Bài giảng lớp 10 môn Đại số - Khảo sát hàm số và các vấn đề liên quan

KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ™™™&˜˜˜ LÍ THUYẾT KHẢO SÁT HÀM SỐ: Tập xác định: Tìm tập xác định của hàm số. Sự biến thiên: + Xét chiều biến thiên của các hàm số. ­ Tính y’. ­ Tìm các điểm mà tại đó y’=0 hoặc y’ không xác định. ­ Xét dấu đạo hàm Þ chiều biến thiên của hàm số. + Tìm cực trị của hàm số. + Tìm các giới hạn vô cực và tiệm cận (nếu có). + Lập bảng biến thiên (Ghi các kết quả tìm được vào bảng biến thiên). Đồ thị: Dựa vào bảng biến thiên và các yếu tố xác định ở trên để vẽ đồ thị. * Chú ý: + Hàm số tuần hoàn với chu kì T thì ta chỉ khảo sát trên 1 chu kì và tihnh tiến đồ thị theo phương song song với trục Ox.. + Tìm một số điểm đặc biệt (điểm uốn, giao với Ox, giao với Oy) + Lưu ý tính chẳn lẽ và đối xứng. BÀI TOÁN CỤ THỂ: Hàm số bậc ba: y = ax3+bx2+cx+d (a¹0) VD: Khảo sát hàm số: Giải TXĐ: D = R Sự biến thiên của hàm số: + + + Hàm số đạt cực đại tại và giá trị cực đại Hàm số đạt cực tiểu tại và giá trị cực tiểu + Hàm số đồng biến trên khoảng: (-∞:-2)È(0:+∞) Hàm số đồng biến trên khoảng: (-2: 0) + Giới hạn vô cực của hàm số: ; + Bảng biến thiên: x -2 0 y’ + 0 - 0 + y 0 -4 Đồ thị: + Điểm uốn của đồ thị: ; Vậy: là điểm uốn của đồ thị + Giao điểm của đồ thị với trục trung là: Ta có: Vậy đồ thị và trục hoành có hai điểm chung: ; + Vẽ đồ thị: Hàm số trùng phương: y = ax4 + bx2 + c (a¹0) VD: Khảo sát sự biến thiên và vẻ đồ thị hàm số Giải Tập xác định: D = R Sự biến thiên: y’ = 4x3 – 4x = 4x(x2 - 1) Hàm số đạt cực đại tại M1(0,-1); đạt cực tiểu tại M2 (-1,-2) và M3 (1,-2) Hàm số đồng biến trên (-1,0) và (1, +∞); nghịch biến trên (-∞, -1) và (0,1). Giới hạn: Bảng biến thiên: x -1 0 1 y’ - 0 + 0 - 0 y -1 -2 -2 Đồ thị: y’’ = 12x2 – 4 Þ Điểm uốn: có 2 điểm uốn Hàm số phân thức: y=ax+bcx+d VD: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: y = TXĐ: R\{1} Sự biến thiên: + y’ = < 0 hàm số nghịch biến x 1 lim = - x1- lim = + x1+ + Tiệm cận đứng x = 1 + Tiệm cận ngang y = 1 + Bảng Biến thiên: x -∞ 1 +∞ y’ - - y 1 -¥ 1 -∞ Đồ thị: Điểm đặc biệt: (0,-3); (-3,0); (2,5); (5,2) x = 1 y = 1 CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN: Sự tương giao giữa 2 đồ thị: Cho hai đồ thị (C1) y=f(x) và (C2) y=g(x). Khi đó phương trình f(x)=g(x) được gọi là phương trình hoành độ giao điểm. Số nghiệm của phương trình f(x)=g(x) (1) bằng số giao điểm của (C1) và (C2) Nếu (1) vô nghiệm : Không có điểm chung. 1 nghiệm đơn : Cắt nhau n nghiệm : n giao điểm 1 nghiệm kép : tiếp xúc * Đặc biệt: điều kiện tiếp xúc của (C1) và (C2) là hệ phương trình có nghiệm. VD: Cho hàm số Tìm m để đường thẳng y=mx + 2 -2m cắt đồ thị hàm số tại 2 điểm phân biệt Giải: TXĐ: D = R/{2} Phương trình hoành độ giao điểm (*) Để đường thẳng d cắt đồ thị hàm số tại 2 điểm phân biệt thì phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt Từ (*) Để phương trình trên có 2 nghiệm phân biệt khác 2 a¹0 m – 1 ¹ 0 Û D>0 Û (2 – 2m)2 – (m - 1)(- 8 + 4m)>0 f(2)¹0 4( m + 1) + 2(4 – 4m)- 8 + 4m ¹ 0 m ¹ 1 m ¹ 1 Û 4m – 4 > 0 Û Û m > 1 -4 ¹ 0 m > 1 Vậy với m>1 đường thẳng d cắt đồ thị tại 2 điểm phân biệt. Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị: Giả sử cần biện luận số nghiệm của phương trình F(x,m)=0 (1) trong đó đồ thị (C) của hàm số y=f(x) đã vẽ. Biến đổi phương trình (1) về dạng f(x)=g(x,m). Thông thường y=g(x,m) là phương trình của một đường thẳng d. Đặc biệt, y=g(x) là đường thẳng song song với trục Ox và cắt Oy tại g(m). Số nghiệm phương trình (1) chính là số giao điểm của (C) với d nên dựa vào đồ thị kết luận nghiệm của phương trình đã cho. VD :Cho hàm số (C) : khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) Dùng đồ thị biện luận thao tham số m số nghiệm phương trình Giải: phần khảo sát các bạn tham khảo mục I (Vd hàm số bậc 3) (*) Û 3x3 – 9x = m – 6 Û 3(x3 – 3x + 2) = m Û x3 – 3x + 2 = m3 y=m3 Dựa vào đồ thị ta kết luận: 4 phương trình có 1 nghiệm. : d cắt (C) tại 2 điểm => phương trình có 1 nghiệm đơn và 1 nghiệm kép 0 phương trình có 3 nghiệm Vậy: + 12<m<0: phương trình có 1 nghiệm. + m=0 hoặc m=2: phương trình có 1 nghiệm đơn và 1 nghiệm kép + 0<m<12: phương trình có 3 nghiệm Cực trị của hàm số: *Dạng 1: Định m để hàm số để hàm số đạt cực trị (cực đại, hoặc cực tiểu) Cách giải: + TXĐ: + Tính y’, cho y’ bằng 0 + Hàm số đạt cực trị thì phương trình y’ = 0 có nghiệm m Ví dụ: Định m để hàm số y = x3 +mx2 + (m+6)x- (2m+1) có cực đại và cực tiểu Giải TXĐ: D= R y’ = x2 + 2mx + m - 6 y’= 0 x2 + 2mx +m - 6 =0(*) Hàm số đạt cực đại và cực tiểuy’=0 có hai nghiệm phân biệt (*) >0 m2 – m - 6 >0 m 3 Vậy với m 3 thì hàm số đạt cực đại và cực tiểu. *Dạng 2: Định m để hàm số đạt cực đại( cực tiểu) tại x = xo Cách giải: TXĐ Tính y’ Tính y’(x0), cho y’(xo) = 0 m Thử lại với m vừa tìm được VD: Tìm m để hàm số y = mx3 + 3x2 + 5x +2 đạt cực đại tại xo=2 Giải TXĐ: D = R y’ = 3mx2 + 6x + 5 y’(2) = 12m + 17 y’(2) = 0m= Thử lại với m = Với m = ta có: y = x3 +3x2 +5x + 2 y’ = x2 + 6x +5 y’ =0 x2 +6x +5 = 0 x = 2 x= Bảng Biến thiên: x -∞ -1017 2 -∞ y’ 0 0 y +∞ CĐ CT -∞ Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy với m = thì hàm số đạt cực đại là tại x = 2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C): y = f(x) A: Phương trình tiếp tuyến của (C): tại điểm AD: y – y0 = f’(x0)(x – x0) (1) Có ba dạng tiếp tuyến tại điểm: Dạng 1: Cho x0 hoặc y0 của tiếp điểm, từ phương trình y0 = f(x0) tìm được y0 hoặc x0 Þ f’(x0). Thay vào (1) để có phương trình cần tìm. Dạng 2: Cho hệ số góc của tiếp tuyến là f’(x0) = k Þx0 và y0 = f(x0)Þ y0. Thay vào (1) ta được phương trình tiếp tuyến cần tìm. Lưu ý: Nếu k là hệ số góc của tiếp tuyến thì: f’(x0) = k Nếu tiếp tuyến //(d): y = ax + b thì : f’(x0) = k = a Nếu tiếp tuyến (d): thì : y = ax + b thì: f’(x0) = k = -1/a Nếu tiếp tuyến tạo với 0x góc a ¹ p/2 thì: f’(x0) = k = ± tana Dạng 3: Tiếp tuyến chung của hai đường cong (C) : y = f(x) và (C’) : y = g(x) Gọi (d) là tiếp tuyến cần tìm,(d) có dạng: y = ax + b Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (C): f(x) = ax + b (1) Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (C’): g(x) = ax + b (2) f(x) = ax + b Giải hệ: g(x) = ax + b VD: Cho hàm số y = 1/3x3 – 2x2 + 3x +1 có đồ thị là (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng (d): y = 3x. Giải y’ = x2 – 4x + 3 Gọi (D) là tiếp tuyến cần tìm (D): y – y0 = f’(x0)(x – x0) Mà (D) // (d) suy ra f’(x0) = k = a = 3 Þ f’(x0) = x02 -4x0 + 3 = 3 Û x0(x0 - 4) = 0 x0 = 0 Þ y0 = 1 Û x0 = 4 Þ y0 = 7/3 Vậy có hai tiếp tuyến của (C) song song với (d) với A(0;1) và (D1): y = 3x + 1 với và k = 3 B: Tiếp tuyến của (C): y = f(x) đi qua điểm M1(x1;y1) Gọi (d) là đường thẳng đi qua M1(x1;y1) và có hệ số góc k (d) có dạng: y = k(x – x1) + y1 (1) (d) tiếp xúc với (C) khi (1) có nghiệm kép hệ phương trình sau có nghiệm: giải hệ tìm được k, thế k vào (1) ta được phương trình cần tìm. VD:Cho hàm số có đồ thị là (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm . Giải Gọi (d) là đường thẳng đi qua và có hệ số góc k (d) có dạng: (1) Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (C) là: (2) Điều kiện để (d) tiếp xúc với (C) là (2) có nghiệm kép hệ phương trình sau có nghiệm: (3) (4) Từ (4) suy ra: Thế k vào (3), giải phương trình ta tìm được x: với Thay k vào (1) ta được phương trình tiếp tuyến cần tìm: với Thay k vào (1) ta được phương trình tiếp tuyến cần tìm: Vậy: qua A(1;4) có hai phương trình tiếp tuyến với (C) (d1) (d2) Điểm và đường, họ đường: Điểm thuộc đường, đường đi qua một điểm: Dạng 1: Cho điểm M0(x0,y0) và đồ thị (C): y = f(x). Xét M0 có thuộc (C) không? CG: M0(x0,y0) Î (C): y = f (x) Û y0 = f(x0) M0(x0,y0) Ï (C): y = f (x) Û y0 ¹ f(x0) VD: Cho Parabol (P): y = f(x) = x2 – 4x + 3 và 2 điểm A(5,8), B(4,5). Hãy xét xem A, B cõ thuộc (P) không? Giải: Ta có: f(xA) = f(5) = 25 – 20 + 3 = 8 = yA Þ A Î (P) f(xB) = f(4) = 16 – 16 + 3 = 3 ¹ yB Þ B Ï (P) Dạng 2: Cho (Cm): y = f(x, m) và điểm M0(x0,y0). Biện luận theo m số đồ thị (Cm) qua M0. CG: Giả sử (Cm) qua M0(x0,y0) Û y0 = f(x, m) (1) + Nếu (1) vô nghiệm: không có đồ thị nào qua M0 + Nếu (1) có n nghiệm: có n đồ thị qua M0 + Nếu (1) vô định: mọi đồ thị của (Cm) dều qua M0 VD: Trong mp (Oxy) cho (Cm): y = x2 + mx + 1. Biện luận theo m số đồ thị (Cm) qua A(a,b) cho trước. Giải Giả sử (Cm) qua A(a,b) Û b = a2 + ma +1 Û am = b – a2 – 1 (1) + Nếu a ¹ 0: (1) có một nghiệm duy nhất m = (b – a2 – 1)/a Þ Có một đồ thị (Cm) qua A + Nếu a = 0: (1) Û 0m = b – 1 (2) * Với b = 1: (2) vô định Þ mọi đồ thị (Cm) đều qua A(0,1) * Với b ¹ 1: (2) vô nghiệm Þ không có đồ thị (Cm) nào qua A(0,b¹1) Dạng 3: Tìm điều kiện để (Cm): y = f(x, m) qua A(x0,y0) cho trước CG: Giả sử (Cm) qua A(x0, y0) Û y0 = f(x0, m) (*) Để (Cm) qua A thì (*) phải có nghiệm, từ đó suy ra điều kiện cần tìm. VD: Cho (Cm): y = f(x) = x3 – mx2 – 3m. Tìm m để (Cm) qua A(2,6). Giải Giả sử (Cm) qua A. Khi đó: 6 = 8 – 2m2 – 3m Û 2m2 + 3m – 2 = 0 m = ½ m= -2 Vậy m = ½ hoặc m = -2 thì (Cm) qua A(2,6) Điểm cố định của một họ đường. Họ đường đi qua một hoặc hai điểm cố định: Dạng: Tìm điểm cố định mà họ (Cm) đi qua. CG: Giả sử A(x0.y0) là điểm cố định của họ (Cm): y = f(x,m) Û y0 = f(x0, m), "m Û am + b = 0, "m (hoặc am2 + bm + c = 0, "m) a = 0 (*) a = 0 b = 0 (hoặc b = 0 (*) ) c = 0 Giải hệ (*) ta tìm được điểm cố định của (Cm) VD: Tìm điểm cố định của họ đường cong (Cm): y = (m - 1)x2 + 4(m + 1)x + 3(m + 2) Giải Giả sử M(x0, y0) là điểm cố định của (Cm). Khi đó: y0 = (m - 1)x02 + 4(m + 1)x0 + 3(m + 2) , "m Û (x02 + 4x0 + 3)m – x02 + 4x0 +6 – y0 = 0 , "m x02 + 4x0 + 3 = 0 – x02 + 4x0 +6 – y0 = 0 x0 = -1 Û x0 = -3 – x02 + 4x0 +6 – y0 = 0 x0 = -1 y0 = 1 x0 = -3 y0 = -15 Vậy họ đường cong (Cm) có hai điểm cố định là M1(-1,1) và M2(-3, -15) Tập hợp những điểm trong mặt phẳng mà họ đường (Cm) không đi qua với mọi giá trị m: Dạng: Tìm điểm trong mặt phẳng mà họ đường (Cm) không đi qua "m CG: Giả sử M0(x0,y0) là điểm mà đồ thị (Cm) không đi qua "m Û y0 ¹ f(x0, m) , "m Û phương trình y0 = f(x0, m) vô nghiệm, "m * Chú ý: am + b = 0 vô nghiệm Û a = 0 và b ¹ 0 a = 0, b = 0, c ¹ 0 am2 + bm + c = 0 vô nghiệm Û a ¹ 0 b2 - 4ac <0 vô nghiệm Û VD: Cho họ (Pm): y = mx2 – 4(m + 1)x + 3m + 1, m ¹ 0. Tìm tất cả các điểm trong mp (Oxy) mà (Pm) không đi qua "m. Giải Giả sử M0(x0,y0) là điểm mà (Pm) không đi qua "m Û y0 ¹ mx02 – 4(m + 1)x0 + 3m + 1, "m Û (x02 – 4x0 + 3)m – 4x0 + 1 – y0 = 0 vô nghiệm "m x02 – 4x0 + 3 = 0 – 4x0 + 1 – y0 ¹ 0 x0 = 1 Û x0 = 3 – 4x0 + 1 – y0 ¹ 0 x0 = 1 Û y0 ¹ -3 x0 = 3 y0 ¹ -11 Vậy tập hợp điểm mà (Pm) không đi qua "m là 2 đường thẳng x = 1 và x = 3 trừ 2 điểm M1(1,-3) và M2(3, -11) Biến đổi đồ thị: Một số dạng hàm chứa dấu trị tuyệt đối thường gặp được suy ra từ đồ thị (C) của hàm số . Đồ thị (C1) của hàm số được suy từ (C) bằng cách: Giữ nguyên phần đồ thi (C) ứng với (Phần phía trên trục Ox) Lấy đối xưng qua trục Ox phần đồ thị (C) ứng với y<0(phần phía dưới trục Ox) Đồ thị (C2) của hàm số được suy ra từ (C) bằng cách: Giữ nguyên phần đồ thị (C) ứng với (phân bên phải trục Oy) Lấy đối xứng qua trục Oy phần đồ thị vừa giữ lại đó. Đồ thị (C3) của hàm số được suy ra từ (C) bằng cách: Giữ nguyên phần đồ thị (C) ứng với (phần nằm phía trên trục Ox) Lấy đối xứng qua trục Ox phần đồ thị vừa giữ lại đó. VD: Cho hàm số (C) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C). Tìm m để phương trình có 6 nghiệm phân biệt. Giải Khảo sát: Số nghiệm của phương trình chính là số giao điểm của 2 đường : và Vẽ đồ thị: (C’) Ta có: Đồ thị (C’) gồm 2 phần: (C1’) Phần đồ thị (C) ứng với y ³ 0 (C2’) Lấy đối xứng phần y<0 của (C) qua trục Ox. -2 -1 O 1 2 y = |x4 – 2x2 - 1| y = m Dựa vào đồ thị, để phương trình đã cho có 6 nghiệm phân biệt thì: