 = 1.(x-3)(x+5)(x+1). VD3: Phân tích đa thức f(x) = x3- 5x2 +11 x -10 thành nhân tử? Dùng chức năng giải phương trình bậc 3 cài sẵn trong máy để tìm nghiệm của f(x) ta thấy có 1 nghiệm thực là x1 = 2. Nên ta biết được đa thức x3- 5x2 +11 x -10 chia hết cho (x-2). Sử dụng sơ đồ Hoocner để chia x3- 5x2 +11 x -10 cho (x-2) ta có: Khi đó bài toán trớ về tìm thương của phép chia đa thức f(x) cho (x-2). Quy trình: 2 → X Ghi -3 Ghi 5 Ghi 0 Khi đó ta có f(x) = (x-2)(x2- 3x + 5) Tam thức bậc hai x2- 3x + 5 vô nghiệm nên không phân tích thành nhân tử được nữa. Vậy x3- 5x2 +11 x -10 = ( x-2)(x2- 3x + 5) VD4:Phân tích đa thức f(x) = x5 + 5x4 – 3x3 – x2 +58x - 60 thành nhân tử? Nhận xét: Nghiệm nguyên của đa thức đã cho là Ư(60). Ta có Ư(60) = {1;2;3;4;5;6;10;12;15;20;30;60} Lập quy trình để kiểm tra xem số nào là nghiệm của đa thức: Gán: -1 → X Nhập vào máy đa thức:X5 + 5X4 – 3X3–X2 +58X -60 rồi ấn dấu máy báo kq -112 Gán tiếp: -2 → X / // máy báo kq -108 Gán tiếp: -3 →X/// máy báo kq 0 Do vậy ta biết x = -3 là một nghiệm của đa thức đã cho, nên f(x) chia hết cho (x+3). Khi đó bài toán trớ về tìm thương của phép chia đa thức f(x) cho (x-3). Quy trình: -3 → X Ghi 2 Ghi -9 Ghi 26 Ghi -20 Ghi 0 Khi đó ta có f(x) = (x+3)(x4+2x3-9x2+26x-20) * Ta lại xét đa thức g(x) = x4+2x3-9x2+26x-20 Nghiệm nguyên là ước của 20. Dùng máy ta tìm được Ư(20) = {1;2;4;5;10;20} Lập quy trình để kiểm tra xem số nào là nghiệm của đa thức g(x): Gán: -1 → X Nhập vào máy đa thức: x4+2x3-9x2+26x-20 rồi ấn dấu máy báo kq -96 Gán tiếp: -2 → X / // máy báo kq -148 Gán tiếp: -4 → X / // máy báo kq -180 Gán tiếp: -5 → X / // máy báo kq 0 Do vậy ta biết x = -5 là một nghiệm của đa thức đã cho, nên f(x) chia hết cho (x+5). Khi đó bài toán trớ về tìm thương của phép chia đa thức f(x) cho (x+5). Quy trình: -5 → X Ghi -3 Ghi 6 Ghi -4 Ghi 0 Khi đó ta có g(x) = (x+5)(x3-3x2+6x-4) * Tiếp tục dùng chức năng giải phương trình bậc 3 để tìm nghiệm nguyên của đa thức h(x) = x3-3x2+6x-4 Kết quả, là đa thức h(x) có nghiệm là x = 1 nên chia h(x) cho (x-1) ta được: h(x) = (x-1)(x2-2x+4) Ta thấy đa thức (x2-2x+4) vô nghiệm nên không thể phân tích thành nhân tử. Vậy f(x) = (x+3)(x+5)(x-1)(x2-2x+4) V. Chia đa thức : 1)Tìm số dư trong phép chia đa thức P(x) cho (x – a) Cơ sở lý luận : P(x) = Q(x) . (x – a ) + r Khi x = a thì r = P(a) Ví dụ 1 Tìm số dư của phép chia : 3x3 – 2,5x2 + 4,5x – 15 : (x – 1,5) b) Tìm số dư của phép chia : 3x3 – 5x2 + 4x – 6 : ( 2x – 5 ) Giải : Tính P(1,5) : Ấn 3 * 1,53 – 2,5 * 1,52 + 4,5 * 1,5 – 15 = KQ : P(1,5) = - 3,75 . Vậy r = - 3,75 Tính P(2,5) : ( 2,5 là nghiệm của phương trình 2x – 5 = 0) Ấn 3 * 2,53 – 5 * 2,52 + 4 * 2,5 – 6 = KQ : P(2,5) = 9,8125 . Vậy r = 9,8125 2) Điều kiện để P(x) chia hết cho (x – a ) P(x) + m (x – a ) Ví dụ 1 : Tìm giá trị của m để sao cho đa thức P(x) = 3x3 – 4x2 + 5x + 1 +m chia hết cho (x – 2 ) Tìm giá trị của m để đa thức P(x) = 2x3 – 3x2 – 4x + 5 + m chia hết cho (2x – 3) Giải :a) Gọi P1(x) = 3x3 – 4x2 + 5x + 1 , ta có: P(x) = P1(x) + m Vậy P(x) hay P1(x) + m chia hết cho (x – 2) khi m = - P1(2) Tính P1(2) : Ấn 3 * 23 – 4 * 22 + 5 * 2 + 1 = P1(2) = 19 . Vậy m = - 19 Gọi P1(x) = 2x3 – 3x2 – 4x + 5 , ta có : P(x) = P1(x) + m Vì P(x) chia hết cho (2x +3) nên ta có P( Tính P1( Ấn 2 * - 3 * KQ : P1(= -2,5 Ví dụ 2 : Cho hai đa thức 3x2 – 4x +5 + m và x3 + 3x2 – 5x + 7 + n . Hỏi với điều kiện nào của m và n thì hai đa thức có nghiệm chung a ? Giải : Gọi P(x) = 3x2 – 4x +5 ; Q(x) = x3 + 3x2 – 5x + 7. Đa thức P(x) + m và đa thức Q(x) + n có nghiệm chung là a khi m = - P(a) và n = - Q(a) Áp dụng vào bài toán trên với nghiệm chung là a = 0,5 KQ : P(0,5) = 3,75 . Vậy m = -3,75 Q(0,5) = 5,375 . Vậy n = - 5,375. */ Bài tập áp dụng Tìm số dư trong phép chia a) b) 2) Tìm a để x4 + 7x3 + 2x2 +13x + a chia hết cho x + 6 3) Cho P(x) = 3x3 + 17x – 625 a) Tính P(. b) Tính a để P(x) + a2 chia hết cho x + 3 4) Chứng tỏ rằng đa thức sau chia hết cho x + 3 P(x) = 3x4 – 5x3 + 7x2 – 8x – 465. 5) Cho hai đa thức P(x) = x4 +5x3 – 6x2 + 3x +m và Q(x) = 5x3 – 4x2 + 3x + 2n. a) Tìm giá trị của m và n để P(x) và Q(x) cùng chia hết cho x – 3 . b) Với m và n vừa tìm được , hãy giải phương trình P(x) - Q(x) = 0 6) Cho phương trình : 2,5x5 – 3,1x4 +2,7x3 +1,7x2 – (5m – 1,7)x + 6,5m – 2,8 có một nghiệm là x = 0,6 . Tính giá trị của m chính xác đến 4 chữ số thập phân IV. T×m cËn trªn kho¶ng chøa nghiÖm d­¬ng cña ®a thøc NÕu trong ph©n tÝch P(x) = r0 + r1(x-c)+r2(x-c)2++rn(x-c)n ta cã ri 0 víi mäi i = 0, 1, , n th× mäi nghiÖm thùc cña P(x) ®Òu kh«ng lín h¬n c. VÝ dô: CËn trªn cña c¸c nghiÖm d­¬ng cña ®a thøc x4 – 3x3 + x – 2 lµ c = 3. (§a thøc cã hai nghiÖm thùc gÇn ®óng lµ 2,962980452 vµ -0,9061277259) NhËn xÐt: @ C¸c d¹ng to¸n 2.4 ®Õn 2.6 lµ d¹ng to¸n míi (ch­a thÊy xuÊt hiÖn trong c¸c kú thi) nh­ng dùa vµo nh÷ng d¹ng to¸n nµy cã thÓ gi¶i c¸c d¹ng to¸n kh¸c nh­ ph©n tÝch ®a thøc ra thõa sè, gi¶i gÇn ®óng ph­¬ng tr×nh ®a thøc, . @ VËn dông linh ho¹t c¸c ph­¬ng ph¸p gi¶i kÕt hîp víi m¸y tÝnh cã thÓ gi¶i ®­îc rÊt nhiÒu d¹ng to¸n ®a thøc bËc cao mµ kh¶ n¨ng nhÈm nghiÖm kh«ng ®­îc hoÆc sö dông c«ng thøc Cardano qu¸ phøc t¹p. Do ®ã yªu cÇu ph¶i n¾m v÷ng ph­¬ng ph¸p vµ vËn dông mét c¸ch khÐo lÐo hîp lÝ trong c¸c bµi lµm. V/ Bµi tËp tæng hîp Bµi 1: (Thi khu vùc 2001, líp 8) Cho ®a thøc P(x) = 6x3 – 7x2 – 16x + m. a. T×m m ®Ó P(x) chia hÕt cho 2x + 3. b. Víi m võa t×m ®­îc ë c©u a h·y t×m sè d­ r khi chia P(x) cho 3x-2 vµ ph©n tÝch P(x) ra tÝch c¸c thõa sè bËc nhÊt. c. T×m m vµ n ®Ó Q(x) = 2x3 – 5x2 – 13x + n vµ P(x) cïng chia hÕt cho x-2. d. Víi n võa t×m ®­îc ph©n tÝch Q(x) ra tÝch c¸c thõa sè bËc nhÊt. Bµi 2: (Thi khu vùc 2002, líp 9) a. Cho P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + f. BiÕt P(1) = 1; P(2) = 4; P(3) = 9; P(4) = 16; P(5) = 15. TÝnh P(6), P(7), P(8), P(9). a. Cho P(x) = x4 + mx3 + nx2 + px + q. BiÕt Q(1) = 5; Q(2) = 7; Q(3) = 9; Q(4) = 11. TÝnh Q(10), Q(11), Q(12), Q(13). Bµi 3: (Thi khu vùc 2002, líp 9) Cho P(x) = x4 + 5x3 – 4x2 + 3x + m vµ Q(x) = x4 + 4x3 – 3x2 + 2x + n. a. T×m gi¸ trÞ cña m, n ®Ó c¸c ®a thøc P(x) vµ Q(x) chia hÕt cho x – 2. b. Víi gi¸ trÞ m, n võa t×m ®­îc chøng tá r»ng ®a thøc R(x) = P(x) – Q(x) chØ cã mét nghiÖm duy nhÊt. Bµi 4: (Thi khu vùc, 2003, líp 9) a. Cho P(x) = x5 + 2x4 – 3x3 + 4x2 – 5x + m. 1. T×m sè d­ trong phÐp chia P(x) cho x – 2,5 khi m = 2003 2. T×m gi¸ trÞ m ®Ó P(x) chia hÕt cho x – 2,5 3. P(x) cã nghiÖm x = 2. T×m m? b. Cho P(x) = x5 + ax4 +bx3 + cx2 + dx + e. BiÕt P(1) = 3, P(2) = 9, P(3) = 19, P(4) = 33, P(5) = 51. TÝnh P(6), P(7), P(8), P(9), P(10), P(11). Bµi 5: (Së SG CÇn Th¬ 2002) Cho f(x)= x3 + ax2 + bx + c. BiÕt . TÝnh gi¸ trÞ ®óng vµ gÇn ®óng cña ? Bµi 6: (Thi vµo líp 10 chuyªn to¸n cÊp III cña Bé GD, 1975) 1. Ph©n tÝch biÓu thøc sau ra ba thõa sè: a4 – 6a3 + 27a2 – 54a + 32. 2. Tõ kÕt qu¶ c©u trªn suy ra r»ng biÓu thøc n4 – 6n3 + 272 – 54n + 32 lu«n lµ sè ch½n víi mäi sè nguyªn n. Bµi 7: (Thi häc sinh giái to¸n bang New York, Mü, 1984) Cã chÝnh x¸c ®óng 4 sè nguyªn d­¬ng n ®Ó lµ mét sè nguyªn. H·y tÝnh sè lín nhÊt. Bµi 8: (Thi häc sinh giái to¸n bang New York, Mü, 1988) Chia P(x) = x81 + ax57 + bx41 + cx19 + 2x + 1 cho x – 1 ®­îc sè d­ lµ 5. Chia P(x) cho x – 2 ®­îc sè d­ lµ -4. H·y t×m cÆp (M,N) biÕt r»ng Q(x) = x81 + ax57 + bx41 + cx19 + Mx + N chia hÕt cho (x-1)(x-2) Bµi 9: (Thi kh¶o s¸t vßng tØnh tr­êng THCS §ång Nai – C¸t Tiªn, 2004) Cho ®a thøc P(x) = x10 + x8 – 7,589x4 + 3,58x3 + 65x + m. a. T×m ®iÒu kiÖn m ®Ó P(x) cã nghiÖm lµ 0,3648 b. Víi m võa t×m ®­îc, t×m sè d­ khi chia P(x) cho nhÞ thøc (x -23,55) c. Víi m võa t×m ®­îc h·y ®iÒn vµo b¶ng sau (lµm trßn ®Õn ch÷ sè hµng ®¬n vÞ). x -2,53 4,72149 P(x) Bµi 10: (Phßng GD huyÖn B¶o L©m - L©m §ång, 2004) 1.TÝnh víi x= -7,1254 2.Cho x=2,1835 vµ y= -7,0216. TÝnh 3.T×m sè d­ r cña phÐp chia : 4.Cho . T×m m ®Ó P(x) chia hÕt cho ®a thøc x+2 Bµi 11: (Së GD L©m §ång, 2005) a. T×m m ®Ó P(x) chia hÕt cho (x -13) biÕt P(x) = 4x5 + 12x4 + 3x3 + 2x2 – 5x – m + 7 b. Cho P(x) = ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f biÕt P(1) = P(-1) = 11; P(2) = P(-2) = 47; P(3) = 107. TÝnh P(12)? Bµi 12: (Së GD Phó Thä, 2004) Cho P(x) lµ ®a thøc víi hÖ sè nguyªn cã gi¸ trÞ P(21) = 17; P(37) = 33. BiÕt P(N) = N + 51. TÝnh N? Bµi 13: (Thi khu vùc 2004) Cho ®a thøc P(x) = x3 + bx2 + cx + d. BiÕt P(1) = -15; P(2) = -15; P(3) = -9. TÝnh: a. C¸c hÖ sè b, c, d cña ®a thøc P(x). b. T×m sè d­ r1 khi chia P(x) cho x – 4. c. T×m sè d­ r2 khi chia P(x) cho 2x +3. Bµi 13: (Së GD H¶i Phßng, 2004) Cho ®a thøc P(x) = x3 + ax2 + bx + c. BiÕt P(1) = -25; P(2) = -21; P(3) = -41. TÝnh: a. C¸c hÖ sè a, b, c cña ®a thøc P(x). b. T×m sè d­ r1 khi chia P(x) cho x + 4. c. T×m sè d­ r2 khi chia P(x) cho 5x +7. d. T×m sè d­ r3 khi chia P(x) cho (x+4)(5x +7). Bµi 15: (Së GD Th¸i Nguyªn, 2003) a. Cho ®a thøc P(x) = x4+ax3 + bx2 + cx + d. BiÕt P(1) = 0; P(2) = 4; P(3) = 18; P(4) = 48. TÝnh P(2002)? b. Khi chia ®a thøc 2x4 + 8x3 – 7x2 + 8x – 12 cho ®a thøc x – 2 ta ®­îc th­¬ng lµ ®a thøc Q(x) cã bËc 3. H·y t×m hÖ sè cña x2 trong Q(x)?