Bài giảng lớp 9 môn học Hình học - Giải toán dựng hình

CHỦ ĐỀ TỰ CHỌN TOÁN 9 LOẠI NÂNG CAO TÊN CHỦ ĐỀ: GIẢI TOÁN DỰNG HÌNH A/ MỤC TIÊU: Giúp học sinh hiểu được và trình bày được bài toán dựng hình, biết dựng hình bằng thước và Com-pa. Rèn luyện cho học sinh kỹ năng sử dụng thước thẳng và Com- pa trong dựng hình và dựng hình chính xác. Giúp học sinh biết phân tích bài toán, để đi đến cách dựng hình, thực hiện từng bước dựng hình thuần thục, biết tuỳ theo từng trường hợp của đề bài mà biện luận được số nghiệm hình dựng được. Biết ứng dụng các bài toán dựng hình để giải quyết những vấn đề trong thực tế. Biết vẽ thêm đường phụ để đưa bài toán cần dựng về các bài toán dựng hình cơ bản. B/ THỜI LƯỢNG: 6 tiết. Học giữa chương 3 hay sau chương 3 ( sau bài cung chứa góc) C/ CÁC NỘI DUNG CƠ BẢN CỦA CHỦ ĐỀ: Nhắc lại các bài toán dựng hình cơ bản và các bước giải bài toán dựng hình.(1 tiết) Áp dụng các bài toán dựng hình cơ bản để giải toán dựng hình (2 tiết). Dựng hình bằng phương pháp quỹ tích tương giao ( 1tiết). Bài tập cuối chủ đề (2 tiết) D/ GỢI Ý THỰC HIỆN: Tiết 1 CÁC BÀI TOÁN DỰNG HÌNH CƠ BẢN VÀ CÁC BƯỚC GIẢI MỘT BÀI TOÁN DỰNG HÌNH I/ Mục tiêu cần đạt: Về kiến thức: Ôn lại các bài toán dựng hình cơ bản đã học Ôn lại các bước giải bài toán dựng hình. - Về kỹ năng: Biết thể hiện các bước giải trong bài toán dựng hình. Biết biện luận số nghiệm của bài toán dựng hình theo yêu cầu của đề bài -Về thái độ: * Học được tính cẩn thận và nhận xét được vấn đề một cách toàn diện. II/ Nội dung cụ thể: Hoạt động1/ Em hãy nêu lại các bài toán dựng hình cơ bản mà em đã được học? Hãy so sánh với phần trong khung dưới đây, xét xem em đã nêu đầy đủ chưa? TT Các bài toán dựng hình cơ bản 1 Chia đôi đoạn thẳng AB, dựng đường trung trực của đoạn thẳng AB 2 Qua điểm O cho trước dựng đường thẳng vuông góc với đường thẳng xy cho trước 3 Dựng đường phân giác của góc xOy 4 Dựng góc bằng góc xOy cho trước 5 Dựng tam giác khi biết 3 cạnh 6 Dựng tam giác khi biết hai cạnh và góc xen giữa 7 Dựng tam giác khi biết một cạnh và hai góc kề cạnh ấy 8 Dựng cung chứa góc trên đoạn AB Hoạt động 2: Em hãy xem ví dụ sau đây và cho biết các bước giải bài toán dựng hình ? Ví dụ: Cho góc nhọn xAy và hai điểm B,C thuộc tia Ax. Dựng đường tròn tâm O đi qua hai điểm B và C sao cho tâm O nằm trên Ay. Giải A/ Phân tích: Giả sử đã dựng được đường tròn tâm O theo như yêu cầu của đề bài Do đường tròn (O) qua hai điểm B,C nên tâm O nằm trên đường trung trực d của BC. Tâm O nằm trên tia Ay nên tâm O là giao điểm của d và tia Oy B/ Cách dựng: Bd1: Dựng trung điểm I của BC và đường trung trực d của BC. I Hình phân tích I Bd2: Dựng giao điểm của đường thẳng d và Ay là O Bd3: Dựng đường tròn (O; OI) ta được đường tròn cần dựng C/ Chứng minh: Đường tròn (O;OI) qua hai điểm B,C vì O nằm trên đường trung trực d của BC ( theo bd1 và bd2) Tâm O của đường tròn nằm trên Ay ( theo bd2) Vậy đường tròn (O,OI) là đường tròn cần dựng. D/ Biện luận: Bd1 ta dựng được 1 đường trung trực d của BC. Bd2 ta dựng được một giao điểm của d và Ay . Do đó bài toán có một nghiệm hình. Hoạt động3: Hãy xem tóm tắt và các lưu ý sau: Các bước giải bài toán dựng hình: 1/ Phân tích tìm tòi cách dựng. 2/ Nêu các bước dựng. 3/ Chứng minh bài toán ta dựng được thoả mãn yêu cầu của đề bài. 4/ Biện luận với yêu cầu của đề bài ta được bao nhiêu nghiệm hình . *Lưu ý: Bước phân tích là bước quan trọng nhất, có tính chất quyết định cho việc giải bài toán dựng hình, nó chỉ ra cơ sở của cách dựng và từ bước phân tích ta lập ra được kế hoạch để dựng hình. Tuy nhiên những bài toán dựng hình đơn giản ta có thể bỏ qua bước này mà không cần trình bày vào bài giải. Bước dựng là bước không thể thiếu trong khi trình bày bài giải, khi nêu bước dựng ta có thể nêu bd1, bd2 để đến bước chứng minh ta có thể dể dàng đưa ra cơ sở lý luận ( Như trong ví dụ 1) Bước chứng minh cũng là bước không thể thiếu trong bài toán dựng hình, vì qua bước chứng minh ta chỉ ra được bài toán ta dựng thoả mãn theo yêu cầu của đề bài. Ta có thể tóm tắt theo sơ đồ sau: Phân tích: . Chứng minh: . Bước biện luận: Một bài toán có thể có nhiều đường hướng phân tích khác nhau, có thể các bước dựng khác nhau nhưng kết quả cuối cùng của bài toán thì phải có kết quả như nhau. *Nguyên tắc tính số nghiệm hình: Nếu bài toán chỉ đòi hỏi thoả mãn về kích thước thì: các hình tìm được bằng nhau được coi là một nghiệm hình, các hình không bằng nhau mới coi là các nghiệm hình khác nhau. Nếu bài toán đòi hỏi thoả mãn về vị trí thì các hình bằng nhau mà ở vị trí khác nhau được coi là các nghiệm hình khác nhau. Tiết 2,3 VẬN DỤNG CÁC BÀI TOÁN DỰNG HÌNH CƠ BẢN VÀO BÀI TOÁN DỰNG HÌNH I/ Mục tiêu cần đạt: Về kiến thức: Biết vận dụng các bài toán dựng hình cơ bản, để giải bài toán dựng hình. Biết trình bày bốn bước dựng hình. -Về kỹ năng: Biết phân tích bài toán để tìm ra cách dựng hợp lý. Biết vẽ thêm đường phụ để phân tích bài toán. Biết biện luận được số nghiệm của bài toán -Về thái độ: Rèn luyện tính suy luận có khoa học Linh hoạt trong vận dụng kiến thức II/ Nội dung cụ thể: Hoạt động4: Em hãy tự giải ví dụ sau đây, sau đó đối chiếu với lời giải có sẵn? Ví dụ: Cho đường tròn tâm O và hai điểm A,B nằm ngoài đường tròn. Dựng đường tròn đường kính COD sao cho AC = BD Giải A/ Phân tích: Giả sử đã dựng được đường kính COD sao cho AC = BD Gọi A/ là điểm đối xứng với A qua tâm O. Ta có tứ giác CA/DA là hình bình hành ( hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường) nên A/D = AB ( vì cùng bằng CA). Do đó cân tại D Vậy điểm D phải thoả mãn hai điều kiện: và D thuộc trung trực A/B. B/ Cách dựng: Bd1: Dựng A/ Đối xứng với A qua O. Bd2: Dựng d là trung trực của đoạn thẳng A/B. d cắt (O) tại điểm D. Bd3: Dựng đường kính DOC ta được đường kính cần dựng. C/ Chứng minh: Dd là trung trực của A/B Nên DA/ = DB(do bd2) D(O) (do bd2) Mà OA/ = OA ( tính chất đối xứng)(do bd1) và OC = OD Vì CD là đường kính (do bd3) nên CA/DA là hình bình hành Suy ra DA/ = CA .Vì thế ta có DB = CA Do đó đường kính COD dựng được thoả mãn yêu cầu của đề bài. D/ Biện luận: -Theo bd1 ta dựng được 1 điểm A/ đối xứng với A qua tâm O. -Theo bd2 ta cũng dựng được 1 đường trung trực d của A/B và giao điểm d và (O) chỉ có 1giao điểm. Bd3 ta cũng dựng được 1 đường kính COD Do đó bài toán có một nghiệm hình. Hoạt động5: Hãy giải các bài toán sau, nếu không được xem hướng dẫn Bài1: Cho đường tròn (O;R) và điểm M nằm bên trong đường tròn. Hãy dựng dây AB nhận M làm trung điểm. Hướng dẫn cách giải: Dựng dây vuông góc với OM Bài 2: Cho đường tròn (O) và hai điểm A, B nằm bên trong đường tròn và không cùng thuộc một đường kính. Dựng hai dây song song sao cho điểm A thuộc một dây và điểm B thuộc dây còn lại. Hướng dẫn cách giải: Dựng trung điểm I của AB, Nối OI Qua A,B dựng dây CD và EF song song với OI. Bài 3: Cho đường tròn (O), điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Dùng thước và Com-pa, hãy dựng các điểm B,C thuộc đường tròn (O) sao cho AB và AC là hai tiếp tuyến của đường tròn (O). Bài4: Cho điểm A nằm trên đường thẳng d, điểm B nằm ngoài đường thẳng d. Dựng đường tròn (O) đi qua A và B , nhận đường thẳng d làm tiếp tuyến. Hướng dẫn cách giải: Tâm đường tròn là giao điểm đường trung trực d của AB và đường thẳng d/ d tại A Bài 5:Cho đường tròn (O) và đường thẳng d không giao nhau. Dựng tiếp tuyến của đường tròn (O) sao cho tiếp tuyến đó song song với d Bài6: Cho hai gương phẳng (a) và (b) hợp nhau góc không đổi. Trên gương (a) ta chọn điểm A cố định, trên gương (b) ta chọn điểm B cố định, sao cho tam giác AOB nhọn. Hãy xác định một điểm trên AB để đặt nguồn sáng S, sao cho tia sáng đến gương (a) phản xạ qua gương (b) rồi trở về điểm S có đường đi ngắn nhất. (Đề thi học sinh giỏi môn Lý huyện Quế Sơn năm học 03-04 ) Hướng dẫn cách giải: Ta có tổng đường đi của các tia sáng SM+MN+NS = S/M +MN + NS// = S/S// -Vậy để tổng SM+MN+NS ngắn nhất thì S/M +MN + NS// = S/S// ngắn nhất, mà IK là đường trung bình của tam giác S/S//S, do đó S/S// ngắn nhất khi IK ngằn nhất. -Gọi Q là trung điểm OS, IQK cân tại Q có không đổi nên IK ngắn nhất khi khi hai cạnh bên IQ và QK ngắn nhất. - nên IQ ngắn nhất khi OS ngắn nhất. Do đó S là chân đường vuông góc dựng từ O xuống AB. Bài7:Cho góc xOy khác góc bẹt, điểm A nằm trên tia Ox. Dựng đường tròn tâm (I) đi qua A và tiếp xúc với hai cạnh của góc xOy. Bài8: Cho (O; 2cm) tiếp xúc với đường thẳng d. dựng đường tròn (O/; 1cm) tiếp xúc với đường thẳng d và tiếp xúc ngoài với (O; 2cm). Hướng dẫn giải: - (O/; 1cm) tiếp xúc với (O; 2cm) và tiếp xúc với d nên OH // O/H/, O/H = 1cm, OO/ = 3cm. Vì thế O/ là giao của đường thẳng song song với d, cách d khoảng 1cm với đường tròn (O;3cm). - Bài toán có 3 nghiệm hình. Tiết 4 DỰNG HÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP QUỸ TÍCH TƯƠNG GIAO I/ Mục tiêu cần đạt: -Về kiến thức: Áp dụng các mối tương giao giữa các hình để dựng hình. Vận dụng được các mối quan hệ giữa các hình để biện luận số nghiệm. - Về kỹ năng: Biết phân tích bài toán để tìm ra mối quan hệ giữa các yếu tố. Dựng được các bài toán dựng hình bằng phương pháp quỹ tích tương giao. - Về thái độ: Có óc phân tích để tìm ra các mối quan hệ của các đại yếu tố. Biết nhìn nhận vấn đề, sự việc ở các mối liên quan với nhau II/ Nội dung cụ thể: Hoạt động 6: Đọc phần sau và trả lời câu hỏi: Một điểm được xác định bởi hai điều kiện sau: 1/ Nếu chỉ xét điều kiện thứ nhất thì điểm đó không được xác định và thuộc vào hình (F) là tập hợp những điểm thuộc điều kiện thứ nhất. 2/ Nếu chỉ xét điều kiện thứ hai thì điểm đó cũng không được xác định và thuộc vào hình (F/) là quỹ tích những điểm thuộc đều kiện thứ hai. Do đó, để thoả mãn cả hai điều kiện trên thì điểm đó phải được xác định như thế nào? Hoạt động7: Em hãy giải bài tập sau dựa vào phần tìm cách giải bên dưới. Sau đó đối chiếu với bài giải có sẵn. Ví dụ: Cho (O; 2cm) tiếp xúc với đường thẳng d. dựng đường tròn (O/;1cm) tiếp xúc với đường thẳng d và tiếp xúc ngoài với (O; 2cm).(Bài tập8 tiết 2,3) Tìm cách giải: - Tâm O/ cần dựng thoả mãn những điều kiện nào? Cách d một khoảng 1cm, do đó thuộc đường thẳng d///d và cách d khoảng 1cm. O/ cách tâm O cho trước khoảng 3cm, nên thuộc đường tròn đường (O;3cm) Vậy O/ là giao của d và (O;3cm) Giải A/ Phân tích: Gỉa sử dựng được (O/) thoả mãn yêu cầu của đề bài - Do (O) tiếp xúc với (O/) nên OO/ = 2 +1 = 3(cm), do đó O/ thuộc (O;3cm) O/ cách d khoảng 1cm nên O/ thuộc đường thẳng d/ //d và cách d khoảng 1cm. B/ cách dựng: Bd1: Dựng đường thẳng d/ // d và cách d khoảng 1cm. Bd2: Dựng (O;3cm) cắt d/ tại O/ Bd2: Dựng (O/; 1cm) ta được đường tròn cần dựng. / C/ Chứng minh: - O/ (theo Bd2), nên OO/ = 3cm = R + R/, do đó (O) tiếp xúc ngoài với (O/) - O thuộc d/ cách d khoảng 1cm (theo Bd2 và Bd1) nên (O/) tiếp xúc với d có bán kính là 1cm D/ Biện luận: Theo Bd1 ta dựng được hai đường thẳng d/ . Theo Bd2 (O;3cm) cắt d/ tại 3 điểm O/ thoả mãn yêu cầu, do đó bài toán có 3 nghiệm hình. ( Xét về vị trí) Hoạt động 8: Em hãy giải các bài toán sau, nếu không được thì xem hướng dẫn. Bài tập1/ Dựng đường tròn bán kính 2cm tiếp xúc với đường thẳng xy cho trước và qua một điểm A cho trước ở cách xy khoảng 3cm. Hướng dẫn giải: Đường tròn cần dựng tiếp xúc với xy và có bán kính 2cm, nên tâm đường tròn nằm trên đường thẳng d // xy và cách xy khoảng 2cm. Đường tròn cần dựng qua A, nên có tâm cách A khoảng 2cm. Do đó tâm đường tròn cần dựng là giao điểm của d và (A;2cm) Bài tập2/ Dựng tam giác ABC, biết BC = 3cm, và trung tuyến AM = 2,5cm. Hướng dẫn giải: Dựng cạnh BC = 3cm. Điểm A là giao điểm của cung chứa góc 450 dựng trên đoạn BC và (M; 2,5cm) ( M là trung điểm BC) - Bài toán có hai nghiệm hình nếu xét về vị trí Bài tập3/ Cho ba nửa đường thẳng Ox,Oy,Oz. Hãy dựng một đường thẳng cắt Ox,Oy,Oz lần lượt ở A,B,C sao cho AB = m; BC = n; m; n là những độ dài cho trước. Hướng dẫn giải: - Gọi số đo Dựng đường thẳng d/ bất kỳ, trên d/ dựng liên tiếp các đoạn A/B/= m; B/C/ = n. Dựng cung chứa góc trên đoạn A/B/, dựng cung chứa góc trên đoạn B/C/ , chúng cắt nhau tại O/ Trên Ox lấy điểm A sao cho OA = O/A/, trên Oy lấy B sao cho OB = O/B/, trên Oz lấy C sao cho OC = O/C/. Bài tập4: Trên mặt phẳng cho trước một đoạn thẳng đơn vị ( tức là đoạn thẳng có độ dài bằng 1). Hỏi rằng chỉ bằng thước và Com-pa có thể dựng được đoạn thẳng có độ dài bằng hay không? (Đề thi học sinh giỏi tỉnh Quảng Nam năm học 1996-1997) Hướng dẫn giải: Độ dài cần dựng là độ dài cạnh góc vuông AB của tam giác vuông ABC vuông tại A, có đường cao AH và BH = 1; HC = . Dựng đoạn thẳng BH,HC lần lượt có độ dài 1; (B,H,C thẳng hàng) Đỉnh A của tam giác vuông ABC là giao điểm đường tròn đường kính BC và đường thẳng d BC tại H. Tiết 5,6 BÀI TẬP I/ Mục tiêu cần đạt: - Về kiến thức : Ôn lại các kiến thức đã học. Vận dụng các kiến thức đã học để giải bài tập. - Về kỹ năng: Biết vận dụng các kiến thức đã được học để giải bài toán một cách có cơ sở khoa học. Có kỹ năng phân tích và trình bày tốt các bước giải bài toán dựng hình. - Về thái độ: Có tính kiên trì trong học tập. Rèn luyện tính chính xác, khoa học, làm việc có cơ sở. II/ Nội dung cụ thể: Hoạt động 9: Giải các bài tập sau. Hãy tự giải trước khi xem hướng dẫn Bài tập1: Cho bốn điểm M,N,P,Q nằm trên một đường thẳng theo thứ tự đó, hãy dựng hình vuông ABCD sao cho các đường thẳng AB,CD,AD,BC lần lượt đi qua các điểm M,N,P,Q. Bài tập2: Bên trong góc ABC của tam giác đều ABC dựng điểm M sao cho. Tính góc . Bài tập 3: Cho (O; R) và hai điểm A, B với AB < 2R. Dựng qua A, B hai đường thẳng song song sao cho chúng tạo thành với đường tròn(O; R) hai dây bằng nhau. Bài tập 4: Giữa hai điểm A, B có một con sông đào. Phải chọn chỗ nào để đặt một chiếc cầu vuông góc với hai bờ sông, sao cho con đường từ A đến B ngắn nhất ( Giả thiết hai bờ sông song song nhau) Bài tập5:Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2R . Vẽ các đường tròn đường kính OA, OB. Hãy dựng một đường tròn tiếp xúc với cả hai đường tròn này. HƯỚNG DẪN GIẢI ( h1) Bài1/ Gọi O, O/ theo thứ tự là trung điểm của MQ, NP. Dựng các đường tròn . Dựng các điểm I, K lần lượt là điểm chính giữa của các cung MQ, NP sao cho chúng cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ là MQ. Lấy B, D theo thứ tự là giao của đường tròn (O) , (O/) với IK . Các tia ND, PD cắt QB, MB tại các điểm tương ứng C, A . Hình vuông ABCD là hình vuông cần dựng. (h1) Bài 2: - Dựng cung chứa góc 300 trên đoạn thẳng BC. Cung này có tâm A bán kính AB. (h2) Dựng cung chứa góc 170 trên đoạn AB. Hai cung này cắt nhau tại M. Điểm M là điểm cần phải dựng (h2) Bài 3: Dựng trung điểm I của AB, nối IO. Qua A, B lần lượt kẻ các đường thẳng AMN, BPQ // IO cắt (O) tương ứng tại M,N và P,Q. Qua O hạ đường vuông góc với MN, PQ có chân đường vuông góc là H,K . Ta có OH = OK. Suy ra MN = PQ. Vì OH< IA< R (gt) nên luôn có một nghiệm hình. (h3) ( H3) Bài4: (h4) Dựng BH vuông góc với bờ sông b, dựng trên đường vuông góc đó về phía A điểm B/ sao cho BB/ = MN. Nối AB/ cắt a tại điểm M đó là đầu cầu cần dựng. Ta chứng minh với vị trí đó thì đường đi từ A đến B ngắn nhất bằng cách lấy điểm M/ bất kỳ (M/ M) và chứng minh B A AM/+ M/B > AM +MB/. Bài 5 ( h5) - Do O1O3 = O2O3 nên O3 thuộc trung trực của AB. - Nếu gọi bán kính đường tròn tâm O3 là x, thì ta có hệ thức từ đó ta có và O1O3 =. Do đó O3 là giao của đường trung trực d của AB và (O1; ). - Bài toán có 2 nghiệm hình. E/TÀI LIỆU THAM KHẢO: 1/ Sách bài tập Toán 9 tập 1,2 nhà xuất bản Giáo dục năm 2005 2/ Các đề thi giỏi huyện, tỉnh ở các năm học trước. 3/ 500 bài toán chọn lọc 9 của nhà xuất bản đại học sư phạm do các tác giả: NGUYỄN NGỌC ĐẠM – NGUYỄN QUANG HANH- NGÔ LONG HẬU biên soạn ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ Nguồn: Phòng GDĐT Quế Sơn, Quảng Nam ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ - website đang xây dựng, cập nhật phần mềm, tài liệu cá nhân có trong quá trình làm việc, sử dụng máy tính và hỗ trợ cộng đồng: + Quản lý giáo dục, các hoạt động giáo dục; + Tin học, công nghệ thông tin; + Giáo trình, giáo án; đề thi, kiểm tra; Và các nội dung khác. ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++