Bài giảng lớp 9 môn học Hình học - Bài 6: Đường tròn

Bài 6 ĐƯỜNG TRÒNI/ Phương trình đường tròn+ Trong mặt phẳng, cho đường tròn ( C ) có tâm I(a;b), có bán kính R .M(x;y) (C) khi và chỉ khi : IM = R (x – a)2 + (y - b)2 = R2Từ đó ta có PT của đường tròn tâm I(a;b) , bán kínhR là : (x – a)2 + (y – b)2 = R2 + Ngược lại PT : x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 x2 + y2 - 2ax - 2by + a2 + b2 = a2 + b2 - c (x - a)2 + (y - b)2 = a2 + b2 – c Khi a2 + b2 – c > 0 đây là PT của đường tròn tâm I(a;b) , bán kính R = 1+ Như vậy PT của đường tròn còn có dạng : x2 + y2 + 2ax + 2by + c = 0 với a2 + b2 – c > 0 II/ Ví dụ : 1. Viết PT đường tròn biết : a) Đường tròn có đường kính AB , với A(-5;1) , B(3; - 7) . b) Đường tròn có tâm I( 3 ; - 5 ) và tiếp xúc với đường thẳng (d) : 4x – 3y - 2 = 0 c) Đường tròn đi qua 3 điểm A(-3;1) , B(3; 0) ,C(0;-1). Giải + Tâm I là trung điểm của AB : I(-1;-3) + Bán kính R = Vậy PT của đường tròn là : (x + 1)2 + (y + 3)2 = 322+ Tâm I (3;- 5) + Đường tròn tiếp xúc với đường thẳng (d) : 4x – 3y - 2 = 0 Vậy PT đường tròn là : (x – 3)2 + (y + 5)2 = 25 c) + PT đường tròn có dạng : x2 + y2 + 2ax + 2by + c = 0 + Đường tròn đi qua 3 điểm A(-3;1) , B(3; 0) ,C(0;-1). Vậy PT đuờng tròn là : 32. Cho đường cong (C) có PT : x2 + y2 + 2(m – 1)x – 6my + 9m2 + 4 = 0 Tìm m để (C) là một đường tròn , xác định tâm và bán kính của (C) GiảiTa có : a = m – 1 ; b = - 3m ; c = 9m2 + 4 (C) Là đường tròn khi : a2 + b2 – c > 0 (m – 1)2 + 9m2 – 9m2 - 4 > 0m2 – 2m - 3 > 0 m 3 Vậy với m 3 thì (C) là một đường tròncó tâm I(- m + 1 ; 3m ) và bán kính 43. Xác định tâm và bán kính của các đường tròn sau : a) x2 + y2 – x + 3y – 4 = 0 b) - x2 – y2 + 4x – 6y + 5 = 0 c) 2x2 + 2y2 – 3x – y - 1 = 0 GiảiVậy tâmb) – x2 – y2 + 4x – 6y + 5 = 0 x2 + y2 - 4x + 6y - 5 = 0 a = - 2 ; b = 3 ; c = - 5 Ta có :Vậy tâm2x2 + 2y2 - 3x - y - 1 = 0 x2 + y2 - 3/2 x - 1/2 y - 1/2 = 0 5Ta có :Vậy tâm III/ Phương tích của một điểm đối với một đường tròn .Cho đường tròn (C) : x2 + y2 + 2ax + 2by + c = 0 và điểm M(x0;y0) .P (M/(C)) = IM2 - R2 = (x0 + a)2 + (y + b)2 - a2 - b2 + c + (C) có tâm I(-a;-b) , bán kính R =+ ta có := x02 + y02 + 2ax + 2by + c IV/ Trục đẳng phương của hai đường tròn .P (M/(C)) = x02 + y02 + 2ax + 2by + c Vậy 6 Cho hai đường tròn không đồng tâm : (C1) : x2 + y2 + 2a1x + 2b1y + c1 = 0 (C2) : x2 + y2 + 2a2x + 2b2y + c2 = 0 M(x;y) thuộc trục đẳng phương khi và chỉ khi :P (M/(C1)) = P (M/(C2)) x2 + y2 + 2a1x + 2b1y + c1 = x2 + y2 + 2a2x + 2b2y + c2 2a1x + 2b1y + c1 - 2a2x - 2b2y - c2 = 0 2(a1 - a2)x + 2(b1 - b2) y + c1 - c2 = 0 (1) Vì a1 – a2 và b1 – b2 không đồng thời bằng 0 nên (1) là phương trình của đường thẳng .Như vậy PT của trục đẳng phương là : 2(a1 - a2)x + 2(b1 - b2) y + c1 - c2 = 0 7 Bài 1: Tìm tâm và bán kính các đường tròn sau:a) x2 + y2 - 2x- 2y- 2 = 0b) 16x2 +16y2 +16x -8y = 11.c) . GIẢI x2 + y2 -2x -2y -2 = 0 . Ta có: -2a = -2 a = 1. -2b =-2 b = 1. c = -2.Vậy tâm của đường tròn là I(1;1).Bán kính đường tròn là R = BÀI TẬP 8b)16x2 + 16y2 + 16x - 8y = 11. x2 + y2 + x - . ta có : -2a = -1 . -2b = . . Vậy tâm của đườnh tròn là T ( ). Bán kính của đường tròn là : R = .c) . . .Vậy tâm của đường tròn I(5;-3) .Bán kính của đường tròn : R = = 4.9Bài 2 Viết pt đường tròn biết: a) Qua A(1;2) và có tâm I(-3;1)b) Qua ba điểm A(1;2), B(-3;0), C(3;-2)c) Tâm I(1;2) và tiếp xúc với đường thẳng d :x+2y-3 =0d) Qua A(1;2);B(3;1), có tâm nằm trên đường thẳng :7x+2y-3=0 GIẢI a)Viết pt đ tròn qua A(1;2) và có tâm I(-3;1). Vì đường tròn tâm I(-3;1) và qua A(1;2) nên có bán kính R = IA = Pt đường tròn tân I(-3;1) có bán kính R= là: (x+3)2 +(y-1)2 = 17 b) Viết pt đtròn qua 3 điểm A(1;2), B(-3;0), C(3;-2) Cách 1 Gọi đ tròn ( C) : x2 +y2 -2ax -2by +c = 0 Vì ( C) qua 3 điểm A(1;2) ,B(-3;0) , C(3 ;-2) nên10 1+4 -2a -4b +c =0 9 +6a +c =0 9 +4 -6a +4b +c =0 Vậy ( C) : x2 +y2 +2x -9 =0C2) Gọi tâm đ tròn I(a;b) .Vì đ tròn đi qua A,B,C nên IA = IB IA2 = IB2 IA = IC IA2 = IC2 (1-a)2 + (2-b)2 = (-3-a)2 + b2 (1-a)2 + ( 2-b)2 = (3-a)2+( -2-b)2 2a +b = -1 a=0 a-2b = 2 b=-1 Vậy tâm I(0;-1) , bán kính R = IA = do đó ptđt : (x-0)2 + ( y + 1 )2 = 10 11 c) Viết pt đ tròn tâm I ( 6; 1) và t. xúc với đường thẳng d: x+2y-3=0 Vì đường tròn tâm I(6;1) tiếp xúc với d: x+2y-3 = 0 nên R= d(I’d) = Ta có IA = IB I ( ) IA2 = IB2 I(a,b) : 7x-2y-2 = 0 (1-a)2 + (2-b)2 = (3-a)2 + (1-b)2 7a -2b -2 = 0 4a -2b – 2 = 5 a = -1 7a -2b = 2 b = -9/2 Vậy tâm I(-1;-9/2) , bán kính R = IA = Do đó pt đ tròn 12 Bài 3 : Cho đường tròn ( C) : x2 + y2 -4x +8y -5 =0 và 2 điểm A ( -1;0), B(3;-11) a) Tìm toạ độ tâm và bán kính đường tròn b) tính , . Suy ra vị trí tương đối của A và B đối với (C) c) Viết pttt của đường tròn đi qua điểm A(-1;0) d) Viết pttt của đường tròn đi qua điểm B(3;-11) e) Viết pttt của đường tròn biết t.tuyến song song với d: 2x-y = 0 GIẢI a)Tìm toạ độ tâm và bán kính đường tròn: ( C) x2 + y2 - 4x+8y - 5 =0 Tâm đường tròn : I (2;-4)Bán kính đường tròn : R = = =5 b) = 1 + 4 – 5 = 0 A( -1;0) ( C) = 9 + 121 – 12 – 88 – 5 = 25 > 0 nên B nằm ngoài đường tròn 13 c)Viết pttt của đường tròn ( C) đi qua A( -1;0) Vì A(-1;0) ( C) nên Pttt của ( C) qua A(-1;0) có VTPT = (3;-4) là3(x+1) -4( y-0) = 0 3x -4y +3 = 0 d) Viết pttt củ ( C) qua B (3;-11) Vì B(3;-11) nằm ngoài đ. tròn nên đương thẳng qua B có dạng: A(x-3) + B ( y+11 ) = 0 Ax + By -3A +11 B = 0 Do tiếp xúc với ( C) d(I; ) = R = 5 =5 A2 -14AB + 49 B2 = 25A2 + 25B2 24A2 + 14 AB - 24 B2 = 0 Chọn B = 1 : 24 A2 +14A -24 = 0 A = Vậy 14 3x+4y +35 = 0 Bài 4 Gọi ( ) là đường có pt : x2 + y2 - 2(m+2) x + 4my +19m -6 = 0 a) tìm m để( ) là đường tròn. b)Tìm m để ( ) là đường tròn có bán kính bằng 10. c) Tìm tập hợp tâm các đường tròn ( ) GIẢI a) ( ) :x2 + y2 - 2(m+2 )x + 4my+ 19m - 6 = 0 Ta có :-2a = - 2(m+2) a = m+2 -2b = 4m b = -2m ; c = 19m -6 ( ) là đường tròn a2 + b2 –c2 > 0 (m+2)2 +4m2 -19m +6 > 0 5m2 -15m +10 > 0 m2 Vậy m2 thì ( ) là đường tròn15 b)Tìm m để ( ) là đường tròn có bán kính bằng 10: Khi m 2 thì ( ) là đường tròn có bán kính Để ( ) có bán kính bằng 10 R = 10 = 10 5m2 -15m + 10 = 100 m2 – 3m -18 = 0 m = 6 v m = - 3 Vậy m = 6 v m = - 3 thì ( ) có bán kính R = 10. c) Tìm tập hợp tâm các đường tròn ( ). Với m 2 thì ( ) là đường tròn tâm I (m+2;-2m) Do 16 Vậy tập hợp các tâm đường tròn là phần đường thẳng 2x + y – 4 = 0 x 4 - - - @ - - - @ - - - @ - - - @ HẾT - - - @ - - - @ - - - @ - - - @ 17