Bài giảng lớp 10 môn Đại số - Tiết 69: Định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai

Bài soạn Định lý đảo về dấu của tam thức bậc haiTiết:69I. Mục tiêu * Học sinh nắm được nội dung của định lý và hai hệ quả: * Biết cách vận dụng lý thuyết vào giải bài tập.II. Tổ chức giờ họcKiểm tra bài cũ Câu hỏi Nêu định lý về dấu của tam thức bậc hai?* a.f(x) > 0,  x  (-∞,x1)(x2,+∞)* a.f(x) 0 , phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 0,  x ≠ * = 0 phương trình f(x) = 0, có nghiệm kép x1= x2 = * a.f(x) > 0,  x  R 0, khi đó phương trình f(x) = 0, có hai nghiệm phân biệt x1, x2 (x1 0 phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 (x1 0 Chọn  = 0, khi đó f() = f(0) = -5 af () = 1.(-5) = -5 0, ta còn có thể làm theo cách nào?Từ định lý thuận và định lý đảo ta suy ra hai hệ quả sau.Hệ quả 1. Cho tam thức bậc hai: f(x) = ax2 + bx + c(a≠0). điều kiện cần và đủ đễ phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2(x1< x2) là tồn tại số thực  sao cho a.f() < 0. Chứng minh* Theo định lý thuận phương trình: f(x) = 0, có hai nghiệm x1< x2 tồn tại   R: a.f() < 0. (1)* Theo định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai a.f() < 0  phương trình f(x) = 0, có hai nghiệm phân biệt. (2)Từ (1) và (2) suy ra (đpcm)f(x) = ax2 + bx + c (a≠0) và hai số thực , β sao cho  < β. Điều kiện cần và đủ để phương trình f(x) = 0, có hai nghiệm phân biệt, trong đó một nghiệm nằm trong khoảng (,β), nghiệm còn lại nằm ngoài đoạn [,β] là: f().f(β) < 0Hệ quả 2Cho tam thức bậc hai:Ta có với a ≠ 0: f()f(β) < 0   a2f().f(β) < 0   af().af(β) < 0  Chứng minhMinh họa bằng đồ thịxβx2 Of() Of()x2 O x1yx f(β)βf()x2 Of()yf(β) Oβ x1x2Chứng minh rằng với mọi m ≠ 1 và m ≠ 0, phương trình: (1-m)x2 + (m-2)x + 4m-3 = 0luôn có hai nghiệm phân biệt, một nghiệm thuộc khoảng (-1;3), nghiệm còn lại nằm ngoài đoạn [-1;3].Ví dụ 2Suy ra:* f(-1).f(3) = 2m.(-2m) = - 4m2 < 0Vậy theo hệ quả 2 ta có (đpcm).Câu hỏi Để chứng minh phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt, một nghiệm thuộc khoảng(-1;3), nghiệm kia nằm ngoài đoạn [-1;3], ta làm thế nào?Hướng dẫn:Ta cần chứnh minh f(-1).f(3) < 0Lời giải Đặt f(x) = (1-m)x2 +(m-2)x +4m-3Tacó: * f(-1) = (1-m)(-1)2 + (m-2)(-1) +4m-3 = 2m  * f(3) = (1-m)32 + (m-2)3 +4m-3 = -2mCủng cốLý thuyết:Cần nắm được nội dung định lí đảo về dấu của tam thức bậc hai. Nắm được nội dung của hệ quả 1 và hệ quả 2. Định lý đảo về dấu tam thức bậc hai Cho tam thức bậc hai: f(x) = ax2 + bx +c (a ≠ 0) và một số thực . Nếu a.f() < 0, thì tam thức có hai nghiệm phân biệt x1, x2 (x1 < x2) và x1 <  < x2. Hệ quả 1 Cho tam thức bậc hai: f(x) = ax2 + bx + c(a≠0). điều kiện cần và đủ để phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 (x1< x2) là tồn tại số thực  sao cho a.f() < 0. Hệ quả 2 Cho tam thức bậc hai: f(x) = ax2 + bx + c (a≠0) và hai số thực , β sao cho  < β. Điều kiện cần và đủ để phương trình f(x) = 0, có hai nghiệm phân biệt, trong đó một nghiệm nằm trong khoảng (,β), nghiệm còn lại nằm ngoài đoạn [,β] là: f().f(β) < 0Bài 2. Xác định m để phương trình:  (m+3)x2 - 3(m-1)x + 4m = 0 có một nghiệm thuộc khoảng (-2;2), nghiệm kia nằm ngoài đoạn [-2;2].Bài tập về nhàBài 1. Chứng minh rằng phương trình: -x2 +4(m-2)x + 1= 0 có hai nghiệm phân biệt với mọi m.Bài 3. Xác định m để phương trình: (m+1)x2 + 2(m-2)x + 2m-12 = 0 có một nghiệm thuộc khoảng (-1;1), nghiệm kia nằm ngoài đoạn [-1;1].Hướng dẫnBài 1: Ta có a = 1, chọn  = 0 thì a.f() = 1.f(0) = -1 Bài 2: Giải các bất phương trình a ≠ 0 và f(-2).f(2) < 0  m Bài 3 Tương tự bài 2.