Bài giảng lớp 10 môn Đại số - Một ứng dụng của bất đẳng thức côsi

MỘT ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI. (Bài giảng để bồi dưỡng học sinh giỏi và luyên thi vào Đai học,Cao đẳng) Ta đã biết bất đẳng thức côsi có ứng dụng rất phong phú và đa dạng.Sau đây tôi đưa ra một ứng dụng của bất đẳng thức côsi. Bất đẳng thức côsi cho n số: Cho n số thực a1,a2,......,an0 ta có bất đẳng thức: .Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a1=a2=......=an. A.Bài toán: 1) Cho a1,a2>0 và a1a21.Chứng minh: (1) 2) Cho a1,a2,a3>0 và a1.a2.a31.Chứng minh:. (2) 3) Cho a1.a3,.........,an>0 và a1.a2.........an1.Chứng minh: (3) trong đó m,n,k là các số nguyên dương,m>k,n2. Chứng minh: 1)Ta có tương tự ta có .từ đó suy ra: .Do Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a1=a2=1. 2)Do .Chứng minh tương tự ta có .Do đó :.Do: Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a1=a2=a3=1.Từ đó suy ra bất đẳng thức được chứng minh. 3)Ta có:oSuy ra: .Chứng minh tương tự ta có: Từ đó suy ra: Do: Do VP=- N(m-k)=.Đẳng thức xẩy ra a1=...=an=1. B.Các ví dụ: Ví dụ 1: 1) Cho a+b+c=0.Chứng minh:. (1) 2)Cho a,b,c>0.Chứng minh: (2) Cho a,b,c>0 .Chứng minh: (3) Chứng minh: 1)Đặt Bất đẳng thức đã cho tương đương với: ( Áp dụng bất đẳng thức côsi cho ba số:x3 , 1 , 1 ta có:x3+1+13x-2. Chứng minh tương tự ta có :.Cộng ba bất đẳng thức ta có: Đẳng thức xẩy ra .Đẳng thức được chứng minh. 2)Đặt .Khi dó (2)tương đương với bất đẳng thức: (Bất đẳng thức (2) trong bài toán) 3)Tương tự đặt .khi đó (2) tương đương với bđt: .áp dụng bđt (3) trong bài toán với n=3.m=4 k=1. Ví dụ 2:Cho tam giác ABC không vuông và nhọn ở B.Tính các góc của tam giác đó biết: Giải:Từ (1) từ (1) suy ra cotA,tanA>0.Do tanA.cotA=1 áp dụng bđt trên ta có: .Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi cotA=tanA=1A=450. Từ (2) ta có:.Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi cotB=tanB=1450. Như vậy,điều kiện đã cho xẩy ra khi và chỉ khi A=B=450. Vậy :A=B=450 và C=900 Chú ý :Để tính các góc của một tam giác thì phếp biến đổi phải tương đương (tức là phải cần và đủ) Ví dụ 3:Cho a,b>0.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P= +Chứng minh: +dễ dàng ta có: +Do đó P=................6.Đẳng thức xẩy ra khi a=b>0 Vậy minP=6 khi a=b> Ví dụ 4:Giải phương trình: 1) với x,y,z>0 và x+y+z=3. (1) 2) (2) Giải: 1) Đặt x=u6,y=v6,z=t6 u,v,t>0 khi đó (1)u3-u2+v3-v2+t3-t2=0 (*) +Cm: Từ đó suy ra:.Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi u=v=t=1 thoả mãn đk. Vậy phương trình có nghiệm:x=y=z=1 2) Đặt Do . Đặt tương tự ta có b>0 Do (.Với các điều kiện đó (1)a4+b4=a+b. Do Đẳng thức xẩy ra Vậy phương trình có nghiệm x=0. Chú ý:Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi thì bài toán giải mới đúng. Bài tập Bài 1:Cho a+b+c=0.CM: Bài 2: Cho x,y,z>0.CM: Bài 3:Cho a,b,c>0.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: Q= Bài 4:Giải phương trình: Bài 5:Tính các góc của tam giác ABC biết: