Bài giảng lớp 9 môn học Hình học - Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

Hình học lớp 9Chương I: Hệ thức lượng trong tam giác vuôngĐ1 Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuôngABHacbhb’c’Cho  ABC vuông tại A, a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác, b’; c’: là hình chiếu của 2 cạnh góc vuông trên cạnh huyềnCNhờ một hệ thức trong tam giác vuông ta có thể đo được chiều cao của cây bằng một chiếc thước thợ !Xét tam giác ABC vuông tại A, cạnh huyền BC = a, các cạnh góc vuông AC = b, và AB = c. Gọi AH = h là đường cao ứng với cạnh huyền và CH = b’, BH = c’ lần lượt là hình chiếu của AC, AB trên cạnh huyền BC.(h.1)ABCHbcahc’b’Hình 1 1. Hệ thức giữa cạnh góc vuông và hình chiếu của nó trên cạnh huyềnĐịnh lí 1 Trong một tam giác vuông, bình phương mỗi cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền và hình chiếu của cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền.ABCHbcahc’b’Hình 1Chứng minh: (h.1)Xét hai tam giác vuông AHC và BAC. Hai tam giác vuông này có chung góc nhọn C nên chúng đồng dạng với nhau. Do đó:  AC2 = BC.HC, tức là b2 = a.b’. Tương tự, ta có c2 = a.c’.Với các ký hiệu đã qui ước như trên ta cần chứng minh hệ thức nào?Ta cần chứng minh hệ thức b2=ab’; c2=ac’Em nào có thể chứng minh được điều đóBACb’bcVí dụ 1. (Định lí Py-ta-go – Một hệ quả của định lí 1)Ta có: a = b’ + c’, do đó: b2 + c2 = ab’ + ac’ = a(b’ + c’) = a . a = a2.Như vậy: Từ định lí 1 ta suy ra được định lí Py-ta-goHc’a2. Một số hệ thức liên quan tới đường caoĐịnh lí 2 Trong một tam giác vuông, bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tích hai hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền.?1Ta có: AHB ~ CHA (g.g)   h2 = b’.c’Xét hình 1. Chứng minh AHB ~ CHA . Từ đó suy ra hệ thức 2.ABCHbcahc’b’Hình 1ACED2,25 m1,5 mVí dụ 2. Tính chiều cao của cây trong hình 2 biết rằng người đo đứng cách cây 2,25 m và khoảng cách từ mắt người đo đến mặt đất là 1,5 m.Hình 2Ta có  ADC vuông tại D, DB là đường cao ứng với cạnh huyền AC và AB = 1,5m. Theo định lý 2 ta có BD2 = AB . BC tức là (2,25) 2 = 1,5 . BC Vậy chiều cao của cây là AC = AB + BC = 1,5 +3,375 = 4,875 (m)BĐịnh lý 2 thiết lập mối quan hệ giữa đường cao ứng với cạnh huyền và các hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyềnĐịnh lý 3 dưới đây thiết lập mối quan hệ giữa đường cao này với cạnh huyền và hai cạnh góc vuôngTrong một tam giác vuông, tích hai cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền và đường cao tương ứng. Định lí 3Với các ký hiệu trong hình 1, em nào có thể viết được giả thiết kết luận của định lý 3ACHbcahc’b’Hình 1GTKL ABC vuông tại A, AH  BCBbc = ah(3)ABC~ HAC (g.g)  b.c = a.hChứng minhTừ công thức tính diện tích tam giác, ta nhanh chóng suy ra hệ thức (3). Tuy nhiên có thể chứng minh hệ thức (3) bằng cách khác?2Xét hình 1. Hãy chứng minh hệ thức (3) bằng tam giác đồng dạngNhờ định lý Py-ta-go, từ hệ thức (3), ta có thể suy ra một hệ thức giữa đường cao ứng với cạnh huyền và hai cạnh góc vuôngThật vậy, ta có Từ đó ta có.Định lý 4Trong một tam giác vuông, nghịch đảo bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tổng các nghịch đảo của bình phương hai cạnh góc vuôngEm nào có thể phát biểu thành một định lýVí dụ 3 Cho tam giác vuông trong đó có các cạnh góc vuông dài 6cm và 8cm. Tính độ dài đường cao xuất phát từ đỉnh góc vuôngGọi đường cao xuất phát từ đỉnh góc vuông của tam giác này là h. Theo hệ thức giữa đường cao ứng với cạnh huyền và hai cạnh góc vuông, ta có:8cm6cmhChú ý. Trong các ví dụ và bài tập tính toán bằng số của chương này, các số đo độ dài ở mỗi bài nếu không ghi đơn vị ta qui ước là cùng đơn vị đoTính x và y trong mỗi hình sau: 86xy12xy20ABCHMNPKBC2=AB2+AC2 BC2=62+82=102 BC = 10,do AB2= BH.BC BH = x = y= 6,4Ta có: PM2=PK.PNx = PK =Vậy y=12,8xABTa có: PM2=PK.PNx = PK =Vậy y=12,8Có thể em chưa biếtCác hệ thức b2 = ab’, c2 = ac’(1) và h2 = b’c’(2) còn được phát biểu dựa vào khái niệm trung bình nhânHệ thức (1) được phát biểu như sau:Trong một tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông là trung bình nhân của cạnh huyền và hình chiếu của cạnh góc vuông đó trên cạnh huyềnTương tự hệ thức (2) được phát biểu như sau:Trong một tam giác vuông, đường cao ứng với cạnh huyền là trung bình nhân của hai đoạn thẳng mà nó định ra trên cạnh huyềnNgười thực hiệnĐinh thị phươngGiáo viên trường thcs Anh Sơn- huyện Anh Sơn- Tỉnh Nghệ AnVới sự cộng tác của anh Phan Đình Thi và anh Phan Đình VănChỉ đạo nội dung: Đinh Thị PhươngThiết kế mỹ thuật: Phan Đình Thi Đồ hoạ vi tính: Phan Đình VănChúng tôi xin chân thành cảm ơn sự quan tâm theo dõi của quí vị và các bạn!Mọi sự đóng góp ý kiến xin gửi về địa chỉ: Đinh Thị PhươngGiáo viên Trường THCS Anh Sơn- Huyện Anh Sơn- Tỉnh Nghệ AnChỗ ở hiện tại: Xóm 2 – Xã Thạch Sơn – Huyện Anh Sơn – Tỉnh Nghệ An.